Математический анализ Примеры

$f (x) = \arcsin (x) - 2 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\arcsin (x) - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.2

Производная $\arcsin (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x^{2}}$ в виде ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.5

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x^{2}))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - {({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.9

Перемножим экспоненты в ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.9.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.10

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.11

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.13.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.15

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.16

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.17

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (- 2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.18

Объединим $- 2$ и $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.19

Объединим $\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.20

Перенесем ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.21

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.22

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.22.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.22.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.22.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.23

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - {(1 - x^{2})}^{- 1} (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.24

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.25

Умножим ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ на $1$ .

$f'' (x) = {(1 - x^{2})}^{- 1} (\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.26

Объединим ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ и $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(1 - x^{2})}^{- 1} x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.27

Перенесем ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.28

Умножим ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1 - x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.28.1

Умножим ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.28.1.1

Возведем $1 - x^{2}$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{2})} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.28.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.28.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.28.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.2.28.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Этап 2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} - 2 = 0$

Этап 4

Решим относительно $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$

Этап 4.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$\sqrt{1 - x^{2}}, 1$

Этап 4.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$\sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 4.3

Каждый член в $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$ умножим на $\sqrt{1 - x^{2}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 2$ на $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \sqrt{1 - x^{2}} = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \sqrt{1 - x^{2}} = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 4.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 4.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем уравнение в виде $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ .

$2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$

Этап 4.4.2

Разделим каждый член $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разделим каждый член $2 \sqrt{1 - x^{2}} = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{1 - x^{2}}}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{1 - x^{2}}}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 4.4.2.2.1.2

Разделим $\sqrt{1 - x^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x^{2}}$ в виде ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 - x^{2})}^{1} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Упростим.

$1 - x^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$1 - x^{2} = \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Этап 6.3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 - x^{2} = \frac{1}{2^{2}}$

Этап 6.3.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$1 - x^{2} = \frac{1}{4}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = \frac{1}{4} - 1$

Этап 7.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- x^{2} = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 7.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$- x^{2} = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Этап 7.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- x^{2} = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Этап 7.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- x^{2} = \frac{1 - 4}{4}$

Этап 7.1.5.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$- x^{2} = \frac{- 3}{4}$

Этап 7.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- x^{2} = - \frac{3}{4}$

Этап 7.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - \frac{3}{4}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - \frac{3}{4}$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Этап 7.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- \frac{3}{4}}{- 1}$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} = \frac{\frac{3}{4}}{1}$

Этап 7.2.3.2

Разделим $\frac{3}{4}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{4}$

Этап 7.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Этап 7.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 7.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 7.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 7.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 7.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 7.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{{(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1}{2 {(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.3.1.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.3.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(- \frac{3}{4} + \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(\frac{- 3 + 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.3.4

Добавим $- 3$ и $4$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 {(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.3.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.3.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Этап 9.3.7.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.7.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Этап 9.3.7.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \frac{1}{2^{3}}}$

Этап 9.3.7.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (\frac{1}{8})}$

Этап 9.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2}{8}}$

Этап 9.4.2

Сократим общий множитель $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 (1)}{8}}$

Этап 9.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Этап 9.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}}$

Этап 9.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{4}}$

Этап 9.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sqrt{3} \cdot 4$

Этап 9.6

Перенесем $4$ влево от $\sqrt{3}$ .

$4 \sqrt{3}$

Этап 10

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 11.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 11.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 11.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - 1 \sqrt{3}$

Этап 11.2.1.3

Перепишем $- 1 \sqrt{3}$ в виде $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3} - \sqrt{3}$

Этап 11.2.2

Окончательный ответ: $\frac{π}{3} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{π}{3} - \sqrt{3}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{{(- {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3^{1}}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4.5

Найдем экспоненту.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{2^{2}} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{4} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(- \frac{3}{4} + \frac{4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{- 3 + 4}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.4

Добавим $- 3$ и $4$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1^{\frac{3}{2}}}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 13.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{4^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 13.2.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 13.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Этап 13.2.7.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.7.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}}$

Этап 13.2.7.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2^{3}}}$

Этап 13.2.7.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{8}}$

Этап 13.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{\sqrt{3}}{2} (1 \cdot 8)$

Этап 13.3.2

Умножим $8$ на $1$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8$

Этап 13.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot 8$

Этап 13.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot (2 (4))$

Этап 13.3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Этап 13.3.3.4

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} \cdot 4$

Этап 13.3.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 \sqrt{3}$

Этап 14

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 15.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 2 (- 1) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 2 \cdot (- 1 \frac{- \sqrt{3}}{2})$

Этап 15.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} - 1 (- \sqrt{3})$

Этап 15.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + 1 \sqrt{3}$

Этап 15.2.1.4

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3} + \sqrt{3}$

Этап 15.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ .

$y = - \frac{π}{3} + \sqrt{3}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \arcsin (x) - 2 x$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{π}{3} - \sqrt{3})$ — локальный минимум

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{π}{3} + \sqrt{3})$ — локальный максимум

Этап 17