Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln ({(3 x)}^{2})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 (x))}^{2})]$

Этап 1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим правило умножения к $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (3^{2} x^{2})]$

Этап 1.1.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (9 x^{2})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 9 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 1.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 x^{2}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Объединим $9$ и $\frac{1}{9 x^{2}}$ .

$\frac{9}{9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Этап 1.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Этап 1.3.4.2

Объединим $\frac{2}{x^{2}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Этап 1.3.4.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Этап 1.3.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Этап 1.3.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Этап 1.3.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 (- x^{- 2})$

Этап 2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - 2 x^{- 2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{2}{x} = 0$

Этап 4

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 5

Нет локальных экстремумов

Этап 6