Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (x) + 2 \sin (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\cos (x) + 2 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Этап 1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- \sin (x) + 2 \cos (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \sin (x) + 2 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Этап 2.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \cos (x) + 2 (- \sin (x))$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - \cos (x) - 2 \sin (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5

Разделим дроби.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 8

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель.

$- \tan (x) + \frac{2 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 8.2

Разделим $2$ на $1$ .

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 9

Разделим дроби.

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 10

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 2 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 11

Разделим $0$ на $1$ .

$- \tan (x) + 2 = 0 \sec (x)$

Этап 12

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 2 = 0$

Этап 13

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (x) = - 2$

Этап 14

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 14.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 14.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 14.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$\tan (x) = 2$

Этап 15

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (2)$

Этап 16

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Найдем значение $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

Этап 17

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Этап 18

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

Этап 18.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Этап 18.3

Добавим $3.14159265$ и $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

Этап 19

Решение уравнения $x = 1.10714871$ .

$x = 1.10714871, 4.24874137$

Этап 20

Найдем вторую производную в $x = 1.10714871$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \cos (1.10714871) - 2 \sin (1.10714871)$

Этап 21

$x = 1.10714871$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1.10714871$ — локальный максимум

Этап 22

Найдем значение y, если $x = 1.10714871$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.10714871$ .

$f (1.10714871) = \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$

Этап 22.2

Окончательный ответ: $\cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$ .

$y = \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871)$

Этап 23

Найдем вторую производную в $x = 4.24874137$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \cos (4.24874137) - 2 \sin (4.24874137)$

Этап 24

$x = 4.24874137$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 4.24874137$ — локальный минимум

Этап 25

Найдем значение y, если $x = 4.24874137$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.24874137$ .

$f (4.24874137) = \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$

Этап 25.2

Окончательный ответ: $\cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$ .

$y = \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137)$

Этап 26

Это локальные экстремумы $f (x) = \cos (x) + 2 \sin (x)$ .

$(1.10714871, \cos (1.10714871) + 2 \sin (1.10714871))$ — локальный максимум

$(4.24874137, \cos (4.24874137) + 2 \sin (4.24874137))$ — локальный минимум

Этап 27