Математический анализ Примеры

$f (x) = 9 x^{4} + 4 x^{3} - 36 x^{2} - 24 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $9 x^{4} + 4 x^{3} - 36 x^{2} - 24 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{4}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $9$ .

$36 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$36 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$36 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 x^{2}$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{3} + 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$36 x^{3} + 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 36$ .

$36 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$36 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x - 24 \cdot 1$

Этап 1.5.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$36 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x - 24$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $36 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x - 24$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (36 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [36 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x^{3}$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 36 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $36$ .

$f'' (x) = 108 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 108 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 108 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $12$ .

$f'' (x) = 108 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 72$ является константой относительно $x$ , производная $- 72 x$ по $x$ равна $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 108 x^{2} + 24 x - 72 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 108 x^{2} + 24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.4.3

Умножим $- 72$ на $1$ .

$f'' (x) = 108 x^{2} + 24 x - 72 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 108 x^{2} + 24 x - 72 + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $108 x^{2} + 24 x - 72$ и $0$ .

$f'' (x) = 108 x^{2} + 24 x - 72$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$36 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x - 24 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [9 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{4}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$9 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $9$ .

$36 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$36 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$36 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 x^{2}$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{3} + 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$36 x^{3} + 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $2$ на $- 36$ .

$36 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} [- 24 x]$

Этап 4.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x - 24 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$36 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x - 24 \cdot 1$

Этап 4.1.5.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f' (x) = 36 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x - 24$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $36 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x - 24$ .

$36 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x - 24$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $36 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x - 24 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$36 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x - 24 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $12$ из $36 x^{3} + 12 x^{2} - 72 x - 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $12$ из $36 x^{3}$ .

$12 (3 x^{3}) + 12 x^{2} - 72 x - 24 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2}$ .

$12 (3 x^{3}) + 12 (x^{2}) - 72 x - 24 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $12$ из $- 72 x$ .

$12 (3 x^{3}) + 12 (x^{2}) + 12 (- 6 x) - 24 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $12$ из $- 24$ .

$12 (3 x^{3}) + 12 x^{2} + 12 (- 6 x) + 12 \cdot - 2 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (3 x^{3}) + 12 x^{2}$ .

$12 (3 x^{3} + x^{2}) + 12 (- 6 x) + 12 \cdot - 2 = 0$

Этап 5.2.1.6

Вынесем множитель $12$ из $12 (3 x^{3} + x^{2}) + 12 (- 6 x)$ .

$12 (3 x^{3} + x^{2} - 6 x) + 12 \cdot - 2 = 0$

Этап 5.2.1.7

Вынесем множитель $12$ из $12 (3 x^{3} + x^{2} - 6 x) + 12 \cdot - 2$ .

$12 (3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 2) = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$12 ((3 x^{3} + x^{2}) - 6 x - 2) = 0$

Этап 5.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$12 (x^{2} (3 x + 1) - 2 (3 x + 1)) = 0$

Этап 5.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 1$ .

$12 ((3 x + 1) (x^{2} - 2)) = 0$

Этап 5.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$12 (3 x + 1) (x^{2} - 2) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Этап 5.4.2

Решим $3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 1$

Этап 5.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 5.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 5.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Этап 5.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 5.5

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $x^{2} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 5.5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 5.5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 5.5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 5.5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 (3 x + 1) (x^{2} - 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{3}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{1}{3}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{1}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$108 {(- \frac{1}{3})}^{2} + 24 (- \frac{1}{3}) - 72$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$108 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) + 24 (- \frac{1}{3}) - 72$

Этап 9.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$108 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}}) + 24 (- \frac{1}{3}) - 72$

Этап 9.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$108 (1 \frac{1^{2}}{3^{2}}) + 24 (- \frac{1}{3}) - 72$

Этап 9.1.3

Умножим $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$108 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 24 (- \frac{1}{3}) - 72$

Этап 9.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$108 \frac{1}{3^{2}} + 24 (- \frac{1}{3}) - 72$

Этап 9.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$108 (\frac{1}{9}) + 24 (- \frac{1}{3}) - 72$

Этап 9.1.6

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.1

Вынесем множитель $9$ из $108$ .

$9 (12) \frac{1}{9} + 24 (- \frac{1}{3}) - 72$

Этап 9.1.6.2

Сократим общий множитель.

$9 \cdot 12 \frac{1}{9} + 24 (- \frac{1}{3}) - 72$

Этап 9.1.6.3

Перепишем это выражение.

$12 + 24 (- \frac{1}{3}) - 72$

Этап 9.1.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$12 + 24 (\frac{- 1}{3}) - 72$

Этап 9.1.7.2

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$12 + 3 (8) \frac{- 1}{3} - 72$

Этап 9.1.7.3

Сократим общий множитель.

$12 + 3 \cdot 8 \frac{- 1}{3} - 72$

Этап 9.1.7.4

Перепишем это выражение.

$12 + 8 \cdot - 1 - 72$

Этап 9.1.8

Умножим $8$ на $- 1$ .

$12 - 8 - 72$

Этап 9.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $8$ из $12$ .

$4 - 72$

Этап 9.2.2

Вычтем $72$ из $4$ .

$- 68$

Этап 10

$x = - \frac{1}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{1}{3}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 9 {(- \frac{1}{3})}^{4} + 4 {(- \frac{1}{3})}^{3} - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 9 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{3})}^{4}) + 4 {(- \frac{1}{3})}^{3} - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 9 ({(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{1}{3})}^{3} - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 9 (1 (\frac{1^{4}}{3^{4}})) + 4 {(- \frac{1}{3})}^{3} - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.3

Умножим $\frac{1^{4}}{3^{4}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 9 (\frac{1^{4}}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{1}{3})}^{3} - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{3}) = 9 (\frac{1}{3^{4}}) + 4 {(- \frac{1}{3})}^{3} - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.5

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 9 (\frac{1}{81}) + 4 {(- \frac{1}{3})}^{3} - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.6

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.6.1

Вынесем множитель $9$ из $81$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 9 (\frac{1}{9 (9)}) + 4 {(- \frac{1}{3})}^{3} - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{3}) = 9 (\frac{1}{9 \cdot 9}) + 4 {(- \frac{1}{3})}^{3} - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} + 4 {(- \frac{1}{3})}^{3} - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} + 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} + 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{3^{3}})) - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} + 4 (- \frac{1^{3}}{3^{3}}) - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.9

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} + 4 (- \frac{1}{3^{3}}) - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.10

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} + 4 (- \frac{1}{27}) - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.11

Умножим $4 (- \frac{1}{27})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.11.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} - 4 (\frac{1}{27}) - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.11.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{27}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 4}{27} - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{4}{27} - 36 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.13

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.13.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{4}{27} - 36 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.13.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{4}{27} - 36 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}})) - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.14

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{4}{27} - 36 (1 (\frac{1^{2}}{3^{2}})) - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.15

Умножим $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{4}{27} - 36 \frac{1^{2}}{3^{2}} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.16

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{4}{27} - 36 \frac{1}{3^{2}} - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.17

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{4}{27} - 36 (\frac{1}{9}) - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.18

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.18.1

Вынесем множитель $9$ из $- 36$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{4}{27} + 9 (- 4) (\frac{1}{9}) - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.18.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{4}{27} + 9 \cdot (- 4 (\frac{1}{9})) - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.18.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{4}{27} - 4 - 24 (- \frac{1}{3})$

Этап 11.2.1.19

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.19.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{4}{27} - 4 - 24 (\frac{- 1}{3})$

Этап 11.2.1.19.2

Вынесем множитель $3$ из $- 24$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{4}{27} - 4 + 3 (- 8) (\frac{- 1}{3})$

Этап 11.2.1.19.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{4}{27} - 4 + 3 \cdot (- 8 (\frac{- 1}{3}))$

Этап 11.2.1.19.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{4}{27} - 4 - 8 \cdot - 1$

Этап 11.2.1.20

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{4}{27} - 4 + 8$

Этап 11.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{27} - 4 + 8$

Этап 11.2.2.2

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{4}{27} - 4 + 8$

Этап 11.2.2.3

Запишем $- 4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{4}{27} + \frac{- 4}{1} + 8$

Этап 11.2.2.4

Умножим $\frac{- 4}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{4}{27} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{27}{27} + 8$

Этап 11.2.2.5

Умножим $\frac{- 4}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{4}{27} + \frac{- 4 \cdot 27}{27} + 8$

Этап 11.2.2.6

Запишем $8$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{4}{27} + \frac{- 4 \cdot 27}{27} + \frac{8}{1}$

Этап 11.2.2.7

Умножим $\frac{8}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{4}{27} + \frac{- 4 \cdot 27}{27} + \frac{8}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 11.2.2.8

Умножим $\frac{8}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{4}{27} + \frac{- 4 \cdot 27}{27} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.2.9

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{3 \cdot 9} - \frac{4}{27} + \frac{- 4 \cdot 27}{27} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.2.10

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3}{27} - \frac{4}{27} + \frac{- 4 \cdot 27}{27} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3 - 4 - 4 \cdot 27 + 8 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $- 4$ на $27$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3 - 4 - 108 + 8 \cdot 27}{27}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $8$ на $27$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{3 - 4 - 108 + 216}{27}$

Этап 11.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Вычтем $4$ из $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 1 - 108 + 216}{27}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $108$ из $- 1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 109 + 216}{27}$

Этап 11.2.5.3

Добавим $- 109$ и $216$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{107}{27}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $\frac{107}{27}$ .

$y = \frac{107}{27}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \sqrt{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$108 {(\sqrt{2})}^{2} + 24 (\sqrt{2}) - 72$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$108 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 24 (\sqrt{2}) - 72$

Этап 13.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$108 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 24 (\sqrt{2}) - 72$

Этап 13.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$108 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 24 (\sqrt{2}) - 72$

Этап 13.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$108 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 24 (\sqrt{2}) - 72$

Этап 13.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$108 \cdot 2^{1} + 24 (\sqrt{2}) - 72$

Этап 13.1.1.5

Найдем экспоненту.

$108 \cdot 2 + 24 (\sqrt{2}) - 72$

Этап 13.1.2

Умножим $108$ на $2$ .

$216 + 24 \sqrt{2} - 72$

Этап 13.2

Вычтем $72$ из $216$ .

$144 + 24 \sqrt{2}$

Этап 14

$x = \sqrt{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \sqrt{2}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = 9 {(\sqrt{2})}^{4} + 4 {(\sqrt{2})}^{3} - 36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{4}$ в виде $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {(\sqrt{2})}^{3} - 36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {(\sqrt{2})}^{3} - 36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 9 \cdot 2^{\frac{4}{2}} + 4 {(\sqrt{2})}^{3} - 36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 9 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {(\sqrt{2})}^{3} - 36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 9 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {(\sqrt{2})}^{3} - 36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{2}) = 9 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {(\sqrt{2})}^{3} - 36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{2}) = 9 \cdot 2^{\frac{2}{1}} + 4 {(\sqrt{2})}^{3} - 36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 9 \cdot 2^{2} + 4 {(\sqrt{2})}^{3} - 36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 9 \cdot 4 + 4 {(\sqrt{2})}^{3} - 36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.3

Умножим $9$ на $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 36 + 4 {(\sqrt{2})}^{3} - 36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 36 + 4 \sqrt{2^{3}} - 36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\sqrt{2}) = 36 + 4 \sqrt{8} - 36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.6

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\sqrt{2}) = 36 + 4 \sqrt{4 (2)} - 36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = 36 + 4 \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\sqrt{2}) = 36 + 4 (2 \sqrt{2}) - 36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.8

Умножим $2$ на $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 36 + 8 \sqrt{2} - 36 {(\sqrt{2})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.9

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 36 + 8 \sqrt{2} - 36 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 36 + 8 \sqrt{2} - 36 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 36 + 8 \sqrt{2} - 36 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.9.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{2}) = 36 + 8 \sqrt{2} - 36 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.9.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{2}) = 36 + 8 \sqrt{2} - 36 \cdot 2 - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.9.5

Найдем экспоненту.

$f (\sqrt{2}) = 36 + 8 \sqrt{2} - 36 \cdot 2 - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.1.10

Умножим $- 36$ на $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 36 + 8 \sqrt{2} - 72 - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вычтем $72$ из $36$ .

$f (\sqrt{2}) = - 36 + 8 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 15.2.2.2

Вычтем $24 \sqrt{2}$ из $8 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 36 - 16 \sqrt{2}$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $- 36 - 16 \sqrt{2}$ .

$y = - 36 - 16 \sqrt{2}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = - \sqrt{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$108 {(- \sqrt{2})}^{2} + 24 (- \sqrt{2}) - 72$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$108 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 24 (- \sqrt{2}) - 72$

Этап 17.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$108 (1 {\sqrt{2}}^{2}) + 24 (- \sqrt{2}) - 72$

Этап 17.1.3

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$108 {\sqrt{2}}^{2} + 24 (- \sqrt{2}) - 72$

Этап 17.1.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$108 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 24 (- \sqrt{2}) - 72$

Этап 17.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$108 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 24 (- \sqrt{2}) - 72$

Этап 17.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$108 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 24 (- \sqrt{2}) - 72$

Этап 17.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$108 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 24 (- \sqrt{2}) - 72$

Этап 17.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$108 \cdot 2^{1} + 24 (- \sqrt{2}) - 72$

Этап 17.1.4.5

Найдем экспоненту.

$108 \cdot 2 + 24 (- \sqrt{2}) - 72$

Этап 17.1.5

Умножим $108$ на $2$ .

$216 + 24 (- \sqrt{2}) - 72$

Этап 17.1.6

Умножим $- 1$ на $24$ .

$216 - 24 \sqrt{2} - 72$

Этап 17.2

Вычтем $72$ из $216$ .

$144 - 24 \sqrt{2}$

Этап 18

$x = - \sqrt{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \sqrt{2}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 9 {(- \sqrt{2})}^{4} + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 9 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4}) + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 9 (1 {\sqrt{2}}^{4}) + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.3

Умножим ${\sqrt{2}}^{4}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 9 {\sqrt{2}}^{4} + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{4}$ в виде $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 9 \cdot 2^{\frac{4}{2}} + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.4.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 9 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 9 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{2}) = 9 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{2}) = 9 \cdot 2^{\frac{2}{1}} + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.4.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 9 \cdot 2^{2} + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 9 \cdot 4 + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.6

Умножим $9$ на $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 36 + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.7

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 36 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = 36 + 4 (- {\sqrt{2}}^{3}) - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.9

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 36 + 4 (- \sqrt{2^{3}}) - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = 36 + 4 (- \sqrt{8}) - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.11

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.11.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = 36 + 4 (- \sqrt{4 (2)}) - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.11.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 36 + 4 (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.12

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \sqrt{2}) = 36 + 4 (- (2 \sqrt{2})) - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.13

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 36 + 4 (- 2 \sqrt{2}) - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.14

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 36 - 8 \sqrt{2} - 36 {(- \sqrt{2})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.15

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 36 - 8 \sqrt{2} - 36 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.16

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 36 - 8 \sqrt{2} - 36 (1 {\sqrt{2}}^{2}) - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.17

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 36 - 8 \sqrt{2} - 36 {\sqrt{2}}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.18

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.18.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 36 - 8 \sqrt{2} - 36 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.18.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 36 - 8 \sqrt{2} - 36 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.18.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 36 - 8 \sqrt{2} - 36 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.18.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.18.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{2}) = 36 - 8 \sqrt{2} - 36 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.18.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{2}) = 36 - 8 \sqrt{2} - 36 \cdot 2 - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.18.5

Найдем экспоненту.

$f (- \sqrt{2}) = 36 - 8 \sqrt{2} - 36 \cdot 2 - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.19

Умножим $- 36$ на $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 36 - 8 \sqrt{2} - 72 - 24 (- \sqrt{2})$

Этап 19.2.1.20

Умножим $- 1$ на $- 24$ .

$f (- \sqrt{2}) = 36 - 8 \sqrt{2} - 72 + 24 \sqrt{2}$

Этап 19.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Вычтем $72$ из $36$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 36 - 8 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2}$

Этап 19.2.2.2

Добавим $- 8 \sqrt{2}$ и $24 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 36 + 16 \sqrt{2}$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $- 36 + 16 \sqrt{2}$ .

$y = - 36 + 16 \sqrt{2}$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = 9 x^{4} + 4 x^{3} - 36 x^{2} - 24 x$ .

$(- \frac{1}{3}, \frac{107}{27})$ — локальный максимум

$(\sqrt{2}, - 36 - 16 \sqrt{2})$ — локальный минимум

$(- \sqrt{2}, - 36 + 16 \sqrt{2})$ — локальный минимум

Этап 21