Математический анализ Примеры

$f (x) = 9 x + \sin (9 x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $9 x + \sin (9 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $9$ на $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (9 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 x$ .

$9 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 1.3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$9 + \cos (u) \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 x$ .

$9 + \cos (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 1.3.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 + \cos (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 + \cos (9 x) (9 \cdot 1)$

Этап 1.3.4

Умножим $9$ на $1$ .

$9 + \cos (9 x) \cdot 9$

Этап 1.3.5

Перенесем $9$ влево от $\cos (9 x)$ .

$9 + 9 \cos (9 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $9 + 9 \cos (9 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [9 \cos (9 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (9 \cos (9 x))$

Этап 2.1.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (9 \cos (9 x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 \cos (9 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 \cos (9 x)$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [\cos (9 x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 9 \frac{d}{d x} (\cos (9 x))$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 x$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (9 x))$

Этап 2.2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (9 x))$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 x$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) \frac{d}{d x} (9 x))$

Этап 2.2.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) (9 \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) (9 \cdot 1))$

Этап 2.2.5

Умножим $9$ на $1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- \sin (9 x) \cdot 9)$

Этап 2.2.6

Умножим $9$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 9 (- 9 \sin (9 x))$

Этап 2.2.7

Умножим $- 9$ на $9$ .

$f'' (x) = 0 - 81 \sin (9 x)$

Этап 2.3

Вычтем $81 \sin (9 x)$ из $0$ .

$f'' (x) = - 81 \sin (9 x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$9 + 9 \cos (9 x) = 0$

Этап 4

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$9 \cos (9 x) = - 9$

Этап 5

Разделим каждый член $9 \cos (9 x) = - 9$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $9 \cos (9 x) = - 9$ на $9$ .

$\frac{9 \cos (9 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 \cos (9 x)}{9} = \frac{- 9}{9}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $\cos (9 x)$ на $1$ .

$\cos (9 x) = \frac{- 9}{9}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим $- 9$ на $9$ .

$\cos (9 x) = - 1$

Этап 6

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$9 x = \arccos (- 1)$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$9 x = π$

Этап 8

Разделим каждый член $9 x = π$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $9 x = π$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{9}$

Этап 9

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$9 x = 2 π - π$

Этап 10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$9 x = π$

Этап 10.2

Разделим каждый член $9 x = π$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Разделим каждый член $9 x = π$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Этап 10.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{π}{9}$

Этап 10.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{9}$

Этап 11

Решение уравнения $9 x = π$ .

$x = \frac{π}{9}, \frac{π}{9}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{9}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 81 \sin (9 (\frac{π}{9}))$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Сократим общий множитель.

$- 81 \sin (9 \frac{π}{9})$

Этап 13.1.2

Перепишем это выражение.

$- 81 \sin (π)$

Этап 13.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 81 \sin (0)$

Этап 13.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 81 \cdot 0$

Этап 13.4

Умножим $- 81$ на $0$ .

$0$

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, \frac{π}{9}) \cup (\frac{π}{9}, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, \frac{π}{9})$ в первую производную $9 + 9 \cos (9 x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 9 + 9 \cos (9 (0))$

Этап 14.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.1

Умножим $9$ на $0$ .

$f' (0) = 9 + 9 \cos (0)$

Этап 14.2.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f' (0) = 9 + 9 \cdot 1$

Этап 14.2.2.1.3

Умножим $9$ на $1$ .

$f' (0) = 9 + 9$

Этап 14.2.2.2

Добавим $9$ и $9$ .

$f' (0) = 18$

Этап 14.2.2.3

Окончательный ответ: $18$ .

$18$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $3$ , из интервала $(\frac{π}{9}, \infty)$ в первую производную $9 + 9 \cos (9 x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = 9 + 9 \cos (9 (3))$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.1

Умножим $9$ на $3$ .

$f' (3) = 9 + 9 \cos (27)$

Этап 14.3.2.1.2

Найдем значение $\cos (27)$ .

$f' (3) = 9 + 9 \cdot - 0.2921388$

Этап 14.3.2.1.3

Умножим $9$ на $- 0.2921388$ .

$f' (3) = 9 - 2.62924927$

Этап 14.3.2.2

Вычтем $2.62924927$ из $9$ .

$f' (3) = 6.37075072$

Этап 14.3.2.3

Окончательный ответ: $6.37075072$ .

$6.37075072$

Этап 14.4

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = \frac{π}{9}$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 14.5

Локальный минимум или минимум для $f (x) = 9 x + \sin (9 x)$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 15