Математический анализ Примеры

$f (x) = 8000 - x^{3} + 45 x^{2} + 600 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $8000 - x^{3} + 45 x^{2} + 600 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8000] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [600 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8000] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [600 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $8000$ является константой относительно $x$ , производная $8000$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [600 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [600 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [600 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$0 - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [600 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [45 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $45$ является константой относительно $x$ , производная $45 x^{2}$ по $x$ равна $45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 x^{2} + 45 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [600 x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 3 x^{2} + 45 (2 x) + \frac{d}{d x} [600 x]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $45$ .

$0 - 3 x^{2} + 90 x + \frac{d}{d x} [600 x]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [600 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $600$ является константой относительно $x$ , производная $600 x$ по $x$ равна $600 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 x^{2} + 90 x + 600 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 3 x^{2} + 90 x + 600 \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $600$ на $1$ .

$0 - 3 x^{2} + 90 x + 600$

Этап 1.5

Вычтем $3 x^{2}$ из $0$ .

$- 3 x^{2} + 90 x + 600$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + 90 x + 600$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [90 x] + \frac{d}{d x} [600]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (90 x) + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [90 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $90$ является константой относительно $x$ , производная $90 x$ по $x$ равна $90 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 90 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 90 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.3.3

Умножим $90$ на $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 90 + \frac{d}{d x} (600)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $600$ является константой относительно $x$ , производная $600$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 90 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 6 x + 90$ и $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 90$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 3 x^{2} + 90 x + 600 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [8000] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [600 x]$

Этап 4.1.1.2

Поскольку $8000$ является константой относительно $x$ , производная $8000$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [600 x]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [600 x]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [600 x]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$0 - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [600 x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [45 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $45$ является константой относительно $x$ , производная $45 x^{2}$ по $x$ равна $45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 x^{2} + 45 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [600 x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 3 x^{2} + 45 (2 x) + \frac{d}{d x} [600 x]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $45$ .

$0 - 3 x^{2} + 90 x + \frac{d}{d x} [600 x]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [600 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $600$ является константой относительно $x$ , производная $600 x$ по $x$ равна $600 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 x^{2} + 90 x + 600 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 3 x^{2} + 90 x + 600 \cdot 1$

Этап 4.1.4.3

Умножим $600$ на $1$ .

$0 - 3 x^{2} + 90 x + 600$

Этап 4.1.5

Вычтем $3 x^{2}$ из $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 90 x + 600$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 90 x + 600$ .

$- 3 x^{2} + 90 x + 600$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} + 90 x + 600 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 90 x + 600 = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{2} + 90 x + 600$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 90 x + 600 = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $- 3$ из $90 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 30 x) + 600 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $- 3$ из $600$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 30 x) - 3 \cdot - 200 = 0$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{2}) - 3 (- 30 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 30 x) - 3 \cdot - 200 = 0$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{2} - 30 x) - 3 (- 200)$ .

$- 3 (x^{2} - 30 x - 200) = 0$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 3 (x^{2} - 30 x - 200) = 0$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 3 (x^{2} - 30 x - 200) = 0$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 (x^{2} - 30 x - 200)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 (x^{2} - 30 x - 200)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x^{2} - 30 x - 200$ на $1$ .

$x^{2} - 30 x - 200 = \frac{0}{- 3}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $0$ на $- 3$ .

$x^{2} - 30 x - 200 = 0$

Этап 5.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 30$ и $c = - 200$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 200)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $- 30$ в степень $2$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1 \cdot - 200}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 200$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot - 200}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 200$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 + 800}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.3

Добавим $900$ и $800$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{1700}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.4

Перепишем $1700$ в виде $10^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.4.1

Вынесем множитель $100$ из $1700$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{100 (17)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.4.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{30 \pm 10 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{30 \pm 10 \sqrt{17}}{2}$

Этап 5.6.3

Упростим $\frac{30 \pm 10 \sqrt{17}}{2}$ .

$x = 15 \pm 5 \sqrt{17}$

Этап 5.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Возведем $- 30$ в степень $2$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1 \cdot - 200}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 200$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot - 200}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 200$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 + 800}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.3

Добавим $900$ и $800$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{1700}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.4

Перепишем $1700$ в виде $10^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.4.1

Вынесем множитель $100$ из $1700$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{100 (17)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.4.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{30 \pm 10 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{30 \pm 10 \sqrt{17}}{2}$

Этап 5.7.3

Упростим $\frac{30 \pm 10 \sqrt{17}}{2}$ .

$x = 15 \pm 5 \sqrt{17}$

Этап 5.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 15 + 5 \sqrt{17}$

Этап 5.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.1

Возведем $- 30$ в степень $2$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1 \cdot - 200}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 200$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot - 200}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 200$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{900 + 800}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.8.1.3

Добавим $900$ и $800$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{1700}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.8.1.4

Перепишем $1700$ в виде $10^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.4.1

Вынесем множитель $100$ из $1700$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{100 (17)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.8.1.4.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$x = \frac{30 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{30 \pm 10 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{30 \pm 10 \sqrt{17}}{2}$

Этап 5.8.3

Упростим $\frac{30 \pm 10 \sqrt{17}}{2}$ .

$x = 15 \pm 5 \sqrt{17}$

Этап 5.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 15 - 5 \sqrt{17}$

Этап 5.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 15 + 5 \sqrt{17}, 15 - 5 \sqrt{17}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 15 + 5 \sqrt{17}, 15 - 5 \sqrt{17}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 15 + 5 \sqrt{17}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 (15 + 5 \sqrt{17}) + 90$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 \cdot 15 - 6 (5 \sqrt{17}) + 90$

Этап 9.1.2

Умножим $- 6$ на $15$ .

$- 90 - 6 (5 \sqrt{17}) + 90$

Этап 9.1.3

Умножим $5$ на $- 6$ .

$- 90 - 30 \sqrt{17} + 90$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $- 90$ и $90$ .

$0 - 30 \sqrt{17}$

Этап 9.2.2

Вычтем $30 \sqrt{17}$ из $0$ .

$- 30 \sqrt{17}$

Этап 10

$x = 15 + 5 \sqrt{17}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 15 + 5 \sqrt{17}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 15 + 5 \sqrt{17}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $15 + 5 \sqrt{17}$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - {(15 + 5 \sqrt{17})}^{3} + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (15^{3} + 3 \cdot (15^{2} (5 \sqrt{17})) + 3 \cdot (15 {(5 \sqrt{17})}^{2}) + {(5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Возведем $15$ в степень $3$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3 \cdot (15^{2} (5 \sqrt{17})) + 3 \cdot (15 {(5 \sqrt{17})}^{2}) + {(5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.2

Возведем $15$ в степень $2$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3 \cdot (225 (5 \sqrt{17})) + 3 \cdot (15 {(5 \sqrt{17})}^{2}) + {(5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.3

Умножим $3$ на $225$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 675 (5 \sqrt{17}) + 3 \cdot (15 {(5 \sqrt{17})}^{2}) + {(5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.4

Умножим $5$ на $675$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 3 \cdot (15 {(5 \sqrt{17})}^{2}) + {(5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.5

Умножим $3$ на $15$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 45 {(5 \sqrt{17})}^{2} + {(5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.6

Применим правило умножения к $5 \sqrt{17}$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 45 (5^{2} {\sqrt{17}}^{2}) + {(5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.7

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 45 (25 {\sqrt{17}}^{2}) + {(5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.8

Перепишем ${\sqrt{17}}^{2}$ в виде $17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{17}$ в виде $17^{\frac{1}{2}}$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 45 (25 {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 45 (25 \cdot 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 45 (25 \cdot 17^{\frac{2}{2}}) + {(5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.8.4.1

Сократим общий множитель.

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 45 (25 \cdot 17^{\frac{2}{2}}) + {(5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.8.4.2

Перепишем это выражение.

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 45 (25 \cdot 17) + {(5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.8.5

Найдем экспоненту.

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 45 (25 \cdot 17) + {(5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.9

Умножим $45 (25 \cdot 17)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.9.1

Умножим $25$ на $17$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 45 \cdot 425 + {(5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.9.2

Умножим $45$ на $425$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 19125 + {(5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.10

Применим правило умножения к $5 \sqrt{17}$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 19125 + 5^{3} {\sqrt{17}}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.11

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 19125 + 125 {\sqrt{17}}^{3}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.12

Перепишем ${\sqrt{17}}^{3}$ в виде $\sqrt{17^{3}}$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 19125 + 125 \sqrt{17^{3}}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.13

Возведем $17$ в степень $3$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 19125 + 125 \sqrt{4913}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.14

Перепишем $4913$ в виде $17^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.14.1

Вынесем множитель $289$ из $4913$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 19125 + 125 \sqrt{289 (17)}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.14.2

Перепишем $289$ в виде $17^{2}$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 19125 + 125 \sqrt{17^{2} \cdot 17}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.15

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 19125 + 125 (17 \sqrt{17})) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.2.16

Умножим $17$ на $125$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3375 \sqrt{17} + 19125 + 2125 \sqrt{17}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.3

Добавим $3375$ и $19125$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (22500 + 3375 \sqrt{17} + 2125 \sqrt{17}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.4

Добавим $3375 \sqrt{17}$ и $2125 \sqrt{17}$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - (22500 + 5500 \sqrt{17}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 1 \cdot 22500 - (5500 \sqrt{17}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.6

Умножим $- 1$ на $22500$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - (5500 \sqrt{17}) + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.7

Умножим $5500$ на $- 1$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 {(15 + 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.8

Перепишем ${(15 + 5 \sqrt{17})}^{2}$ в виде $(15 + 5 \sqrt{17}) (15 + 5 \sqrt{17})$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 ((15 + 5 \sqrt{17}) (15 + 5 \sqrt{17})) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.9

Развернем $(15 + 5 \sqrt{17}) (15 + 5 \sqrt{17})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (15 (15 + 5 \sqrt{17}) + 5 \sqrt{17} (15 + 5 \sqrt{17})) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (15 \cdot 15 + 15 (5 \sqrt{17}) + 5 \sqrt{17} (15 + 5 \sqrt{17})) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (15 \cdot 15 + 15 (5 \sqrt{17}) + 5 \sqrt{17} \cdot 15 + 5 \sqrt{17} (5 \sqrt{17})) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.10.1.1

Умножим $15$ на $15$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (225 + 15 (5 \sqrt{17}) + 5 \sqrt{17} \cdot 15 + 5 \sqrt{17} (5 \sqrt{17})) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.10.1.2

Умножим $5$ на $15$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (225 + 75 \sqrt{17} + 5 \sqrt{17} \cdot 15 + 5 \sqrt{17} (5 \sqrt{17})) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.10.1.3

Умножим $15$ на $5$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (225 + 75 \sqrt{17} + 75 \sqrt{17} + 5 \sqrt{17} (5 \sqrt{17})) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.10.1.4

Умножим $5 \sqrt{17} (5 \sqrt{17})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.10.1.4.1

Умножим $5$ на $5$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (225 + 75 \sqrt{17} + 75 \sqrt{17} + 25 \sqrt{17} \sqrt{17}) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.10.1.4.2

Возведем $\sqrt{17}$ в степень $1$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (225 + 75 \sqrt{17} + 75 \sqrt{17} + 25 (\sqrt{17} \sqrt{17})) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.10.1.4.3

Возведем $\sqrt{17}$ в степень $1$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (225 + 75 \sqrt{17} + 75 \sqrt{17} + 25 (\sqrt{17} \sqrt{17})) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.10.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (225 + 75 \sqrt{17} + 75 \sqrt{17} + 25 {\sqrt{17}}^{1 + 1}) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.10.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (225 + 75 \sqrt{17} + 75 \sqrt{17} + 25 {\sqrt{17}}^{2}) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.10.1.5

Перепишем ${\sqrt{17}}^{2}$ в виде $17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.10.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{17}$ в виде $17^{\frac{1}{2}}$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (225 + 75 \sqrt{17} + 75 \sqrt{17} + 25 {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.10.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (225 + 75 \sqrt{17} + 75 \sqrt{17} + 25 \cdot 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.10.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (225 + 75 \sqrt{17} + 75 \sqrt{17} + 25 \cdot 17^{\frac{2}{2}}) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.10.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.10.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (225 + 75 \sqrt{17} + 75 \sqrt{17} + 25 \cdot 17^{\frac{2}{2}}) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.10.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (225 + 75 \sqrt{17} + 75 \sqrt{17} + 25 \cdot 17) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.10.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (225 + 75 \sqrt{17} + 75 \sqrt{17} + 25 \cdot 17) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.10.1.6

Умножим $25$ на $17$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (225 + 75 \sqrt{17} + 75 \sqrt{17} + 425) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.10.2

Добавим $225$ и $425$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (650 + 75 \sqrt{17} + 75 \sqrt{17}) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.10.3

Добавим $75 \sqrt{17}$ и $75 \sqrt{17}$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 (650 + 150 \sqrt{17}) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 45 \cdot 650 + 45 (150 \sqrt{17}) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.12

Умножим $45$ на $650$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 29250 + 45 (150 \sqrt{17}) + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.13

Умножим $150$ на $45$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 29250 + 6750 \sqrt{17} + 600 (15 + 5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.14

Применим свойство дистрибутивности.

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 29250 + 6750 \sqrt{17} + 600 \cdot 15 + 600 (5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.15

Умножим $600$ на $15$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 29250 + 6750 \sqrt{17} + 9000 + 600 (5 \sqrt{17})$

Этап 11.2.1.16

Умножим $5$ на $600$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - 5500 \sqrt{17} + 29250 + 6750 \sqrt{17} + 9000 + 3000 \sqrt{17}$

Этап 11.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $22500$ из $8000$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = - 14500 - 5500 \sqrt{17} + 29250 + 6750 \sqrt{17} + 9000 + 3000 \sqrt{17}$

Этап 11.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Добавим $- 14500$ и $29250$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 14750 - 5500 \sqrt{17} + 6750 \sqrt{17} + 9000 + 3000 \sqrt{17}$

Этап 11.2.2.2.2

Добавим $14750$ и $9000$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 23750 - 5500 \sqrt{17} + 6750 \sqrt{17} + 3000 \sqrt{17}$

Этап 11.2.2.3

Добавим $- 5500 \sqrt{17}$ и $6750 \sqrt{17}$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 23750 + 1250 \sqrt{17} + 3000 \sqrt{17}$

Этап 11.2.2.4

Добавим $1250 \sqrt{17}$ и $3000 \sqrt{17}$ .

$f (15 + 5 \sqrt{17}) = 23750 + 4250 \sqrt{17}$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $23750 + 4250 \sqrt{17}$ .

$y = 23750 + 4250 \sqrt{17}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 15 - 5 \sqrt{17}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 (15 - 5 \sqrt{17}) + 90$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 \cdot 15 - 6 (- 5 \sqrt{17}) + 90$

Этап 13.1.2

Умножим $- 6$ на $15$ .

$- 90 - 6 (- 5 \sqrt{17}) + 90$

Этап 13.1.3

Умножим $- 5$ на $- 6$ .

$- 90 + 30 \sqrt{17} + 90$

Этап 13.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $- 90$ и $90$ .

$0 + 30 \sqrt{17}$

Этап 13.2.2

Добавим $0$ и $30 \sqrt{17}$ .

$30 \sqrt{17}$

Этап 14

$x = 15 - 5 \sqrt{17}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 15 - 5 \sqrt{17}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 15 - 5 \sqrt{17}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $15 - 5 \sqrt{17}$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - {(15 - 5 \sqrt{17})}^{3} + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (15^{3} + 3 \cdot (15^{2} (- 5 \sqrt{17})) + 3 \cdot (15 {(- 5 \sqrt{17})}^{2}) + {(- 5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Возведем $15$ в степень $3$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3 \cdot (15^{2} (- 5 \sqrt{17})) + 3 \cdot (15 {(- 5 \sqrt{17})}^{2}) + {(- 5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.2

Возведем $15$ в степень $2$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 3 \cdot (225 (- 5 \sqrt{17})) + 3 \cdot (15 {(- 5 \sqrt{17})}^{2}) + {(- 5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.3

Умножим $3$ на $225$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 + 675 (- 5 \sqrt{17}) + 3 \cdot (15 {(- 5 \sqrt{17})}^{2}) + {(- 5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.4

Умножим $- 5$ на $675$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 3 \cdot (15 {(- 5 \sqrt{17})}^{2}) + {(- 5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.5

Умножим $3$ на $15$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 45 {(- 5 \sqrt{17})}^{2} + {(- 5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.6

Применим правило умножения к $- 5 \sqrt{17}$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 45 ({(- 5)}^{2} {\sqrt{17}}^{2}) + {(- 5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.7

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 45 (25 {\sqrt{17}}^{2}) + {(- 5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.8

Перепишем ${\sqrt{17}}^{2}$ в виде $17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{17}$ в виде $17^{\frac{1}{2}}$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 45 (25 {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 45 (25 \cdot 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 45 (25 \cdot 17^{\frac{2}{2}}) + {(- 5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.8.4.1

Сократим общий множитель.

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 45 (25 \cdot 17^{\frac{2}{2}}) + {(- 5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.8.4.2

Перепишем это выражение.

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 45 (25 \cdot 17) + {(- 5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.8.5

Найдем экспоненту.

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 45 (25 \cdot 17) + {(- 5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.9

Умножим $45 (25 \cdot 17)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.9.1

Умножим $25$ на $17$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 45 \cdot 425 + {(- 5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.9.2

Умножим $45$ на $425$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 19125 + {(- 5 \sqrt{17})}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.10

Применим правило умножения к $- 5 \sqrt{17}$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 19125 + {(- 5)}^{3} {\sqrt{17}}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.11

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 19125 - 125 {\sqrt{17}}^{3}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.12

Перепишем ${\sqrt{17}}^{3}$ в виде $\sqrt{17^{3}}$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 19125 - 125 \sqrt{17^{3}}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.13

Возведем $17$ в степень $3$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 19125 - 125 \sqrt{4913}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.14

Перепишем $4913$ в виде $17^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.14.1

Вынесем множитель $289$ из $4913$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 19125 - 125 \sqrt{289 (17)}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.14.2

Перепишем $289$ в виде $17^{2}$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 19125 - 125 \sqrt{17^{2} \cdot 17}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.15

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 19125 - 125 (17 \sqrt{17})) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.2.16

Умножим $17$ на $- 125$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (3375 - 3375 \sqrt{17} + 19125 - 2125 \sqrt{17}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.3

Добавим $3375$ и $19125$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (22500 - 3375 \sqrt{17} - 2125 \sqrt{17}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.4

Вычтем $2125 \sqrt{17}$ из $- 3375 \sqrt{17}$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - (22500 - 5500 \sqrt{17}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 1 \cdot 22500 - (- 5500 \sqrt{17}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.6

Умножим $- 1$ на $22500$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 - (- 5500 \sqrt{17}) + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.7

Умножим $- 5500$ на $- 1$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 {(15 - 5 \sqrt{17})}^{2} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.8

Перепишем ${(15 - 5 \sqrt{17})}^{2}$ в виде $(15 - 5 \sqrt{17}) (15 - 5 \sqrt{17})$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 ((15 - 5 \sqrt{17}) (15 - 5 \sqrt{17})) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.9

Развернем $(15 - 5 \sqrt{17}) (15 - 5 \sqrt{17})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (15 (15 - 5 \sqrt{17}) - 5 \sqrt{17} (15 - 5 \sqrt{17})) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (15 \cdot 15 + 15 (- 5 \sqrt{17}) - 5 \sqrt{17} (15 - 5 \sqrt{17})) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (15 \cdot 15 + 15 (- 5 \sqrt{17}) - 5 \sqrt{17} \cdot 15 - 5 \sqrt{17} (- 5 \sqrt{17})) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1.1

Умножим $15$ на $15$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (225 + 15 (- 5 \sqrt{17}) - 5 \sqrt{17} \cdot 15 - 5 \sqrt{17} (- 5 \sqrt{17})) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.10.1.2

Умножим $- 5$ на $15$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (225 - 75 \sqrt{17} - 5 \sqrt{17} \cdot 15 - 5 \sqrt{17} (- 5 \sqrt{17})) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.10.1.3

Умножим $15$ на $- 5$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (225 - 75 \sqrt{17} - 75 \sqrt{17} - 5 \sqrt{17} (- 5 \sqrt{17})) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.10.1.4

Умножим $- 5 \sqrt{17} (- 5 \sqrt{17})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1.4.1

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (225 - 75 \sqrt{17} - 75 \sqrt{17} + 25 \sqrt{17} \sqrt{17}) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.10.1.4.2

Возведем $\sqrt{17}$ в степень $1$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (225 - 75 \sqrt{17} - 75 \sqrt{17} + 25 (\sqrt{17} \sqrt{17})) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.10.1.4.3

Возведем $\sqrt{17}$ в степень $1$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (225 - 75 \sqrt{17} - 75 \sqrt{17} + 25 (\sqrt{17} \sqrt{17})) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.10.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (225 - 75 \sqrt{17} - 75 \sqrt{17} + 25 {\sqrt{17}}^{1 + 1}) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.10.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (225 - 75 \sqrt{17} - 75 \sqrt{17} + 25 {\sqrt{17}}^{2}) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.10.1.5

Перепишем ${\sqrt{17}}^{2}$ в виде $17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{17}$ в виде $17^{\frac{1}{2}}$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (225 - 75 \sqrt{17} - 75 \sqrt{17} + 25 {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.10.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (225 - 75 \sqrt{17} - 75 \sqrt{17} + 25 \cdot 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.10.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (225 - 75 \sqrt{17} - 75 \sqrt{17} + 25 \cdot 17^{\frac{2}{2}}) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.10.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (225 - 75 \sqrt{17} - 75 \sqrt{17} + 25 \cdot 17^{\frac{2}{2}}) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.10.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (225 - 75 \sqrt{17} - 75 \sqrt{17} + 25 \cdot 17) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.10.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (225 - 75 \sqrt{17} - 75 \sqrt{17} + 25 \cdot 17) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.10.1.6

Умножим $25$ на $17$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (225 - 75 \sqrt{17} - 75 \sqrt{17} + 425) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.10.2

Добавим $225$ и $425$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (650 - 75 \sqrt{17} - 75 \sqrt{17}) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.10.3

Вычтем $75 \sqrt{17}$ из $- 75 \sqrt{17}$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 (650 - 150 \sqrt{17}) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 45 \cdot 650 + 45 (- 150 \sqrt{17}) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.12

Умножим $45$ на $650$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 29250 + 45 (- 150 \sqrt{17}) + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.13

Умножим $- 150$ на $45$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 29250 - 6750 \sqrt{17} + 600 (15 - 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.14

Применим свойство дистрибутивности.

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 29250 - 6750 \sqrt{17} + 600 \cdot 15 + 600 (- 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.15

Умножим $600$ на $15$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 29250 - 6750 \sqrt{17} + 9000 + 600 (- 5 \sqrt{17})$

Этап 15.2.1.16

Умножим $- 5$ на $600$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 8000 - 22500 + 5500 \sqrt{17} + 29250 - 6750 \sqrt{17} + 9000 - 3000 \sqrt{17}$

Этап 15.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вычтем $22500$ из $8000$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = - 14500 + 5500 \sqrt{17} + 29250 - 6750 \sqrt{17} + 9000 - 3000 \sqrt{17}$

Этап 15.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Добавим $- 14500$ и $29250$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 14750 + 5500 \sqrt{17} - 6750 \sqrt{17} + 9000 - 3000 \sqrt{17}$

Этап 15.2.2.2.2

Добавим $14750$ и $9000$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 23750 + 5500 \sqrt{17} - 6750 \sqrt{17} - 3000 \sqrt{17}$

Этап 15.2.2.3

Вычтем $6750 \sqrt{17}$ из $5500 \sqrt{17}$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 23750 - 1250 \sqrt{17} - 3000 \sqrt{17}$

Этап 15.2.2.4

Вычтем $3000 \sqrt{17}$ из $- 1250 \sqrt{17}$ .

$f (15 - 5 \sqrt{17}) = 23750 - 4250 \sqrt{17}$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $23750 - 4250 \sqrt{17}$ .

$y = 23750 - 4250 \sqrt{17}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 8000 - x^{3} + 45 x^{2} + 600 x$ .

$(15 + 5 \sqrt{17}, 23750 + 4250 \sqrt{17})$ — локальный максимум

$(15 - 5 \sqrt{17}, 23750 - 4250 \sqrt{17})$ — локальный минимум

Этап 17