Математический анализ Примеры

$f (x) = 9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возведем $10$ в степень $4$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{\frac{7}{5}}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{7}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $5$ из $7$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 1.2.7

Объединим $\frac{7}{5}$ и $x^{\frac{2}{5}}$ .

$9 \frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 1.2.8

Объединим $9$ и $\frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{9 (7 x^{\frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 1.2.9

Умножим $7$ на $9$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 1.4

Поскольку $10000$ является константой относительно $x$ , производная $10000$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + 0$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$ и $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Этап 2.2.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{d}{d x} (\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{63}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ по $x$ равна $\frac{63}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{5}})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})$

Этап 2.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 2.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 2.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}})$

Этап 2.3.6.2

Вычтем $5$ из $2$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}})$

Этап 2.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot (\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}})$

Этап 2.3.8

Объединим $\frac{2}{5}$ и $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63}{5} \cdot \frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Этап 2.3.9

Умножим $\frac{63}{5}$ на $\frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{63 (2 x^{- \frac{3}{5}})}{5 \cdot 5}$

Этап 2.3.10

Умножим $2$ на $63$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126 x^{- \frac{3}{5}}}{5 \cdot 5}$

Этап 2.3.11

Умножим $5$ на $5$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126 x^{- \frac{3}{5}}}{25}$

Этап 2.3.12

Перенесем $x^{- \frac{3}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{126}{25 x^{\frac{3}{5}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Возведем $10$ в степень $4$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10000]$

Этап 4.1.1.2

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{7}{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{\frac{7}{5}}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 4.1.2.2

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 4.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 4.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 4.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 4.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{7 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 4.1.2.6.2

Вычтем $5$ из $7$ .

$9 (\frac{7}{5} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 4.1.2.7

Объединим $\frac{7}{5}$ и $x^{\frac{2}{5}}$ .

$9 \frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 4.1.2.8

Объединим $9$ и $\frac{7 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{9 (7 x^{\frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 4.1.2.9

Умножим $7$ на $9$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + \frac{d}{d x} [10000]$

Этап 4.1.4

Поскольку $10000$ является константой относительно $x$ , производная $10000$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x + 0$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Добавим $\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$ и $0$ .

$\frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} - 10 x$

Этап 4.1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$

Этап 5.2

Найдем общий множитель $x^{\frac{2}{5}}$ , который присутствует в каждом члене.

$- 10 {(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$

Этап 5.3

Подставим $u$ вместо $x^{\frac{2}{5}}$ .

$- 10 {(u)}^{\frac{5}{2}} + \frac{63 (u)}{5} = 0$

Этап 5.4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $u$ из $- 10 u^{\frac{5}{2}} + \frac{63 u}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $u$ из $- 10 u^{\frac{5}{2}}$ .

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + \frac{63 u}{5} = 0$

Этап 5.4.1.2

Вынесем множитель $u$ из $\frac{63 u}{5}$ .

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + u (\frac{63}{5}) = 0$

Этап 5.4.1.3

Вынесем множитель $u$ из $u (- 10 u^{\frac{3}{2}}) + u \frac{63}{5}$ .

$u (- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}) = 0$

Этап 5.4.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$

Этап 5.4.3

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

Этап 5.4.4

Приравняем $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Приравняем $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}$ к $0$ .

$- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$

Этап 5.4.4.2

Решим $- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5} = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1

Вычтем $\frac{63}{5}$ из обеих частей уравнения.

$- 10 u^{\frac{3}{2}} = - \frac{63}{5}$

Этап 5.4.4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{3}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(- 10 u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.4.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.3.1.1

Упростим ${(- 10 u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- 10 u^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} {(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.4.2.3.1.1.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.3.1.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.4.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.3.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.4.2.3.1.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.4.2.3.1.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.3.1.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.4.2.3.1.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u^{1} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.4.2.3.1.1.3

Упростим.

${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.4.2.3.1.1.4

Изменим порядок множителей в ${(- 10)}^{\frac{2}{3}} u$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.4.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.3.2.1

Упростим ${(- \frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.3.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.3.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{63}{5}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}} {(\frac{63}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4.4.2.3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{63}{5}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.4.2.3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.3.2.1.2.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.4.2.3.2.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.4.2.3.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.4.2.3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{2} \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.4.2.3.2.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.3.2.1.4.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = 1 \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.4.2.3.2.1.4.2

Умножим $\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ на $1$ .

$u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.4.2.4

Разделим каждый член $u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ на ${(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.4.1

Разделим каждый член $u {(- 10)}^{\frac{2}{3}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ на ${(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{u {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.4.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{u {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}} = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.4.2.4.2.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.4.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.4.2.4.3.2

Объединим.

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}} \cdot 1}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.4.2.4.3.3

Умножим $63^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$u = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $u (- 10 u^{\frac{3}{2}} + \frac{63}{5}) = 0$ верно.

$u = 0, \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.5

Подставим $x$ вместо $u$ .

$x^{\frac{2}{5}} = 0, \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.6

Решим относительно $x^{\frac{2}{5}} = 0$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{5}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.6.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.6.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.6.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.6.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.6.2.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.6.2.1.1.2

Упростим.

$x = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Упростим $\pm 0^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.6.2.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Этап 5.6.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Этап 5.6.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm 0^{5}$

Этап 5.6.2.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = \pm 0$

Этап 5.6.2.2.1.4

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.7

Решим относительно $x^{\frac{2}{5}} = \frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{5}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.7.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.7.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.7.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.7.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.7.2.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.7.2.1.1.2

Упростим.

$x = \pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Упростим $\pm {(\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{63^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$x = \pm \frac{{(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5.7.2.2.1.1.2

Применим правило умножения к $5^{\frac{2}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = \pm \frac{{(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5.7.2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(63^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5.7.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{63^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5.7.2.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{63^{\frac{1}{3} \cdot 5}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5.7.2.2.1.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{{(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5.7.2.2.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.3.1

Перемножим экспоненты в ${(5^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5.7.2.2.1.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5.7.2.2.1.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 5} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5.7.2.2.1.3.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 5.7.2.2.1.3.2

Перемножим экспоненты в ${({(- 10)}^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}$

Этап 5.7.2.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}}}$

Этап 5.7.2.2.1.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{1}{3} \cdot 5}}$

Этап 5.7.2.2.1.3.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $5$ .

$x = \pm \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.7.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.7.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.8

Перечислим все решения.

$x = 0, \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.9

Исключим решения, которые не делают $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5} = 0$ истинным.

$x = 0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 10 + \frac{126}{25 {(0)}^{\frac{3}{5}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$- 10 + \frac{126}{25 {(0^{5})}^{\frac{3}{5}}}$

Этап 9.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{5 (\frac{3}{5})}}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель.

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{5 (\frac{3}{5})}}$

Этап 9.2.2

Перепишем это выражение.

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0^{3}}$

Этап 9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 10 + \frac{126}{25 \cdot 0}$

Этап 9.3.2

Умножим $25$ на $0$ .

$- 10 + \frac{126}{0}$

Этап 9.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- 10 + \frac{126}{0}$

Этап 9.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, - \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}) \cup (- \frac{63^{\frac{5}{3}}}{5^{\frac{5}{3}} {(- 10)}^{\frac{5}{3}}}, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $- 10 x + \frac{63 x^{\frac{2}{5}}}{5}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 10 \cdot - 2 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Умножим $- 10$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Этап 10.2.2.2

Окончательный ответ: $20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$ .

$20 + \frac{63 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}{5}$

Этап 10.3

Локальный минимум или минимум для $f (x) = 9 x^{\frac{7}{5}} - 5 x^{2} + 10^{4}$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 11