Математический анализ Примеры

$f (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = e^{- x}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.4.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.4.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 1.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 1.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 1.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 1.8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 1.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 1.11

Объединим $e^{- x}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 1.12

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 9 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.2.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 9 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13.2.2

Объединим $9$ и $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.13.3

Изменим порядок членов.

$- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = - 9 \frac{d}{d x} (e^{- x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.3

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 9 (e^{- x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.13

Объединим $e^{- x}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.14

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.15

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.16

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.17

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} (\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{9}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{- x}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x}) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.6

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.9

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.10

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

Этап 2.3.11

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.13.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.16

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{- x}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.17

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.3.18

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.18.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.18.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.3.18.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 2.3.19

Упростим.

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 2.3.20

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ .

$f'' (x) = - 9 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - 9 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - 9 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 9 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Объединим $- 9$ и $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 9 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 2.4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 9 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 2.4.3.3

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$f'' (x) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + \frac{9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 9 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 2.4.3.4

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f'' (x) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 9 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Этап 2.4.3.5

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f'' (x) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 9 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 2.4.3.6

Объединим $- 9$ и $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 2.4.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 2.4.3.8

Чтобы записать $- \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Этап 2.4.3.9

Чтобы записать $\frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.4.3.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.10.1

Умножим $\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.4.3.10.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.4.3.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.4.3.10.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.4.3.10.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.4.3.10.6

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.4.3.10.7

Умножим $\frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ на $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.4.3.10.8

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.10.8.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Этап 2.4.3.10.8.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.10.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Этап 2.4.3.10.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 2.4.3.10.8.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.3.10.8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 2.4.3.10.8.5

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 9 e^{- x} x + (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 e^{- x} x + (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- 9 e^{- x} x + (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1.1.1.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 x e^{- x} + (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.1.1.2

Изменим порядок $- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 x e^{- x} + x^{\frac{1}{2}} (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.1.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- 9 x e^{- x}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.1.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.2

Вычтем $9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ из $- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 18 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.3

Вынесем множитель $9 e^{- x}$ из $- 18 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1.3.1

Вынесем множитель $9 e^{- x}$ из $- 18 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (9 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.3.2

Вынесем множитель $9 e^{- x}$ из $- \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (9 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 9 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.3.3

Вынесем множитель $9 e^{- x}$ из $9 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 9 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (9 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (9 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (9 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (9 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (9 e^{- x} \cdot (- 1 (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1.5.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- (9 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.5.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 9 (e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.6

Чтобы записать $2 x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.7

Объединим $2 x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} (\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1.9.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{2 \cdot (2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.9.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1.9.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{2 \cdot (2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{2 \cdot (2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.9.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{2 \cdot (2 x^{\frac{1 + 1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.9.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{2 \cdot (2 x^{\frac{2}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.9.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{2 \cdot (2 x) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.9.3

Упростим $2 \cdot 2 x^{1}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{2 \cdot (2 x) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.9.4

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot (- 9 e^{- x} \frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.10

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1.10.1

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 9 e^{- x} \frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.10.2

Объединим $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $- 9$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 9}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.10.3

Объединим $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot (- 9 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.11

Сократим выражение $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1.11.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot (- 9 e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.11.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{(4 x + 1) \cdot (- 9 e^{- x})}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.12

Перенесем $- 9$ влево от $4 x + 1$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{- 9 \cdot ((4 x + 1) e^{- x})}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- \frac{9 (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{9 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.5.3

Умножим $- \frac{9 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.3.1

Умножим $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ на $\frac{9 (4 x + 1) e^{- x}}{2}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{9 (4 x + 1) e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Этап 2.4.5.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{9 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.6

Чтобы записать $9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{9 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.7

Объединим $9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{9 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 9 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.9.1

Вынесем множитель $9 e^{- x}$ из $9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 9 (4 x + 1) e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.9.1.1

Вынесем множитель $9 e^{- x}$ из $9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) - 9 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.9.1.2

Вынесем множитель $9 e^{- x}$ из $- 9 (4 x + 1) e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 9 e^{- x} (- (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.9.1.3

Вынесем множитель $9 e^{- x}$ из $9 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 9 e^{- x} (- (4 x + 1))$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.9.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.9.2.1

Перенесем $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.9.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (x^{\frac{3 + 1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.9.2.4

Добавим $3$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (x^{\frac{4}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.9.2.5

Разделим $4$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (x^{2} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.9.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.9.3.1

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (4 \cdot x^{2} - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.9.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.9.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.4.9.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{9 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Этап 4.1.2

$9 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.1.3.2

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.1.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.1.4.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.1.4.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4.1.4.4

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 4.1.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 4.1.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 4.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 4.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 4.1.8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 4.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 4.1.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 4.1.11

Объединим $e^{- x}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 4.1.12

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 4.1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 9 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.13.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.2.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- 9 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 9 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.13.2.2

Объединим $9$ и $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 9 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.13.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.2

Найдем общий множитель $e^{- 1 x}$ , который присутствует в каждом члене.

$- 9 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.3

Подставим $u$ вместо $e^{- 1 x}$ .

$- 9 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем $\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ в правую часть уравнения, вычтя данный член из обеих частей.

$- 9 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.4.2

Упростим $- 9 {(e x^{- 1 x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- 9 {(e x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}} = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.4.2.2

Применим правило умножения к $e x^{- x}$ .

$- 9 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} {(x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.4.2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{- x})}^{\frac{2 x - 1}{2 x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x \frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.4.2.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$- 9 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{2 x}}) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.4.2.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$- 9 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{x \cdot 2}}) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.4.2.3.2.3

Сократим общий множитель.

$- 9 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{x \cdot - 1 \frac{2 x - 1}{x \cdot 2}}) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.4.2.3.2.4

Перепишем это выражение.

$- 9 (e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}) = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

$- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} = - \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.4.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Добавим $\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ к обеим частям уравнения.

$- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.2

Чтобы записать $- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.3

Объединим $- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ и $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + 9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.5.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + 9 e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.5.1.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})) + 9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9 e^{- x}$ .

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})) + 9 (e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5.1.3

Вынесем множитель $9$ из $9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})) + 9 (e^{- x})$ .

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5.2

Умножим $x^{- \frac{2 x - 1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.5.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} (x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{2 x - 1}{2}}) \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1}{2} - \frac{2 x - 1}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - (2 x - 1)}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.5.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - (2 x) - - 1}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5.2.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - 2 x - - 1}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5.2.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{1 - 2 x + 1}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{- 2 x + 2}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5.2.6

Сократим общий множитель $- 2 x + 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.5.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x) + 2}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5.2.6.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x) + 2 \cdot 1}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5.2.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5.2.6.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.5.2.6.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2 (1)}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5.2.6.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{2 (- x + 1)}{2 \cdot 1}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5.2.6.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{\frac{- x + 1}{1}} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5.2.6.4.4

Разделим $- x + 1$ на $1$ .

$\frac{9 (- e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} \cdot 2 + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{9 (- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}$ .

$\frac{9 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) + e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $e^{- x}$ .

$\frac{9 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) - 1 (- e^{- x}))}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1}) - 1 (- e^{- x})$ .

$\frac{9 (- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x}))}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.9

Перепишем $- (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})$ в виде $- 1 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})$ .

$\frac{9 (- 1 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x}))}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.4.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.5

Подставим $x$ вместо $u$ .

$- \frac{9 (2 e^{\frac{2 x - 1}{2 x}} x^{- x + 1} - e^{- x})}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $9 e^{- x}$ из $- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Вынесем множитель $9 e^{- x}$ из $- 9 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 e^{- x} (- 1 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.6.1.2

Вынесем множитель $9 e^{- x}$ из $\frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$9 e^{- x} (- 1 x^{\frac{1}{2}}) + 9 e^{- x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Этап 5.6.1.3

Вынесем множитель $9 e^{- x}$ из $9 e^{- x} (- 1 x^{\frac{1}{2}}) + 9 e^{- x} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$9 e^{- x} (- 1 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Этап 5.6.2

Перепишем $- 1 x^{\frac{1}{2}}$ в виде $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$9 e^{- x} (- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Этап 5.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.8

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ .

$e^{- x} = 0$

Этап 5.8.2

Решим $e^{- x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Этап 5.8.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.8.2.3

Нет решения для $e^{- x} = 0$

Нет решения

Этап 5.9

Приравняем $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Приравняем $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ к $0$ .

$- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.9.2

Решим $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1$

Этап 5.9.2.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.9.2.2

Каждый член в $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ умножим на $2 x^{\frac{1}{2}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.2.1

Умножим каждый член $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ на $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.9.2.2.2.1.2

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.2.2.1.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.9.2.2.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.9.2.2.2.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 1 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.9.2.2.2.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- 1 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.9.2.2.2.1.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$- 1 \cdot 2 x^{1} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.9.2.2.2.1.3

Упростим $- 1 \cdot 2 x^{1}$ .

$- 1 \cdot 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.9.2.2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 x + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.9.2.2.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 x + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.9.2.2.2.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.2.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$- 2 x + 2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.9.2.2.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$- 2 x + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.9.2.2.2.1.7

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.2.2.1.7.1

Сократим общий множитель.

$- 2 x + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.9.2.2.2.1.7.2

Перепишем это выражение.

$- 2 x + 1 = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Этап 5.9.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.2.3.1

Умножим $0 (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.2.3.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$- 2 x + 1 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.9.2.2.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Этап 5.9.2.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 1$

Этап 5.9.2.3.2

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.3.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.9.2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.9.2.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 5.9.2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.3.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 5.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $9 e^{- x} (- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- 9 e^{- x} \sqrt{x^{1}} + \frac{9 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- 9 e^{- x} \sqrt{x^{1}} + \frac{9 e^{- x}}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Этап 6.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- 9 e^{- x} \sqrt{x} + \frac{9 e^{- x}}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Этап 6.1.4

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- 9 e^{- x} \sqrt{x} + \frac{9 e^{- x}}{2 \sqrt{x}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{9 e^{- x}}{2 \sqrt{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt{x} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.4

Упростим.

$4 x = 0^{2}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 x = 0$

Этап 6.3.3

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 6.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 6.3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 6.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 6.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x < 0$

Этап 6.5

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{2}, 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{9 e^{- (\frac{1}{2})} (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{4 {(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем $e^{- (\frac{1}{2})}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{4 {(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{2} {(\frac{1}{2})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.2

Перепишем $\frac{1}{2}$ в виде $2^{- 1}$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{2} {(2^{- 1})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.3

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{2} {(2^{- 1})}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.6

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{2} \cdot 2^{- \frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{2 - \frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.8

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.9

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.11.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{4 - 3}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.2.11.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{9 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9 (4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{9 (4 \frac{1}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{9 (4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 (4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 (1 - 4 (\frac{1}{2}) - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{9 (1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9 (1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9 (1 - 2 - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.6

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{9 (- 1 - 1)}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.3.7

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{9 \cdot - 2}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $9$ на $- 2$ .

$\frac{- 18}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 9.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{18}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10

$x = \frac{1}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{2}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 9 {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}} e^{- (\frac{1}{2})}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 9 (\frac{1^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Этап 11.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = 9 (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}) \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Этап 11.2.2

Объединим $9$ и $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Этап 11.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.2.4

Объединим.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9 \cdot 1}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.2.5

Умножим $9$ на $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $\frac{9}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{9}{2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{9 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{9 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{4 {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 13.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{4 \cdot 0^{3}}$

Этап 13.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{9 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{4 \cdot 0}$

Этап 13.3.2

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{9 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0}$

Этап 13.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{9 e^{- (0)} (4 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 1)}{0}$

Этап 13.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 14

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 15