Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 x + 8 \cos (8 x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $8 x + 8 \cos (8 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $8$ на $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \cos (8 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \cos (8 x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$ .

$8 + 8 \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x$ .

$8 + 8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [8 x])$

Этап 1.3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$8 + 8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [8 x])$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Этап 1.3.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) (8 \cdot 1))$

Этап 1.3.5

Умножим $8$ на $1$ .

$8 + 8 (- \sin (8 x) \cdot 8)$

Этап 1.3.6

Умножим $8$ на $- 1$ .

$8 + 8 (- 8 \sin (8 x))$

Этап 1.3.7

Умножим $- 8$ на $8$ .

$8 - 64 \sin (8 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $8 - 64 \sin (8 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 64 \sin (8 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- 64 \sin (8 x))$

Этап 2.1.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 64 \sin (8 x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 64 \sin (8 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 64$ является константой относительно $x$ , производная $- 64 \sin (8 x)$ по $x$ равна $- 64 \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 64 \frac{d}{d x} \sin (8 x)$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (8 x))$

Этап 2.2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (u) \frac{d}{d x} (8 x))$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) \frac{d}{d x} (8 x))$

Этап 2.2.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) (8 \cdot 1))$

Этап 2.2.5

Умножим $8$ на $1$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (\cos (8 x) \cdot 8)$

Этап 2.2.6

Перенесем $8$ влево от $\cos (8 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 64 (8 \cdot \cos (8 x))$

Этап 2.2.7

Умножим $8$ на $- 64$ .

$f'' (x) = 0 - 512 \cos (8 x)$

Этап 2.3

Вычтем $512 \cos (8 x)$ из $0$ .

$f'' (x) = - 512 \cos (8 x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$8 - 64 \sin (8 x) = 0$

Этап 4

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- 64 \sin (8 x) = - 8$

Этап 5

Разделим каждый член $- 64 \sin (8 x) = - 8$ на $- 64$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- 64 \sin (8 x) = - 8$ на $- 64$ .

$\frac{- 64 \sin (8 x)}{- 64} = \frac{- 8}{- 64}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $- 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 64 \sin (8 x)}{- 64} = \frac{- 8}{- 64}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $\sin (8 x)$ на $1$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8}{- 64}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель $- 8$ и $- 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 8$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8 (1)}{- 64}$

Этап 5.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 8$ из $- 64$ .

$\sin (8 x) = \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 8}$

Этап 5.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (8 x) = \frac{- 8 \cdot 1}{- 8 \cdot 8}$

Этап 5.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (8 x) = \frac{1}{8}$

Этап 6

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$8 x = \arcsin (\frac{1}{8})$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1}{8})$ .

$8 x = 0.12532783$

Этап 8

Разделим каждый член $8 x = 0.12532783$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $8 x = 0.12532783$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{0.12532783}{8}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0.12532783}{8}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0.12532783}{8}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим $0.12532783$ на $8$ .

$x = 0.01566597$

Этап 9

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$8 x = (3.14159265) - 0.12532783$

Этап 10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вычтем $0.12532783$ из $3.14159265$ .

$8 x = 3.01626482$

Этап 10.2

Разделим каждый член $8 x = 3.01626482$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Разделим каждый член $8 x = 3.01626482$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{3.01626482}{8}$

Этап 10.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3.01626482}{8}$

Этап 10.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3.01626482}{8}$

Этап 10.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Разделим $3.01626482$ на $8$ .

$x = 0.3770331$

Этап 11

Решение уравнения $8 x = 0.12532783$ .

$x = 0.01566597, 0.3770331$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 0.01566597$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 512 \cos (8 (0.01566597))$

Этап 13

Умножим $8$ на $0.01566597$ .

$- 512 \cos (0.12532783)$

Этап 14

$x = 0.01566597$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0.01566597$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 0.01566597$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.01566597$ .

$f (0.01566597) = 8 (0.01566597) + 8 \cos (8 (0.01566597))$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Умножим $8$ на $0.01566597$ .

$f (0.01566597) = 0.12532783 + 8 \cos (8 (0.01566597))$

Этап 15.2.1.2

Умножим $8$ на $0.01566597$ .

$f (0.01566597) = 0.12532783 + 8 \cos (0.12532783)$

Этап 15.2.2

Добавим $0.12532783$ и $8 \cos (0.12532783)$ .

$f (0.01566597) = 8.06258176$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $8.06258176$ .

$y = 8.06258176$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 0.3770331$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 512 \cos (8 (0.3770331))$

Этап 17

Умножим $8$ на $0.3770331$ .

$- 512 \cos (3.01626482)$

Этап 18

$x = 0.3770331$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0.3770331$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 0.3770331$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.3770331$ .

$f (0.3770331) = 8 (0.3770331) + 8 \cos (8 (0.3770331))$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Умножим $8$ на $0.3770331$ .

$f (0.3770331) = 3.01626482 + 8 \cos (8 (0.3770331))$

Этап 19.2.1.2

Умножим $8$ на $0.3770331$ .

$f (0.3770331) = 3.01626482 + 8 \cos (3.01626482)$

Этап 19.2.2

Добавим $3.01626482$ и $8 \cos (3.01626482)$ .

$f (0.3770331) = - 4.92098911$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $- 4.92098911$ .

$y = - 4.92098911$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = 8 x + 8 \cos (8 x)$ .

$(0.01566597, 8.06258176)$ — локальный максимум

$(0.3770331, - 4.92098911)$ — локальный минимум

Этап 21