Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 x^{8} {(5 - x)}^{7}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{8} {(5 - x)}^{7}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{8} {(5 - x)}^{7}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{8} {(5 - x)}^{7}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{8}$ и $g (x) = {(5 - x)}^{7}$ .

$8 (x^{8} \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{7}] + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = 5 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 - x$ .

$8 (x^{8} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$8 (x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 - x$ .

$8 (x^{8} (7 {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

По правилу суммы производная $5 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$8 (x^{8} (7 {(5 - x)}^{6} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 1.4.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 (x^{8} (7 {(5 - x)}^{6} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 1.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$8 (x^{8} (7 {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 1.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x^{8} (7 {(5 - x)}^{6} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 1.4.5

Умножим $- 1$ на $7$ .

$8 (x^{8} (- 7 {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 1.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 (x^{8} (- 7 {(5 - x)}^{6} \cdot 1) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 1.4.7

Умножим $- 7$ на $1$ .

$8 (x^{8} (- 7 {(5 - x)}^{6}) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 1.4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$8 (x^{8} (- 7 {(5 - x)}^{6}) + {(5 - x)}^{7} (8 x^{7}))$

Этап 1.4.9

Перенесем $8$ влево от ${(5 - x)}^{7}$ .

$8 (x^{8} (- 7 {(5 - x)}^{6}) + 8 \cdot {(5 - x)}^{7} x^{7})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (x^{8} (- 7 {(5 - x)}^{6})) + 8 (8 {(5 - x)}^{7} x^{7})$

Этап 1.5.2

Умножим $- 7$ на $8$ .

$- 56 (x^{8} ({(5 - x)}^{6})) + 8 (8 {(5 - x)}^{7} x^{7})$

Этап 1.5.3

Умножим $8$ на $8$ .

$- 56 x^{8} {(5 - x)}^{6} + 64 ({(5 - x)}^{7} x^{7})$

Этап 1.5.4

Вынесем множитель $8 x^{7} {(5 - x)}^{6}$ из $- 56 x^{8} {(5 - x)}^{6} + 64 {(5 - x)}^{7} x^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Вынесем множитель $8 x^{7} {(5 - x)}^{6}$ из $- 56 x^{8} {(5 - x)}^{6}$ .

$8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x) + 64 {(5 - x)}^{7} x^{7}$

Этап 1.5.4.2

Вынесем множитель $8 x^{7} {(5 - x)}^{6}$ из $64 {(5 - x)}^{7} x^{7}$ .

$8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x) + 8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (8 (5 - x))$

Этап 1.5.4.3

Вынесем множитель $8 x^{7} {(5 - x)}^{6}$ из $8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x) + 8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (8 (5 - x))$ .

$8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x + 8 (5 - x))$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x + 8 \cdot 5 + 8 (- x)))$

Этап 2.1.1.2

Умножим $8$ на $5$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x + 40 + 8 (- x)))$

Этап 2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x + 40 - 8 x))$

Этап 2.1.2

Вычтем $8 x$ из $- 7 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 15 x + 40))$

Этап 2.1.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 15 x + 40)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 15 x + 40)]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 15 x + 40))$

Этап 2.2

$f'' (x) = 8 (x^{7} {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (- 15 x + 40) + (- 15 x + 40) \frac{d}{d x} (x^{7} {(5 - x)}^{6}))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $- 15 x + 40$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [40]$ .

$f'' (x) = 8 (x^{7} {(5 - x)}^{6} (\frac{d}{d x} (- 15 x) + \frac{d}{d x} (40)) + (- 15 x + 40) \frac{d}{d x} (x^{7} {(5 - x)}^{6}))$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15 x$ по $x$ равна $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 (x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 15 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (40)) + (- 15 x + 40) \frac{d}{d x} (x^{7} {(5 - x)}^{6}))$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (40)) + (- 15 x + 40) \frac{d}{d x} (x^{7} {(5 - x)}^{6}))$

Этап 2.3.4

Умножим $- 15$ на $1$ .

$f'' (x) = 8 (x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 15 + \frac{d}{d x} (40)) + (- 15 x + 40) \frac{d}{d x} (x^{7} {(5 - x)}^{6}))$

Этап 2.3.5

Поскольку $40$ является константой относительно $x$ , производная $40$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 8 (x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 15 + 0) + (- 15 x + 40) \frac{d}{d x} (x^{7} {(5 - x)}^{6}))$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $- 15$ и $0$ .

$f'' (x) = 8 (x^{7} {(5 - x)}^{6} \cdot - 15 + (- 15 x + 40) \frac{d}{d x} (x^{7} {(5 - x)}^{6}))$

Этап 2.3.6.2

Перенесем $- 15$ влево от $x^{7} {(5 - x)}^{6}$ .

$f'' (x) = 8 (- 15 \cdot (x^{7} {(5 - x)}^{6}) + (- 15 x + 40) \frac{d}{d x} (x^{7} {(5 - x)}^{6}))$

Этап 2.4

$f'' (x) = 8 (- 15 x^{7} {(5 - x)}^{6} + (- 15 x + 40) (x^{7} \frac{d}{d x} ({(5 - x)}^{6}) + {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{7})))$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 - x$ .

$f'' (x) = 8 (- 15 x^{7} {(5 - x)}^{6} + (- 15 x + 40) (x^{7} (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{7})))$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$f'' (x) = 8 (- 15 x^{7} {(5 - x)}^{6} + (- 15 x + 40) (x^{7} (6 u^{5} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{7})))$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 - x$ .

$f'' (x) = 8 (- 15 x^{7} {(5 - x)}^{6} + (- 15 x + 40) (x^{7} (6 {(5 - x)}^{5} \frac{d}{d x} (5 - x)) + {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{7})))$

Этап 2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

По правилу суммы производная $5 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 8 (- 15 x^{7} {(5 - x)}^{6} + (- 15 x + 40) (x^{7} (6 {(5 - x)}^{5} (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{7})))$

Этап 2.6.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 8 (- 15 x^{7} {(5 - x)}^{6} + (- 15 x + 40) (x^{7} (6 {(5 - x)}^{5} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{7})))$

Этап 2.6.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = 8 (- 15 x^{7} {(5 - x)}^{6} + (- 15 x + 40) (x^{7} (6 {(5 - x)}^{5} \frac{d}{d x} (- x)) + {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{7})))$

Этап 2.6.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 (- 15 x^{7} {(5 - x)}^{6} + (- 15 x + 40) (x^{7} (6 {(5 - x)}^{5} (- \frac{d}{d x} x)) + {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{7})))$

Этап 2.6.5

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f'' (x) = 8 (- 15 x^{7} {(5 - x)}^{6} + (- 15 x + 40) (x^{7} (- 6 {(5 - x)}^{5} \frac{d}{d x} x) + {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{7})))$

Этап 2.6.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (- 15 x^{7} {(5 - x)}^{6} + (- 15 x + 40) (x^{7} (- 6 {(5 - x)}^{5} \cdot 1) + {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{7})))$

Этап 2.6.7

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f'' (x) = 8 (- 15 x^{7} {(5 - x)}^{6} + (- 15 x + 40) (x^{7} (- 6 {(5 - x)}^{5}) + {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{7})))$

Этап 2.6.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$f'' (x) = 8 (- 15 x^{7} {(5 - x)}^{6} + (- 15 x + 40) (x^{7} (- 6 {(5 - x)}^{5}) + {(5 - x)}^{6} (7 x^{6})))$

Этап 2.6.9

Перенесем $7$ влево от ${(5 - x)}^{6}$ .

$f'' (x) = 8 (- 15 x^{7} {(5 - x)}^{6} + (- 15 x + 40) (x^{7} (- 6 {(5 - x)}^{5}) + 7 \cdot ({(5 - x)}^{6} x^{6})))$

$f'' (x) = 8 (- 15 x^{7} {(5 - x)}^{6} + (- 15 x + 40) (x^{7} (- 6 {(5 - x)}^{5}) + 7 {(5 - x)}^{6} x^{6}))$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x + 8 (5 - x)) = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$8 \frac{d}{d x} [x^{8} {(5 - x)}^{7}]$

Этап 4.1.2

$8 (x^{8} \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{7}] + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 4.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 - x$ .

$8 (x^{8} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$8 (x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 4.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 - x$ .

$8 (x^{8} (7 {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [5 - x]) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 4.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

По правилу суммы производная $5 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$8 (x^{8} (7 {(5 - x)}^{6} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 4.1.4.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 (x^{8} (7 {(5 - x)}^{6} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 4.1.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$8 (x^{8} (7 {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [- x]) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 4.1.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 (x^{8} (7 {(5 - x)}^{6} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 4.1.4.5

Умножим $- 1$ на $7$ .

$8 (x^{8} (- 7 {(5 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 4.1.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 (x^{8} (- 7 {(5 - x)}^{6} \cdot 1) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 4.1.4.7

Умножим $- 7$ на $1$ .

$8 (x^{8} (- 7 {(5 - x)}^{6}) + {(5 - x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 4.1.4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$8 (x^{8} (- 7 {(5 - x)}^{6}) + {(5 - x)}^{7} (8 x^{7}))$

Этап 4.1.4.9

Перенесем $8$ влево от ${(5 - x)}^{7}$ .

$8 (x^{8} (- 7 {(5 - x)}^{6}) + 8 \cdot {(5 - x)}^{7} x^{7})$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (x^{8} (- 7 {(5 - x)}^{6})) + 8 (8 {(5 - x)}^{7} x^{7})$

Этап 4.1.5.2

Умножим $- 7$ на $8$ .

$- 56 (x^{8} ({(5 - x)}^{6})) + 8 (8 {(5 - x)}^{7} x^{7})$

Этап 4.1.5.3

Умножим $8$ на $8$ .

$- 56 x^{8} {(5 - x)}^{6} + 64 ({(5 - x)}^{7} x^{7})$

Этап 4.1.5.4

Вынесем множитель $8 x^{7} {(5 - x)}^{6}$ из $- 56 x^{8} {(5 - x)}^{6} + 64 {(5 - x)}^{7} x^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.1

Вынесем множитель $8 x^{7} {(5 - x)}^{6}$ из $- 56 x^{8} {(5 - x)}^{6}$ .

$8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x) + 64 {(5 - x)}^{7} x^{7}$

Этап 4.1.5.4.2

Вынесем множитель $8 x^{7} {(5 - x)}^{6}$ из $64 {(5 - x)}^{7} x^{7}$ .

$8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x) + 8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (8 (5 - x))$

Этап 4.1.5.4.3

Вынесем множитель $8 x^{7} {(5 - x)}^{6}$ из $8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x) + 8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (8 (5 - x))$ .

$f' (x) = 8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x + 8 (5 - x))$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x + 8 (5 - x))$ .

$8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x + 8 (5 - x))$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x + 8 (5 - x)) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x + 8 (5 - x)) = 0$

Этап 5.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{7} = 0$

${(5 - x)}^{6} = 0$

$- 7 x + 8 (5 - x) = 0$

Этап 5.3

Приравняем $x^{7}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Приравняем $x^{7}$ к $0$ .

$x^{7} = 0$

Этап 5.3.2

Решим $x^{7} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[7]{0}$

Этап 5.3.2.2

Упростим $\sqrt[7]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{7}$ .

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

Этап 5.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 5.4

Приравняем ${(5 - x)}^{6}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем ${(5 - x)}^{6}$ к $0$ .

${(5 - x)}^{6} = 0$

Этап 5.4.2

Решим ${(5 - x)}^{6} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Приравняем $5 - x$ к $0$ .

$5 - x = 0$

Этап 5.4.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 5$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 5.4.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 5.4.2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Этап 5.4.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.3.1

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$x = 5$

Этап 5.5

Приравняем $- 7 x + 8 (5 - x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $- 7 x + 8 (5 - x)$ к $0$ .

$- 7 x + 8 (5 - x) = 0$

Этап 5.5.2

Решим $- 7 x + 8 (5 - x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Упростим $- 7 x + 8 (5 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 7 x + 8 \cdot 5 + 8 (- x) = 0$

Этап 5.5.2.1.1.2

Умножим $8$ на $5$ .

$- 7 x + 40 + 8 (- x) = 0$

Этап 5.5.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 7 x + 40 - 8 x = 0$

Этап 5.5.2.1.2

Вычтем $8 x$ из $- 7 x$ .

$- 15 x + 40 = 0$

Этап 5.5.2.2

Вычтем $40$ из обеих частей уравнения.

$- 15 x = - 40$

Этап 5.5.2.3

Разделим каждый член $- 15 x = - 40$ на $- 15$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Разделим каждый член $- 15 x = - 40$ на $- 15$ .

$\frac{- 15 x}{- 15} = \frac{- 40}{- 15}$

Этап 5.5.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 15 x}{- 15} = \frac{- 40}{- 15}$

Этап 5.5.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 40}{- 15}$

Этап 5.5.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.3.1

Сократим общий множитель $- 40$ и $- 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 40$ .

$x = \frac{- 5 (8)}{- 15}$

Этап 5.5.2.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 15$ .

$x = \frac{- 5 \cdot 8}{- 5 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 5 \cdot 8}{- 5 \cdot 3}$

Этап 5.5.2.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{8}{3}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x + 8 (5 - x)) = 0$ верно.

$x = 0, 5, \frac{8}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 5, \frac{8}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$8 (- 15 {(0)}^{7} {(5 - (0))}^{6} + (- 15 \cdot 0 + 40) ({(0)}^{7} (- 6 {(5 - (0))}^{5}) + 7 {(5 - (0))}^{6} {(0)}^{6}))$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$8 (- 15 \cdot 0 {(5 - (0))}^{6} + (- 15 \cdot 0 + 40) ({(0)}^{7} (- 6 {(5 - (0))}^{5}) + 7 {(5 - (0))}^{6} {(0)}^{6}))$

Этап 9.1.2

Умножим $- 15$ на $0$ .

$8 (0 {(5 - (0))}^{6} + (- 15 \cdot 0 + 40) ({(0)}^{7} (- 6 {(5 - (0))}^{5}) + 7 {(5 - (0))}^{6} {(0)}^{6}))$

Этап 9.1.3

Вычтем $0$ из $5$ .

$8 (0 \cdot 5^{6} + (- 15 \cdot 0 + 40) ({(0)}^{7} (- 6 {(5 - (0))}^{5}) + 7 {(5 - (0))}^{6} {(0)}^{6}))$

Этап 9.1.4

Возведем $5$ в степень $6$ .

$8 (0 \cdot 15625 + (- 15 \cdot 0 + 40) ({(0)}^{7} (- 6 {(5 - (0))}^{5}) + 7 {(5 - (0))}^{6} {(0)}^{6}))$

Этап 9.1.5

Умножим $0$ на $15625$ .

$8 (0 + (- 15 \cdot 0 + 40) ({(0)}^{7} (- 6 {(5 - (0))}^{5}) + 7 {(5 - (0))}^{6} {(0)}^{6}))$

Этап 9.1.6

Умножим $- 15$ на $0$ .

$8 (0 + (0 + 40) ({(0)}^{7} (- 6 {(5 - (0))}^{5}) + 7 {(5 - (0))}^{6} {(0)}^{6}))$

Этап 9.1.7

Добавим $0$ и $40$ .

$8 (0 + 40 ({(0)}^{7} (- 6 {(5 - (0))}^{5}) + 7 {(5 - (0))}^{6} {(0)}^{6}))$

Этап 9.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.8.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$8 (0 + 40 (0 (- 6 {(5 - (0))}^{5}) + 7 {(5 - (0))}^{6} {(0)}^{6}))$

Этап 9.1.8.2

Вычтем $0$ из $5$ .

$8 (0 + 40 (0 (- 6 \cdot 5^{5}) + 7 {(5 - (0))}^{6} {(0)}^{6}))$

Этап 9.1.8.3

Возведем $5$ в степень $5$ .

$8 (0 + 40 (0 (- 6 \cdot 3125) + 7 {(5 - (0))}^{6} {(0)}^{6}))$

Этап 9.1.8.4

Умножим $0 (- 6 \cdot 3125)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.8.4.1

Умножим $- 6$ на $3125$ .

$8 (0 + 40 (0 \cdot - 18750 + 7 {(5 - (0))}^{6} {(0)}^{6}))$

Этап 9.1.8.4.2

Умножим $0$ на $- 18750$ .

$8 (0 + 40 (0 + 7 {(5 - (0))}^{6} {(0)}^{6}))$

Этап 9.1.8.5

Вычтем $0$ из $5$ .

$8 (0 + 40 (0 + 7 \cdot 5^{6} {(0)}^{6}))$

Этап 9.1.8.6

Возведем $5$ в степень $6$ .

$8 (0 + 40 (0 + 7 \cdot 15625 {(0)}^{6}))$

Этап 9.1.8.7

Умножим $7$ на $15625$ .

$8 (0 + 40 (0 + 109375 {(0)}^{6}))$

Этап 9.1.8.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$8 (0 + 40 (0 + 109375 \cdot 0))$

Этап 9.1.8.9

Умножим $109375$ на $0$ .

$8 (0 + 40 (0 + 0))$

Этап 9.1.9

Добавим $0$ и $0$ .

$8 (0 + 40 \cdot 0)$

Этап 9.1.10

Умножим $40$ на $0$ .

$8 (0 + 0)$

Этап 9.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$8 \cdot 0$

Этап 9.2.2

Умножим $8$ на $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{8}{3}) \cup (\frac{8}{3}, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x + 8 (5 - x))$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 8 {(- 2)}^{7} {(5 - (- 2))}^{6} (- 7 \cdot - 2 + 8 (5 - (- 2)))$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $7$ .

$f' (- 2) = 8 \cdot (- 128 {(5 - (- 2))}^{6} (- 7 \cdot - 2 + 8 (5 - (- 2))))$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $8$ на $- 128$ .

$f' (- 2) = - 1024 {(5 - (- 2))}^{6} (- 7 \cdot - 2 + 8 (5 - (- 2)))$

Этап 10.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 1024 {(5 + 2)}^{6} (- 7 \cdot - 2 + 8 (5 - (- 2)))$

Этап 10.2.2.1.4

Добавим $5$ и $2$ .

$f' (- 2) = - 1024 \cdot (7^{6} (- 7 \cdot - 2 + 8 (5 - (- 2))))$

Этап 10.2.2.1.5

Возведем $7$ в степень $6$ .

$f' (- 2) = - 1024 \cdot (117649 (- 7 \cdot - 2 + 8 (5 - (- 2))))$

Этап 10.2.2.1.6

Умножим $- 1024$ на $117649$ .

$f' (- 2) = - 120472576 (- 7 \cdot - 2 + 8 (5 - (- 2)))$

Этап 10.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Умножим $- 7$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 120472576 (14 + 8 (5 - (- 2)))$

Этап 10.2.2.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 120472576 (14 + 8 (5 + 2))$

Этап 10.2.2.2.3

Добавим $5$ и $2$ .

$f' (- 2) = - 120472576 (14 + 8 \cdot 7)$

Этап 10.2.2.2.4

Умножим $8$ на $7$ .

$f' (- 2) = - 120472576 (14 + 56)$

Этап 10.2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Добавим $14$ и $56$ .

$f' (- 2) = - 120472576 \cdot 70$

Этап 10.2.2.3.2

Умножим $- 120472576$ на $70$ .

$f' (- 2) = - 8433080320$

Этап 10.2.2.4

Окончательный ответ: $- 8433080320$ .

$- 8433080320$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, \frac{8}{3})$ в первую производную $8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x + 8 (5 - x))$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 8 {(1)}^{7} {(5 - (1))}^{6} (- 7 \cdot 1 + 8 (5 - (1)))$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 8 \cdot (1 {(5 - (1))}^{6} (- 7 \cdot 1 + 8 (5 - (1))))$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $8$ на $1$ .

$f' (1) = 8 {(5 - (1))}^{6} (- 7 \cdot 1 + 8 (5 - (1)))$

Этап 10.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (1) = 8 {(5 - 1)}^{6} (- 7 \cdot 1 + 8 (5 - (1)))$

Этап 10.3.2.1.4

Вычтем $1$ из $5$ .

$f' (1) = 8 \cdot (4^{6} (- 7 \cdot 1 + 8 (5 - (1))))$

Этап 10.3.2.1.5

Возведем $4$ в степень $6$ .

$f' (1) = 8 \cdot (4096 (- 7 \cdot 1 + 8 (5 - (1))))$

Этап 10.3.2.1.6

Умножим $8$ на $4096$ .

$f' (1) = 32768 (- 7 \cdot 1 + 8 (5 - (1)))$

Этап 10.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Умножим $- 7$ на $1$ .

$f' (1) = 32768 (- 7 + 8 (5 - (1)))$

Этап 10.3.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (1) = 32768 (- 7 + 8 (5 - 1))$

Этап 10.3.2.2.3

Вычтем $1$ из $5$ .

$f' (1) = 32768 (- 7 + 8 \cdot 4)$

Этап 10.3.2.2.4

Умножим $8$ на $4$ .

$f' (1) = 32768 (- 7 + 32)$

Этап 10.3.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.3.1

Добавим $- 7$ и $32$ .

$f' (1) = 32768 \cdot 25$

Этап 10.3.2.3.2

Умножим $32768$ на $25$ .

$f' (1) = 819200$

Этап 10.3.2.4

Окончательный ответ: $819200$ .

$819200$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(\frac{8}{3}, 5)$ в первую производную $8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x + 8 (5 - x))$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 8 {(4)}^{7} {(5 - (4))}^{6} (- 7 \cdot 4 + 8 (5 - (4)))$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $4$ в степень $7$ .

$f' (4) = 8 \cdot (16384 {(5 - (4))}^{6} (- 7 \cdot 4 + 8 (5 - (4))))$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $8$ на $16384$ .

$f' (4) = 131072 {(5 - (4))}^{6} (- 7 \cdot 4 + 8 (5 - (4)))$

Этап 10.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (4) = 131072 {(5 - 4)}^{6} (- 7 \cdot 4 + 8 (5 - (4)))$

Этап 10.4.2.1.4

Вычтем $4$ из $5$ .

$f' (4) = 131072 \cdot (1^{6} (- 7 \cdot 4 + 8 (5 - (4))))$

Этап 10.4.2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$f' (4) = 131072 \cdot (1 (- 7 \cdot 4 + 8 (5 - (4))))$

Этап 10.4.2.1.6

Умножим $131072$ на $1$ .

$f' (4) = 131072 (- 7 \cdot 4 + 8 (5 - (4)))$

Этап 10.4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.1

Умножим $- 7$ на $4$ .

$f' (4) = 131072 (- 28 + 8 (5 - (4)))$

Этап 10.4.2.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (4) = 131072 (- 28 + 8 (5 - 4))$

Этап 10.4.2.2.3

Вычтем $4$ из $5$ .

$f' (4) = 131072 (- 28 + 8 \cdot 1)$

Этап 10.4.2.2.4

Умножим $8$ на $1$ .

$f' (4) = 131072 (- 28 + 8)$

Этап 10.4.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.3.1

Добавим $- 28$ и $8$ .

$f' (4) = 131072 \cdot - 20$

Этап 10.4.2.3.2

Умножим $131072$ на $- 20$ .

$f' (4) = - 2621440$

Этап 10.4.2.4

Окончательный ответ: $- 2621440$ .

$- 2621440$

Этап 10.5

Подставим любое число такое, что $8$ , из интервала $(5, \infty)$ в первую производную $8 x^{7} {(5 - x)}^{6} (- 7 x + 8 (5 - x))$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f' (8) = 8 {(8)}^{7} {(5 - (8))}^{6} (- 7 \cdot 8 + 8 (5 - (8)))$

Этап 10.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Умножим $8$ на ${(8)}^{7}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1

Умножим $8$ на ${(8)}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1.1

Возведем $8$ в степень $1$ .

$f' (8) = 8 {(8)}^{7} {(5 - (8))}^{6} (- 7 \cdot 8 + 8 (5 - (8)))$

Этап 10.5.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (8) = 8^{1 + 7} {(5 - (8))}^{6} (- 7 \cdot 8 + 8 (5 - (8)))$

Этап 10.5.2.1.2

Добавим $1$ и $7$ .

$f' (8) = 8^{8} {(5 - (8))}^{6} (- 7 \cdot 8 + 8 (5 - (8)))$

Этап 10.5.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.1

Возведем $8$ в степень $8$ .

$f' (8) = 16777216 {(5 - (8))}^{6} (- 7 \cdot 8 + 8 (5 - (8)))$

Этап 10.5.2.2.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f' (8) = 16777216 {(5 - 8)}^{6} (- 7 \cdot 8 + 8 (5 - (8)))$

Этап 10.5.2.2.3

Вычтем $8$ из $5$ .

$f' (8) = 16777216 {(- 3)}^{6} (- 7 \cdot 8 + 8 (5 - (8)))$

Этап 10.5.2.2.4

Возведем $- 3$ в степень $6$ .

$f' (8) = 16777216 \cdot (729 (- 7 \cdot 8 + 8 (5 - (8))))$

Этап 10.5.2.2.5

Умножим $16777216$ на $729$ .

$f' (8) = 12230590464 (- 7 \cdot 8 + 8 (5 - (8)))$

Этап 10.5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.3.1

Умножим $- 7$ на $8$ .

$f' (8) = 12230590464 (- 56 + 8 (5 - (8)))$

Этап 10.5.2.3.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$f' (8) = 12230590464 (- 56 + 8 (5 - 8))$

Этап 10.5.2.3.3

Вычтем $8$ из $5$ .

$f' (8) = 12230590464 (- 56 + 8 \cdot - 3)$

Этап 10.5.2.3.4

Умножим $8$ на $- 3$ .

$f' (8) = 12230590464 (- 56 - 24)$

Этап 10.5.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.4.1

Вычтем $24$ из $- 56$ .

$f' (8) = 12230590464 \cdot - 80$

Этап 10.5.2.4.2

Умножим $12230590464$ на $- 80$ .

$f' (8) = - 978447237120$

Этап 10.5.2.5

Окончательный ответ: $- 978447237120$ .

$- 978447237120$

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 10.7

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = \frac{8}{3}$ , $x = \frac{8}{3}$ — локальный максимум.

$x = \frac{8}{3}$ — локальный максимум

Этап 10.8

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 5$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.9

Это локальные экстремумы $f (x) = 8 x^{8} {(5 - x)}^{7}$ .

$x = 0$ — локальный минимум

$x = \frac{8}{3}$ — локальный максимум

$x = 0$ — локальный минимум

$x = \frac{8}{3}$ — локальный максимум

Этап 11