Математический анализ Примеры

$f (x) = x + | 2 x |$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x + | 2 x |$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [| 2 x |]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = | x |$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2.1.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$1 + \frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} (2 \cdot 1)$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} \cdot 2$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{2 x}{| 2 x |}$ и $2$ .

$1 + \frac{2 x \cdot 2}{| 2 x |}$

Этап 1.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$1 + \frac{4 x}{| 2 x |}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Изменим порядок членов.

$\frac{4 x}{| 2 x |} + 1$

Этап 1.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{4 x}{2 | x |} + 1$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 | x |} + 1$

Этап 1.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 | x |$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 (| x |)} + 1$

Этап 1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 x)}{2 | x |} + 1$

Этап 1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x}{| x |} + 1$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{2 x}{| x |} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{| x |}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{| x |}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{| x |}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{| x |}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{| x |}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{| x |}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.4

Производная $| x |$ по $x$ равна $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | \cdot 1 - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.5

Умножим $| x |$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.6

Объединим $\frac{x}{| x |}$ и $x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.10

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.11

Объединим $2$ и $\frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (| x | - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 (| x | - \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{2 | x | + 2 (- \frac{x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}} + 0$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 | x | - 2 \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

Этап 2.4.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x^{2}}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{2 | x | + \frac{- 2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

Этап 2.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{2 | x | - \frac{2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

Этап 2.4.2.4

Добавим $\frac{2 | x | - \frac{2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 | x | - \frac{2 x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2}}{| x |} + 2 | x |}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- \frac{2 x^{2}}{| x |} + 2 | x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- \frac{2 x^{2}}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- \frac{x^{2}}{| x |}) + 2 | x |}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.4.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 | x |$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- \frac{x^{2}}{| x |}) + 2 (| x |)}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.4.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- \frac{x^{2}}{| x |}) + 2 (| x |)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- \frac{x^{2}}{| x |} + | x |)}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.4.4.2

Чтобы записать $| x |$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{| x | | x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.4.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x | | x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.4.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.4.1

Умножим $| x | | x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.4.1.1

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.4.4.4.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.4.4.4.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.4.4.4.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x^{1 + 1} |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.4.4.4.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + | x^{2} |}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.4.4.4.2

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{- x^{2} + x^{2}}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.4.4.4.3

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (\frac{0}{| x |})}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.4.4.5

Разделим $0$ на $| x |$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 0}{{| x |}^{2}}$

Этап 2.4.5

Уберем знак модуля в ${| x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 0}{x^{2}}$

Этап 2.4.6

Умножим $2$ на $0$ .

$f'' (x) = \frac{0}{x^{2}}$

Этап 2.4.7

Разделим $0$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{2 x}{| x |} + 1 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $x + | 2 x |$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [| 2 x |]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [| 2 x |]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2.1.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$1 + \frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} (2 \cdot 1)$

Этап 4.1.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$1 + \frac{2 x}{| 2 x |} \cdot 2$

Этап 4.1.2.5

Объединим $\frac{2 x}{| 2 x |}$ и $2$ .

$1 + \frac{2 x \cdot 2}{| 2 x |}$

Этап 4.1.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$1 + \frac{4 x}{| 2 x |}$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Изменим порядок членов.

$\frac{4 x}{| 2 x |} + 1$

Этап 4.1.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{4 x}{2 | x |} + 1$

Этап 4.1.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 | x |} + 1$

Этап 4.1.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 | x |$ .

$\frac{2 (2 x)}{2 (| x |)} + 1$

Этап 4.1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 x)}{2 | x |} + 1$

Этап 4.1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{2 x}{| x |} + 1$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x}{| x |} + 1$ .

$\frac{2 x}{| x |} + 1$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x}{| x |} + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{2 x}{| x |} + 1 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2 x}{| x |} = - 1$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$| x |, 1$

Этап 5.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$| x |$

Этап 5.4

Каждый член в $\frac{2 x}{| x |} = - 1$ умножим на $| x |$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $\frac{2 x}{| x |} = - 1$ на $| x |$ .

$\frac{2 x}{| x |} | x | = - | x |$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{| x |} | x | = - | x |$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$2 x = - | x |$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $- | x | = 2 x$ .

$- | x | = 2 x$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $- | x | = 2 x$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $- | x | = 2 x$ на $- 1$ .

$\frac{- | x |}{- 1} = \frac{2 x}{- 1}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{| x |}{1} = \frac{2 x}{- 1}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим $| x |$ на $1$ .

$| x | = \frac{2 x}{- 1}$

Этап 5.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 x}{- 1}$ .

$| x | = - 1 \cdot (2 x)$

Этап 5.5.2.3.2

Перепишем $- 1 \cdot (2 x)$ в виде $- (2 x)$ .

$| x | = - (2 x)$

Этап 5.5.2.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$| x | = - 2 x$

Этап 5.6

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (- 2 x)$

Этап 5.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = - 2 x$

Этап 5.7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$x + 2 x = 0$

Этап 5.7.2.2

Добавим $x$ и $2 x$ .

$3 x = 0$

Этап 5.7.3

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.7.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.7.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Этап 5.7.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x = 0$

Этап 5.7.4

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = 2 x$

Этап 5.7.5

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.5.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x - 2 x = 0$

Этап 5.7.5.2

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$- x = 0$

Этап 5.7.6

Разделим каждый член $- x = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.6.1

Разделим каждый член $- x = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 5.7.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 5.7.6.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Этап 5.7.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.6.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$x = 0$

Этап 5.8

Исключим решения, которые не делают $\frac{2 x}{| x |} + 1 = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{2 x}{| x |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x | = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Этап 6.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$0$

Этап 9

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 9.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $\frac{2 x}{| x |} + 1$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{2 (- 2)}{| - 2 |} + 1$

Этап 9.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{| - 2 |} + 1$

Этап 9.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 2$ и $0$ равно $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 4}{2} + 1$

Этап 9.2.2.2.2

Разделим $- 4$ на $2$ .

$f' (- 2) = - 2 + 1$

Этап 9.2.2.3

Добавим $- 2$ и $1$ .

$f' (- 2) = - 1$

Этап 9.2.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 9.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $\frac{2 x}{| x |} + 1$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{2 (2)}{| 2 |} + 1$

Этап 9.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{4}{| 2 |} + 1$

Этап 9.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$f' (2) = \frac{4}{2} + 1$

Этап 9.3.2.2.2

Разделим $4$ на $2$ .

$f' (2) = 2 + 1$

Этап 9.3.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f' (2) = 3$

Этап 9.3.2.4

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 9.4

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 10