Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (x) - x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\sin (x) - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\cos (x) - 1$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$- 1 + \cos (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $- 1 + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Этап 2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

Этап 2.3

Вычтем $\sin (x)$ из $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 1 + \cos (x) = 0$

Этап 4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos (x) = 1$

Этап 5

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (1)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 8

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 9

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \sin (0)$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 0$

Этап 11.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0$

Этап 12

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

Этап 12.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $- 1 + \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 1 + \cos (- 2)$

Этап 12.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Найдем значение $\cos (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 1 - 0.41614683$

Этап 12.2.2.2

Вычтем $0.41614683$ из $- 1$ .

$f' (- 2) = - 1.41614683$

Этап 12.2.2.3

Окончательный ответ: $- 1.41614683$ .

$- 1.41614683$

Этап 12.3

Подставим любое число такое, что $3$ , из интервала $(0, 2 π)$ в первую производную $- 1 + \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = - 1 + \cos (3)$

Этап 12.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Найдем значение $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 1 - 0.98999249$

Этап 12.3.2.2

Вычтем $0.98999249$ из $- 1$ .

$f' (3) = - 1.98999249$

Этап 12.3.2.3

Окончательный ответ: $- 1.98999249$ .

$- 1.98999249$

Этап 12.4

Подставим любое число такое, что $9$ , из интервала $(2 π, \infty)$ в первую производную $- 1 + \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$f' (9) = - 1 + \cos (9)$

Этап 12.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.2.1

Найдем значение $\cos (9)$ .

$f' (9) = - 1 - 0.91113026$

Этап 12.4.2.2

Вычтем $0.91113026$ из $- 1$ .

$f' (9) = - 1.91113026$

Этап 12.4.2.3

Окончательный ответ: $- 1.91113026$ .

$- 1.91113026$

Этап 12.5

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 12.6

Локальный минимум или минимум для $f (x) = \sin (x) - x$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 13