Математический анализ Примеры

$f (x) = x (\frac{480 - 3 x}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $480 - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $480$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160) - 3 x}{2}]$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160) + 3 (- x)}{2}]$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (160) + 3 (- x)$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160 - x)}{2}]$

Этап 1.1.2

Объединим $x$ и $\frac{3 (160 - x)}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (3 (160 - x))}{2}]$

Этап 1.1.3

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x (3 (160 - x))}{2}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x (160 - x)]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x (160 - x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 160 - x$ .

$\frac{3}{2} (x \frac{d}{d x} [160 - x] + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $160 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [160] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2} (x (\frac{d}{d x} [160] + \frac{d}{d x} [- x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2

Поскольку $160$ является константой относительно $x$ , производная $160$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3}{2} (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2} (x \frac{d}{d x} [- x] + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{2} (x (- 1 \cdot 1) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3}{2} (x \cdot - 1 + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{3}{2} (- 1 \cdot x + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.6.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{3}{2} (- x + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{2} (- x + (160 - x) \cdot 1)$

Этап 1.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Умножим $160 - x$ на $1$ .

$\frac{3}{2} (- x + 160 - x)$

Этап 1.3.8.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{3}{2} (- 2 x + 160)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{2} (- 2 x) + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 1.4.2.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{- 6}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 1.4.2.3

Объединим $\frac{- 6}{2}$ и $x$ .

$\frac{- 6 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 1.4.2.4

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 1.4.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 1.4.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 1.4.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 x}{1} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 1.4.2.4.2.4

Разделим $- 3 x$ на $1$ .

$- 3 x + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 1.4.2.5

Объединим $\frac{3}{2}$ и $160$ .

$- 3 x + \frac{3 \cdot 160}{2}$

Этап 1.4.2.6

Умножим $3$ на $160$ .

$- 3 x + \frac{480}{2}$

Этап 1.4.2.7

Сократим общий множитель $480$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $480$ .

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2}$

Этап 1.4.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2 (1)}$

Этап 1.4.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 x + \frac{240}{1}$

Этап 1.4.2.7.2.4

Разделим $240$ на $1$ .

$- 3 x + 240$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 3 x + 240$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [240]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (240)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (240)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (240)$

Этап 2.2.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f'' (x) = - 3 + \frac{d}{d x} (240)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $240$ является константой относительно $x$ , производная $240$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 3 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $- 3$ и $0$ .

$f'' (x) = - 3$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 3 x + 240 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $480 - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $480$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160) - 3 x}{2}]$

Этап 4.1.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160) + 3 (- x)}{2}]$

Этап 4.1.1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (160) + 3 (- x)$ .

$\frac{d}{d x} [x \frac{3 (160 - x)}{2}]$

Этап 4.1.1.2

Объединим $x$ и $\frac{3 (160 - x)}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x (3 (160 - x))}{2}]$

Этап 4.1.1.3

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x (160 - x)]$

Этап 4.1.2

$\frac{3}{2} (x \frac{d}{d x} [160 - x] + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

По правилу суммы производная $160 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [160] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2} (x (\frac{d}{d x} [160] + \frac{d}{d x} [- x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.2

Поскольку $160$ является константой относительно $x$ , производная $160$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3}{2} (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2} (x \frac{d}{d x} [- x] + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{2} (x (- 1 \cdot 1) + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3}{2} (x \cdot - 1 + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{3}{2} (- 1 \cdot x + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.6.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{3}{2} (- x + (160 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3}{2} (- x + (160 - x) \cdot 1)$

Этап 4.1.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.8.1

Умножим $160 - x$ на $1$ .

$\frac{3}{2} (- x + 160 - x)$

Этап 4.1.3.8.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{3}{2} (- 2 x + 160)$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{2} (- 2 x) + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 4.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 4.1.4.2.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{- 6}{2} x + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 4.1.4.2.3

Объединим $\frac{- 6}{2}$ и $x$ .

$\frac{- 6 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 4.1.4.2.4

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 4.1.4.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 4.1.4.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 4.1.4.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 x}{1} + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 4.1.4.2.4.2.4

Разделим $- 3 x$ на $1$ .

$- 3 x + \frac{3}{2} \cdot 160$

Этап 4.1.4.2.5

Объединим $\frac{3}{2}$ и $160$ .

$- 3 x + \frac{3 \cdot 160}{2}$

Этап 4.1.4.2.6

Умножим $3$ на $160$ .

$- 3 x + \frac{480}{2}$

Этап 4.1.4.2.7

Сократим общий множитель $480$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $480$ .

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2}$

Этап 4.1.4.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2 (1)}$

Этап 4.1.4.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- 3 x + \frac{2 \cdot 240}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 x + \frac{240}{1}$

Этап 4.1.4.2.7.2.4

Разделим $240$ на $1$ .

$f' (x) = - 3 x + 240$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x + 240$ .

$- 3 x + 240$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x + 240 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x + 240 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $240$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x = - 240$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 3 x = - 240$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 3 x = - 240$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 240}{- 3}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 240}{- 3}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 240}{- 3}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $- 240$ на $- 3$ .

$x = 80$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 80$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 80$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 3$

Этап 9

$x = 80$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 80$ — локальный максимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = 80$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $80$ .

$f (80) = (80) (\frac{480 - 3 \cdot 80}{2})$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Умножим $- 3$ на $80$ .

$f (80) = 80 (\frac{480 - 240}{2})$

Этап 10.2.1.2

Вычтем $240$ из $480$ .

$f (80) = 80 (\frac{240}{2})$

Этап 10.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $80$ .

$f (80) = 2 (40) (\frac{240}{2})$

Этап 10.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (80) = 2 \cdot (40 (\frac{240}{2}))$

Этап 10.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (80) = 40 \cdot 240$

Этап 10.2.2.2

Умножим $40$ на $240$ .

$f (80) = 9600$

Этап 10.2.3

Окончательный ответ: $9600$ .

$y = 9600$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = x (\frac{480 - 3 x}{2})$ .

$(80, 9600)$ — локальный максимум

Этап 12