Математический анализ Примеры

$f (x) = x - \sqrt[3]{x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x - \sqrt[3]{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 1.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 1.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 1.2.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.2.10

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.2.5.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.2.5.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Этап 2.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Этап 2.2.9.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Этап 2.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Этап 2.2.11

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Этап 2.2.12

Объединим $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ и $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Этап 2.2.13

Умножим $x^{- \frac{1}{3}}$ на $x^{- \frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Этап 2.2.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Этап 2.2.13.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Этап 2.2.13.4

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Этап 2.2.13.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Этап 2.2.14

Перенесем $x^{- \frac{5}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Этап 2.2.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 (\frac{1}{3}) \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 2.2.16

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 2.2.17

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Этап 2.2.18

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $x - \sqrt[3]{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \sqrt[3]{x})$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \sqrt[3]{x})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Этап 4.1.2.3

$f' (x) = 1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 4.1.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 4.1.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 4.1.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = 1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 4.1.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = 1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 4.1.2.7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f' (x) = 1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 4.1.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 1 - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 4.1.2.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 4.1.2.10

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = - 1$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

Этап 5.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$3 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.4

Каждый член в $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = - 1$ умножим на $3 x^{\frac{2}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = - 1$ на $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = - (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = - (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = - (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 1 = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 1$ .

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 1$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 1$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 1$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим $x^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 1}{- 3}$

Этап 5.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}$

Этап 5.5.3

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.5.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1

Упростим ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.5.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.5.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.5.4.1.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.5.4.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.5.4.1.1.2

Упростим.

$x = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Упростим $\pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$x = \pm \frac{1^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.5.4.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$x = \pm \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$1 - \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим каждый член $27 x^{2} = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Разделим каждый член $27 x^{2} = 0$ на $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 6.3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 6.3.3.1.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Этап 6.3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $27$ .

$x^{2} = 0$

Этап 6.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.3.3.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.3.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.3.3.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2}{9 {(\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{9 \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}}}$

Этап 9.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{9 \frac{1}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}}}$

Этап 9.1.3

Перемножим экспоненты в ${(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9 \frac{1}{3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3}}}}$

Этап 9.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{9 \frac{1}{3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3}}}}$

Этап 9.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{9 \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 5}}}$

Этап 9.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $5$ .

$\frac{2}{9 \frac{1}{3^{\frac{5}{2}}}}$

Этап 9.2

Объединим $9$ и $\frac{1}{3^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{2}{\frac{9}{3^{\frac{5}{2}}}}$

Этап 9.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 \frac{3^{\frac{5}{2}}}{9}$

Этап 9.4

Объединим $2$ и $\frac{3^{\frac{5}{2}}}{9}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{9}$

Этап 10

$x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) - \sqrt[3]{\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{\frac{1^{3}}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 11.2.1.2

Перепишем $3^{\frac{3}{2}}$ в виде ${(3^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{\frac{1^{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{3}}}$

Этап 11.2.1.3

Перепишем $\frac{1^{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{3}}$ в виде ${(\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{{(\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}}$

Этап 11.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3^{\frac{3}{2}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $3^{\frac{1}{2}}$ на $3^{\frac{2}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 11.2.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 11.2.3.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1 - 3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Разделим $2$ на $2$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1 - 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 11.2.5.2

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1 - 1 \cdot 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 11.2.5.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{1 - 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 11.2.5.4

Вычтем $3$ из $1$ .

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 11.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 11.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = - \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2}{9 {(- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{9 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} {(\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}})}^{\frac{5}{3}})}$

Этап 13.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2}{9 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Этап 13.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{2}{9 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Этап 13.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Этап 13.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Этап 13.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{9 ({(- 1)}^{5} \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Этап 13.1.5

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$\frac{2}{9 (- \frac{1^{\frac{5}{3}}}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Этап 13.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{9 (- \frac{1}{{(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}})}$

Этап 13.1.7

Перемножим экспоненты в ${(3^{\frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9 (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3}}})}$

Этап 13.1.7.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{9 (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3}}})}$

Этап 13.1.7.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{9 (- \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 5}})}$

Этап 13.1.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $5$ .

$\frac{2}{9 (- \frac{1}{3^{\frac{5}{2}}})}$

$\frac{2}{9 \cdot - 1 \frac{1}{3^{\frac{5}{2}}}}$

Этап 13.1.8

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.8.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{2}{- (9 \frac{1}{3^{\frac{5}{2}}})}$

Этап 13.1.8.2

Объединим $9$ и $\frac{1}{3^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{2}{- \frac{9}{3^{\frac{5}{2}}}}$

Этап 13.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 (- \frac{3^{\frac{5}{2}}}{9})$

Этап 13.3

Умножим $2 (- \frac{3^{\frac{5}{2}}}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \frac{3^{\frac{5}{2}}}{9}$

Этап 13.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{3^{\frac{5}{2}}}{9}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{9}$

Этап 13.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \cdot 3^{\frac{5}{2}}}{9}$

Этап 14

$x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) - \sqrt[3]{- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Перепишем $- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ в виде ${(- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})}^{3}}$

Этап 15.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.2.1.3

Умножим $- - \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + 1 (\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}})$

Этап 15.2.1.3.2

Умножим $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15.2.2

Чтобы записать $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 15.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3^{\frac{3}{2}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Умножим $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{2}{2}}}$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 15.2.3.2

Умножим $3^{\frac{1}{2}}$ на $3^{\frac{2}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 15.2.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 15.2.3.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 15.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 1 + 3^{\frac{2}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 15.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Разделим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 1 + 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 15.2.5.2

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 1 + 3}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 15.2.5.3

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $\frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = \frac{2}{3^{\frac{3}{2}}}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 17.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 17.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 17.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{9 \cdot 0^{5}}$

Этап 17.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2}{9 \cdot 0}$

Этап 17.3.2

Умножим $9$ на $0$ .

$\frac{2}{0}$

Этап 17.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{2}{0}$

Этап 17.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 18

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) \cup (- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, 0) \cup (0, \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Этап 18.2

Подставим любое число такое, что $- 3$ , из интервала $(- \infty, - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}})$ в первую производную $1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = 1 - \frac{1}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18.2.2

Окончательный ответ: $1 - \frac{1}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{3 {(- 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18.3

Подставим любое число такое, что $- 0.1$ , из интервала $(- \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, 0)$ в первую производную $1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f' (- 0.1) = 1 - \frac{1}{3 {(- 0.1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18.3.2

Окончательный ответ: $1 - \frac{1}{3 {(- 0.1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{3 {(- 0.1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18.4

Подставим любое число такое, что $0.1$ , из интервала $(0, \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}})$ в первую производную $1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f' (0.1) = 1 - \frac{1}{3 {(0.1)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.2.1.1

Возведем $0.1$ в степень $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.1) = 1 - \frac{1}{3 \cdot 0.21544346}$

Этап 18.4.2.1.2

Умножим $3$ на $0.21544346$ .

$f' (0.1) = 1 - \frac{1}{0.6463304}$

Этап 18.4.2.1.3

Разделим $1$ на $0.6463304$ .

$f' (0.1) = 1 - 1 \cdot 1.54719627$

Этап 18.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1.54719627$ .

$f' (0.1) = 1 - 1.54719627$

Этап 18.4.2.2

Вычтем $1.54719627$ из $1$ .

$f' (0.1) = - 0.54719627$

Этап 18.4.2.3

Окончательный ответ: $- 0.54719627$ .

$- 0.54719627$

Этап 18.5

Подставим любое число такое, что $3$ , из интервала $(\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ в первую производную $1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3 {(3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.2.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.2.1.1

Умножим $3$ на ${(3)}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.5.2.1.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3 {(3)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 18.5.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3^{1 + \frac{2}{3}}}$

Этап 18.5.2.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}$

Этап 18.5.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3^{\frac{3 + 2}{3}}}$

Этап 18.5.2.1.4

Добавим $3$ и $2$ .

$f' (3) = 1 - \frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

Этап 18.5.2.2

Окончательный ответ: $1 - \frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$ .

$1 - \frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

Этап 18.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ , $x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ — локальный максимум.

$x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ — локальный максимум

Этап 18.7

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 18.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ , $x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ — локальный минимум.

$x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ — локальный минимум

Этап 18.9

Это локальные экстремумы $f (x) = x - \sqrt[3]{x}$ .

$x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ — локальный максимум

$x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ — локальный минимум

$x = - \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ — локальный максимум

$x = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ — локальный минимум

Этап 19