Математический анализ Примеры

$f (x) = \tan (x) - x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\tan (x) - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок членов.

$- 1 + \sec^{2} (x)$

Этап 1.4.2

Изменим порядок $- 1$ и $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) - 1$

Этап 1.4.3

Применим формулу Пифагора.

$\tan^{2} (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\tan (x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

Этап 2.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

Этап 2.3

Изменим порядок множителей в $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\tan^{2} (x) = 0$

Этап 4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\tan (x) = \pm \sqrt{0}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\tan (x) = \pm 0$

Этап 5.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 6

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 8

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 9

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 10

Решение уравнения $x = 0$ .

$x = 0, π$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \sec^{2} (0) \tan (0)$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$2 \cdot 1^{2} \tan (0)$

Этап 12.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 \cdot 1 \tan (0)$

Этап 12.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \tan (0)$

Этап 12.4

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$2 \cdot 0$

Этап 12.5

Умножим $2$ на $0$ .

$0$

Этап 13

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 14