Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (4 x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4 x}$ .

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{4 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Этап 1.2.4

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2}$

Этап 2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{1}{x} = 0$

Этап 4

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 5

Нет локальных экстремумов

Этап 6