Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (x^{2})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\cos (x^{2}) (2 x)$

Этап 1.2.2

Изменим порядок множителей в $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$2 x \cos (x^{2})$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \cos (x^{2})$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \cos (x^{2}))$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

Этап 2.10

Умножим $\cos (x^{2})$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

Этап 2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 2 \cos (x^{2})$

Этап 2.11.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 x \cos (x^{2}) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$\cos (x^{2}) = 0$

Этап 5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Приравняем $\cos (x^{2})$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\cos (x^{2})$ к $0$ .

$\cos (x^{2}) = 0$

Этап 6.2

Решим $\cos (x^{2}) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Подставим $u$ вместо $x^{2}$ .

$\cos (u) = 0$

Этап 6.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $u$ из косинуса.

$u = \arccos (0)$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$u = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.5

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$u = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$u = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$u = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 6.2.5.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$u = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.2.6

Решение уравнения $u = \frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Этап 6.2.7

Подставить $x^{2}$ вместо $u$ и решить $x^{2} = \frac{π}{2}$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{π}{2}}$

Этап 6.2.7.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{π}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{π}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.2.7.2.2

Умножим $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.2.7.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.2.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 6.2.7.2.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 6.2.7.2.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 6.2.7.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 6.2.7.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 6.2.7.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.2.7.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.2.7.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.7.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.7.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 6.2.7.2.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

Этап 6.2.7.2.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Этап 6.2.7.2.5

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Этап 6.2.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Этап 6.2.7.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Этап 6.2.7.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}, - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

Этап 6.2.8

Подставить $x^{2}$ вместо $u$ и решить $x^{2} = \frac{3 π}{2}$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

Этап 6.2.8.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.2.8.2.2

Умножим $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.2.8.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.2.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 6.2.8.2.3.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 6.2.8.2.3.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 6.2.8.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 6.2.8.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 6.2.8.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.2.8.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.2.8.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.8.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.8.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 6.2.8.2.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

Этап 6.2.8.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.2.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

Этап 6.2.8.2.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Этап 6.2.8.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Этап 6.2.8.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Этап 6.2.8.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x \cos (x^{2}) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4 {(0)}^{2} \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 4 \cdot 0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Этап 9.1.2

Умножим $- 4$ на $0$ .

$0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 \sin (0) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Этап 9.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 \cdot 0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Этап 9.1.5

Умножим $0$ на $0$ .

$0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

Этап 9.1.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 2 \cos (0)$

Этап 9.1.7

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Этап 9.1.8

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 2$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \sin ({(0)}^{2})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \sin (0)$

Этап 11.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4 {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.2

Перепишем ${\sqrt{6 π}}^{2}$ в виде $6 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 π}$ в виде ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.2.5

Упростим.

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.4.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.4.3

Перепишем это выражение.

$- 1 (6 π) \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.5

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6 π \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.6

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.7

Перепишем ${\sqrt{6 π}}^{2}$ в виде $6 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 π}$ в виде ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.7.4.2

Перепишем это выражение.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.7.5

Упростим.

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.9

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.9.1

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.10

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.11

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.13

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$6 π + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 13.1.14

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Этап 13.1.15

Перепишем ${\sqrt{6 π}}^{2}$ в виде $6 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.15.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 π}$ в виде ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Этап 13.1.15.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Этап 13.1.15.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Этап 13.1.15.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.15.4.1

Сократим общий множитель.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Этап 13.1.15.4.2

Перепишем это выражение.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

Этап 13.1.15.5

Упростим.

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

Этап 13.1.16

Возведем $2$ в степень $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

Этап 13.1.17

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.17.1

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

Этап 13.1.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Этап 13.1.17.2.2

Сократим общий множитель.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Этап 13.1.17.2.3

Перепишем это выражение.

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 13.1.18

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 13.1.19

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$6 π + 2 \cdot 0$

Этап 13.1.20

Умножим $2$ на $0$ .

$6 π + 0$

Этап 13.2

Добавим $6 π$ и $0$ .

$6 π$

Этап 14

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Этап 15.2.2

Перепишем ${\sqrt{6 π}}^{2}$ в виде $6 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 π}$ в виде ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Этап 15.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Этап 15.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Этап 15.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Этап 15.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Этап 15.2.2.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Этап 15.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

Этап 15.2.4

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Этап 15.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Этап 15.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Этап 15.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 15.2.5

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Этап 15.2.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

Этап 15.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

Этап 15.2.8

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4 {(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 4 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 4 (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.3

Умножим $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.4

Перепишем ${\sqrt{6 π}}^{2}$ в виде $6 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 π}$ в виде ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.4.5

Упростим.

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.6.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.6.3

Перепишем это выражение.

$- 1 (6 π) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.7

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 6 π \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.8

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.8.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.8.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 6 π \sin (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.10

Умножим $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.11

Перепишем ${\sqrt{6 π}}^{2}$ в виде $6 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.11.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 π}$ в виде ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.11.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.11.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.11.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.11.4.1

Сократим общий множитель.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.11.4.2

Перепишем это выражение.

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.11.5

Упростим.

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.12

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.13

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.13.1

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.13.2.2

Сократим общий множитель.

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.13.2.3

Перепишем это выражение.

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.14

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.15

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.17

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$6 π + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.18

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.18.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 17.1.18.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Этап 17.1.19

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$6 π + 2 \cos (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Этап 17.1.20

Умножим $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Этап 17.1.21

Перепишем ${\sqrt{6 π}}^{2}$ в виде $6 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.21.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 π}$ в виде ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Этап 17.1.21.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Этап 17.1.21.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Этап 17.1.21.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.21.4.1

Сократим общий множитель.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Этап 17.1.21.4.2

Перепишем это выражение.

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

Этап 17.1.21.5

Упростим.

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

Этап 17.1.22

Возведем $2$ в степень $2$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

Этап 17.1.23

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.23.1

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

Этап 17.1.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.23.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Этап 17.1.23.2.2

Сократим общий множитель.

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Этап 17.1.23.2.3

Перепишем это выражение.

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 17.1.24

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

Этап 17.1.25

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$6 π + 2 \cdot 0$

Этап 17.1.26

Умножим $2$ на $0$ .

$6 π + 0$

Этап 17.2

Добавим $6 π$ и $0$ .

$6 π$

Этап 18

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

Этап 19.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

Этап 19.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (1 (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

Этап 19.2.2.2

Умножим $\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

Этап 19.2.3

Перепишем ${\sqrt{6 π}}^{2}$ в виде $6 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 π}$ в виде ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Этап 19.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Этап 19.2.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Этап 19.2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Этап 19.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Этап 19.2.3.5

Упростим.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

Этап 19.2.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

Этап 19.2.5

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Этап 19.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Этап 19.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Этап 19.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 19.2.6

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

Этап 19.2.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

Этап 19.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

Этап 19.2.9

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = \sin (x^{2})$ .

$(0, 0)$ — локальный минимум

$(\frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ — локальный минимум

$(- \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ — локальный минимум

Этап 21