Математический анализ Примеры

$f (x) = \sec (2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.2

Производная $\sec (u)$ по $u$ равна $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Этап 1.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sec (2 x) \tan (2 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sec (2 x) \tan (2 x))$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (2 x)$ и $g (x) = \tan (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (\tan (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\frac{d}{d u (1)} (\tan (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Этап 2.3.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Этап 2.4

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{2} (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 ({\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Этап 2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Этап 2.6.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Этап 2.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Этап 2.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec^{3} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Этап 2.6.4.2

Перенесем $2$ влево от $\sec^{3} (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x)))$

Этап 2.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Этап 2.7.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Этап 2.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Этап 2.8

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Этап 2.9

Возведем $\tan (2 x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Этап 2.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 1} (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Этап 2.11

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)))$

Этап 2.12

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 2.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) \cdot 2)$

Этап 2.14.2

Перенесем $2$ влево от $\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \cdot (\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)))$

Этап 2.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2 (2 \sec^{3} (2 x)) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Этап 2.15.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{3} (2 x) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Этап 2.15.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{3} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$

Этап 2.15.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sec (2 x) = 0$

$\tan (2 x) = 0$

Этап 5

Приравняем $\sec (2 x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sec (2 x)$ к $0$ .

$\sec (2 x) = 0$

Этап 5.2

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 6

Приравняем $\tan (2 x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\tan (2 x)$ к $0$ .

$\tan (2 x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\tan (2 x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$2 x = \arctan (0)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$2 x = 0$

Этап 6.2.3

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 6.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 6.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 6.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 6.2.4

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = π + 0$

Этап 6.2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Добавим $π$ и $0$ .

$2 x = π$

Этап 6.2.5.2

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.2.1

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 6.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 6.2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6.2.6

Решение уравнения $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sec (2 x) \tan (2 x) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{π}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 \tan^{2} (2 (0)) \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$4 \tan^{2} (0) \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Этап 9.1.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$4 \cdot 0^{2} \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 \cdot 0 \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Этап 9.1.4

Умножим $4$ на $0$ .

$0 \sec (2 (0)) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Этап 9.1.5

Умножим $2$ на $0$ .

$0 \sec (0) + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Этап 9.1.6

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Этап 9.1.7

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 4 \sec^{3} (2 (0))$

Этап 9.1.8

Умножим $2$ на $0$ .

$0 + 4 \sec^{3} (0)$

Этап 9.1.9

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$0 + 4 \cdot 1^{3}$

Этап 9.1.10

Единица в любой степени равна единице.

$0 + 4 \cdot 1$

Этап 9.1.11

Умножим $4$ на $1$ .

$0 + 4$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $4$ .

$4$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \sec (2 (0))$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = \sec (0)$

Этап 11.2.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 \tan^{2} (2 (\frac{π}{2})) \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \tan^{2} (2 \frac{π}{2}) \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 13.1.1.2

Перепишем это выражение.

$4 \tan^{2} (π) \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 13.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный во втором квадранте.

$4 {(- \tan (0))}^{2} \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 13.1.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$4 {(- 0)}^{2} \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 13.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 \cdot 0^{2} \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 13.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 \cdot 0 \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 13.1.6

Умножим $4$ на $0$ .

$0 \sec (2 (\frac{π}{2})) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 13.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1

Сократим общий множитель.

$0 \sec (2 \frac{π}{2}) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 13.1.7.2

Перепишем это выражение.

$0 \sec (π) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 13.1.8

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как секанс отрицательный во втором квадранте.

$0 (- \sec (0)) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 13.1.9

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 13.1.10

Умножим $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.10.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 \cdot - 1 + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 13.1.10.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 + 4 \sec^{3} (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 13.1.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.11.1

Сократим общий множитель.

$0 + 4 \sec^{3} (2 \frac{π}{2})$

Этап 13.1.11.2

Перепишем это выражение.

$0 + 4 \sec^{3} (π)$

Этап 13.1.12

$0 + 4 {(- \sec (0))}^{3}$

Этап 13.1.13

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$0 + 4 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Этап 13.1.14

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 + 4 {(- 1)}^{3}$

Этап 13.1.15

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$0 + 4 \cdot - 1$

Этап 13.1.16

Умножим $4$ на $- 1$ .

$0 - 4$

Этап 13.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4$

Этап 14

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sec (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{2}) = \sec (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 15.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{2}) = \sec (π)$

Этап 15.2.2

$f (\frac{π}{2}) = - \sec (0)$

Этап 15.2.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 1 \cdot 1$

Этап 15.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 1$

Этап 15.2.5

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \sec (2 x)$ .

$(0, 1)$ — локальный минимум

$(\frac{π}{2}, - 1)$ — локальный максимум

Этап 17