Математический анализ Примеры

$g (x) = \sqrt{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 8 x + 41}$ в виде ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 8 x + 41$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 8 x + 41$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 1.7.3

Перенесем ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 1.8

По правилу суммы производная $x^{2} - 8 x + 41$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41])$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41])$

Этап 1.10

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [41])$

Этап 1.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [41])$

Этап 1.12

Умножим $- 8$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [41])$

Этап 1.13

Поскольку $41$ является константой относительно $x$ , производная $41$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 + 0)$

Этап 1.14

Добавим $2 x - 8$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8)$

Этап 1.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8)$ .

$(2 x - 8) \frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.15.2

Умножим $2 x - 8$ на $\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 8}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.15.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 8}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.15.4

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot - 4}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.15.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- 4)$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.15.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2 ({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.15.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x - 4)}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.15.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 4$ и $g (x) = {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.3

Упростим.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.4.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.4.4.2

Умножим ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} - 8 x + 41$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} - 8 x + 41$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.10.3

Перенесем ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.11

По правилу суммы производная $x^{2} - 8 x + 41$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41)))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41)))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.13

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41)))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41)))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.15

Умножим $- 8$ на $1$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41)))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.16

Поскольку $41$ является константой относительно $x$ , производная $41$ относительно $x$ равна $0$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8 + 0))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.17

Добавим $2 x - 8$ и $0$ .

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - (x - 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = \frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + (- x + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 8))}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.2.1

Пусть $u_{2} = {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u_{2}$ вместо ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.2.1.1

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x - 4)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.1.2

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x - 4)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$g'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{1 + 1} - {(x - 4)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.1.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = u_{2}$ и $b = x - 4$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 4) (u_{2} - (x - 4))}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.2.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 4) (u_{2} - x + 4)}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.1.6.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x - 4) (u_{2} - x + 4)}{u_{2}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x - 4) ({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - x + 4)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.2.3.1

Развернем $({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x - 4) ({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - x + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.2

Объединим противоположные члены в ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.2.3.2.1

Изменим порядок множителей в членах ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (- x)$ и $x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.2.2

Добавим $- x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ и $x {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 0 + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.2.3

Добавим ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4$ и $0$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.2.4

Изменим порядок множителей в членах ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4$ и $- 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.2.5

Вычтем $4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ из $4 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 + 0 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.2.6

Добавим ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4$ и $0$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.2.3.3.1

Умножим ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.2.3.3.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.3.1.3

Добавим $1$ и $1$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{2}{2}} + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.3.1.4

Разделим $2$ на $2$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} - 8 x + 41) + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.3.2

Упростим ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{1}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 + x (- x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - x \cdot x + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.3.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.2.3.3.4.1

Перенесем $x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x \cdot x) + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.3.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - x^{2} + x \cdot 4 - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.3.5

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - x^{2} + 4 \cdot x - 4 (- x) - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.3.6

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - x^{2} + 4 x + 4 x - 4 \cdot 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.3.7

Умножим $- 4$ на $4$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{x^{2} - 8 x + 41 - x^{2} + 4 x + 4 x - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.4

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 8 x + 41 - x^{2} + 4 x + 4 x - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.2.3.4.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{- 8 x + 41 + 0 + 4 x + 4 x - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.4.2

Добавим $- 8 x + 41$ и $0$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{- 8 x + 41 + 4 x + 4 x - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.5

Добавим $- 8 x$ и $4 x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{- 4 x + 41 + 4 x - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.6

Объединим противоположные члены в $- 4 x + 41 + 4 x - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.2.3.6.1

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{0 + 41 - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.6.2

Добавим $0$ и $41$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{41 - 16}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.2.3.7

Вычтем $16$ из $41$ .

$g'' (x) = \frac{\frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.1

Перепишем $\frac{\frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 8 x + 41}$ в виде произведения.

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$

Этап 2.18.3.2

Умножим $\frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$ .

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 8 x + 41)}$

Этап 2.18.3.3

Умножим ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} - 8 x + 41$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.3.1

Умножим ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ на $x^{2} - 8 x + 41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.3.3.1.1

Возведем $x^{2} - 8 x + 41$ в степень $1$ .

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 8 x + 41)}$

Этап 2.18.3.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 2.18.3.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 2.18.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 2.18.3.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$g'' (x) = \frac{25}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 8 x + 41}$ в виде ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 8 x + 41$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 4.1.2.2

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 8 x + 41$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 4.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 4.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 4.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 4.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 4.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 4.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 4.1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 4.1.7.3

Перенесем ${(x^{2} - 8 x + 41)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 41]$

Этап 4.1.8

По правилу суммы производная $x^{2} - 8 x + 41$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41])$

Этап 4.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41])$

Этап 4.1.10

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [41])$

Этап 4.1.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [41])$

Этап 4.1.12

Умножим $- 8$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [41])$

Этап 4.1.13

Поскольку $41$ является константой относительно $x$ , производная $41$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8 + 0)$

Этап 4.1.14

Добавим $2 x - 8$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8)$

Этап 4.1.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 8)$ .

$(2 x - 8) \frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.15.2

Умножим $2 x - 8$ на $\frac{1}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x - 8}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.15.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 8}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.15.4

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\frac{2 (x) + 2 \cdot - 4}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.15.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- 4)$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.15.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x - 4)}{2 ({(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.1.15.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x - 4)}{2 {(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.15.6.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Первая производная $g (x)$ по $x$ равна $\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$x - 4 = 0$

Этап 5.3

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 4$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{25}{{({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 41)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{25}{{(16 - 8 \cdot 4 + 41)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.1.2

Умножим $- 8$ на $4$ .

$\frac{25}{{(16 - 32 + 41)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2

Вычтем $32$ из $16$ .

$\frac{25}{{(- 16 + 41)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.3

Добавим $- 16$ и $41$ .

$\frac{25}{25^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{25}{{(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.5

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{25}{5^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 9.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25}{5^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 9.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{25}{5^{3}}$

Этап 9.1.7

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{25}{125}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $25$ и $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$\frac{25 (1)}{125}$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $125$ .

$\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5}$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 5}$

Этап 9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5}$

Этап 10

$x = 4$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 4$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$g (4) = \sqrt{{(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 41}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$g (4) = \sqrt{16 - 8 \cdot 4 + 41}$

Этап 11.2.2

Умножим $- 8$ на $4$ .

$g (4) = \sqrt{16 - 32 + 41}$

Этап 11.2.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$g (4) = \sqrt{- 16 + 41}$

Этап 11.2.4

Добавим $- 16$ и $41$ .

$g (4) = \sqrt{25}$

Этап 11.2.5

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$g (4) = \sqrt{5^{2}}$

Этап 11.2.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$g (4) = 5$

Этап 11.2.7

Окончательный ответ: $5$ .

$y = 5$

Этап 12

Это локальные экстремумы $g (x) = \sqrt{x^{2} - 8 x + 41}$ .

$(4, 5)$ — локальный минимум

Этап 13