Математический анализ Примеры

$g (x) = 14 x^{2} + 21 x^{2} - 84 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $14 x^{2} + 21 x^{2} - 84 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 84 x]$ .

$\frac{d}{d x} [14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 84 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [14 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 x^{2}$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 84 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$14 (2 x) + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 84 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $14$ .

$28 x + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 84 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [21 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $21$ является константой относительно $x$ , производная $21 x^{2}$ по $x$ равна $21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$28 x + 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 84 x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$28 x + 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 84 x]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $21$ .

$28 x + 42 x + \frac{d}{d x} [- 84 x]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 84 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 84$ является константой относительно $x$ , производная $- 84 x$ по $x$ равна $- 84 \frac{d}{d x} [x]$ .

$28 x + 42 x - 84 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$28 x + 42 x - 84 \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $- 84$ на $1$ .

$28 x + 42 x - 84$

Этап 1.5

Добавим $28 x$ и $42 x$ .

$70 x - 84$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $70 x - 84$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [70 x] + \frac{d}{d x} [- 84]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (70 x) + \frac{d}{d x} (- 84)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [70 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $70$ является константой относительно $x$ , производная $70 x$ по $x$ равна $70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = 70 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 84)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$g'' (x) = 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 84)$

Этап 2.2.3

Умножим $70$ на $1$ .

$g'' (x) = 70 + \frac{d}{d x} (- 84)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 84$ является константой относительно $x$ , производная $- 84$ относительно $x$ равна $0$ .

$g'' (x) = 70 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $70$ и $0$ .

$g'' (x) = 70$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$70 x - 84 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $14 x^{2} + 21 x^{2} - 84 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 84 x]$ .

$\frac{d}{d x} [14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 84 x]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [14 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 x^{2}$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 84 x]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$14 (2 x) + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 84 x]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $14$ .

$28 x + \frac{d}{d x} [21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 84 x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [21 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $21$ является константой относительно $x$ , производная $21 x^{2}$ по $x$ равна $21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$28 x + 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 84 x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$28 x + 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 84 x]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $21$ .

$28 x + 42 x + \frac{d}{d x} [- 84 x]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 84 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 84$ является константой относительно $x$ , производная $- 84 x$ по $x$ равна $- 84 \frac{d}{d x} [x]$ .

$28 x + 42 x - 84 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$28 x + 42 x - 84 \cdot 1$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 84$ на $1$ .

$28 x + 42 x - 84$

Этап 4.1.5

Добавим $28 x$ и $42 x$ .

$f' (x) = 70 x - 84$

Этап 4.2

Первая производная $g (x)$ по $x$ равна $70 x - 84$ .

$70 x - 84$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $70 x - 84 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$70 x - 84 = 0$

Этап 5.2

Добавим $84$ к обеим частям уравнения.

$70 x = 84$

Этап 5.3

Разделим каждый член $70 x = 84$ на $70$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $70 x = 84$ на $70$ .

$\frac{70 x}{70} = \frac{84}{70}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $70$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{70 x}{70} = \frac{84}{70}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{84}{70}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $84$ и $70$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $14$ из $84$ .

$x = \frac{14 (6)}{70}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $14$ из $70$ .

$x = \frac{14 \cdot 6}{14 \cdot 5}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{14 \cdot 6}{14 \cdot 5}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{6}{5}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{6}{5}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{6}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$70$

Этап 9

$x = \frac{6}{5}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{6}{5}$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = \frac{6}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{6}{5}$ .

$g (\frac{6}{5}) = 14 {(\frac{6}{5})}^{2} + 21 {(\frac{6}{5})}^{2} - 84 (\frac{6}{5})$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{6}{5}$ .

$g (\frac{6}{5}) = 14 (\frac{6^{2}}{5^{2}}) + 21 {(\frac{6}{5})}^{2} - 84 (\frac{6}{5})$

Этап 10.2.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$g (\frac{6}{5}) = 14 (\frac{36}{5^{2}}) + 21 {(\frac{6}{5})}^{2} - 84 (\frac{6}{5})$

Этап 10.2.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$g (\frac{6}{5}) = 14 (\frac{36}{25}) + 21 {(\frac{6}{5})}^{2} - 84 (\frac{6}{5})$

Этап 10.2.1.4

Умножим $14 (\frac{36}{25})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Объединим $14$ и $\frac{36}{25}$ .

$g (\frac{6}{5}) = \frac{14 \cdot 36}{25} + 21 {(\frac{6}{5})}^{2} - 84 (\frac{6}{5})$

Этап 10.2.1.4.2

Умножим $14$ на $36$ .

$g (\frac{6}{5}) = \frac{504}{25} + 21 {(\frac{6}{5})}^{2} - 84 (\frac{6}{5})$

Этап 10.2.1.5

Применим правило умножения к $\frac{6}{5}$ .

$g (\frac{6}{5}) = \frac{504}{25} + 21 (\frac{6^{2}}{5^{2}}) - 84 (\frac{6}{5})$

Этап 10.2.1.6

Возведем $6$ в степень $2$ .

$g (\frac{6}{5}) = \frac{504}{25} + 21 (\frac{36}{5^{2}}) - 84 (\frac{6}{5})$

Этап 10.2.1.7

Возведем $5$ в степень $2$ .

$g (\frac{6}{5}) = \frac{504}{25} + 21 (\frac{36}{25}) - 84 (\frac{6}{5})$

Этап 10.2.1.8

Умножим $21 (\frac{36}{25})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.8.1

Объединим $21$ и $\frac{36}{25}$ .

$g (\frac{6}{5}) = \frac{504}{25} + \frac{21 \cdot 36}{25} - 84 (\frac{6}{5})$

Этап 10.2.1.8.2

Умножим $21$ на $36$ .

$g (\frac{6}{5}) = \frac{504}{25} + \frac{756}{25} - 84 (\frac{6}{5})$

Этап 10.2.1.9

Умножим $- 84 (\frac{6}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.9.1

Объединим $- 84$ и $\frac{6}{5}$ .

$g (\frac{6}{5}) = \frac{504}{25} + \frac{756}{25} + \frac{- 84 \cdot 6}{5}$

Этап 10.2.1.9.2

Умножим $- 84$ на $6$ .

$g (\frac{6}{5}) = \frac{504}{25} + \frac{756}{25} + \frac{- 504}{5}$

Этап 10.2.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (\frac{6}{5}) = \frac{504}{25} + \frac{756}{25} - \frac{504}{5}$

Этап 10.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$g (\frac{6}{5}) = \frac{504 + 756}{25} + \frac{- 504}{5}$

Этап 10.2.2.2

Добавим $504$ и $756$ .

$g (\frac{6}{5}) = \frac{1260}{25} + \frac{- 504}{5}$

Этап 10.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Сократим общий множитель $1260$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $1260$ .

$g (\frac{6}{5}) = \frac{5 (252)}{25} + \frac{- 504}{5}$

Этап 10.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$g (\frac{6}{5}) = \frac{5 \cdot 252}{5 \cdot 5} + \frac{- 504}{5}$

Этап 10.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$g (\frac{6}{5}) = \frac{5 \cdot 252}{5 \cdot 5} + \frac{- 504}{5}$

Этап 10.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$g (\frac{6}{5}) = \frac{252}{5} + \frac{- 504}{5}$

Этап 10.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (\frac{6}{5}) = \frac{252}{5} - \frac{504}{5}$

Этап 10.2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$g (\frac{6}{5}) = \frac{252 - 504}{5}$

Этап 10.2.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.2.1

Вычтем $504$ из $252$ .

$g (\frac{6}{5}) = \frac{- 252}{5}$

Этап 10.2.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (\frac{6}{5}) = - \frac{252}{5}$

Этап 10.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{252}{5}$ .

$y = - \frac{252}{5}$

Этап 11

Это локальные экстремумы $g (x) = 14 x^{2} + 21 x^{2} - 84 x$ .

$(\frac{6}{5}, - \frac{252}{5})$ — локальный минимум

Этап 12