Математический анализ Примеры

$F (x) = x + 4 \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x + 4 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \cos (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$1 + 4 (- \sin (x))$

Этап 1.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$1 - 4 \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $1 - 4 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$F'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Этап 2.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$F'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 4 \sin (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 \sin (x)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$F'' (x) = 0 - 4 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$F'' (x) = 0 - 4 \cos (x)$

Этап 2.3

Вычтем $4 \cos (x)$ из $0$ .

$F'' (x) = - 4 \cos (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$1 - 4 \sin (x) = 0$

Этап 4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \sin (x) = - 1$

Этап 5

Разделим каждый член $- 4 \sin (x) = - 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- 4 \sin (x) = - 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \sin (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

Этап 6

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{4})$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1}{4})$ .

$x = 0.25268025$

Этап 8

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 0.25268025$

Этап 9.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Этап 9.3

Вычтем $0.25268025$ из $3.14159265$ .

$x = 2.88891239$

Этап 10

Решение уравнения $x = 0.25268025$ .

$x = 0.25268025, 2.88891239$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = 0.25268025$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4 \cos (0.25268025)$

Этап 12

$x = 0.25268025$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0.25268025$ — локальный максимум

Этап 13

Найдем значение y, если $x = 0.25268025$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.25268025$ .

$F (0.25268025) = (0.25268025) + 4 \cos (0.25268025)$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $0.25268025$ и $4 \cos (0.25268025)$ .

$F (0.25268025) = 4.1256636$

Этап 13.2.2

Окончательный ответ: $4.1256636$ .

$y = 4.1256636$

Этап 14

Найдем вторую производную в $x = 2.88891239$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4 \cos (2.88891239)$

Этап 15

$x = 2.88891239$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2.88891239$ — локальный минимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = 2.88891239$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.88891239$ .

$F (2.88891239) = (2.88891239) + 4 \cos (2.88891239)$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Добавим $2.88891239$ и $4 \cos (2.88891239)$ .

$F (2.88891239) = - 0.98407094$

Этап 16.2.2

Окончательный ответ: $- 0.98407094$ .

$y = - 0.98407094$

Этап 17

Это локальные экстремумы $F (x) = x + 4 \cos (x)$ .

$(0.25268025, 4.1256636)$ — локальный максимум

$(2.88891239, - 0.98407094)$ — локальный минимум

Этап 18