Математический анализ Примеры

$f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x - 5 \ln (3 x - 9)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 \ln (3 x - 9)$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Этап 1.2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $3 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Этап 1.2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Этап 1.2.6

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Этап 1.2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Этап 1.2.8

Добавим $3$ и $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Этап 1.2.9

Объединим $\frac{1}{3 x - 9}$ и $3$ .

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

Этап 1.2.10

Сократим общий множитель $3$ и $3 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Этап 1.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Этап 1.2.10.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Этап 1.2.10.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Этап 1.2.10.2.4

Сократим общий множитель.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Этап 1.2.10.2.5

Перепишем это выражение.

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

Этап 1.2.11

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

Этап 1.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{5}{x - 3}$

Этап 1.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

Этап 1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

Этап 1.3.3

Вычтем $5$ из $- 3$ .

$\frac{x - 8}{x - 3}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 8$ и $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + 0) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \cdot 1 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $x - 3$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.5

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x - 3 - x + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим противоположные члены в $x - 3 - x - - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$f'' (x) = \frac{0 - 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.3.2.1.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2.3.2.3

Добавим $- 3$ и $8$ .

$f'' (x) = \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $x - 5 \ln (3 x - 9)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 \ln (3 x - 9)$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Этап 4.1.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Этап 4.1.2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Этап 4.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 9$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Этап 4.1.2.3

По правилу суммы производная $3 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Этап 4.1.2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Этап 4.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Этап 4.1.2.6

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Этап 4.1.2.7

Умножим $3$ на $1$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Этап 4.1.2.8

Добавим $3$ и $0$ .

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Этап 4.1.2.9

Объединим $\frac{1}{3 x - 9}$ и $3$ .

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

Этап 4.1.2.10

Сократим общий множитель $3$ и $3 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Этап 4.1.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Этап 4.1.2.10.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Этап 4.1.2.10.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Этап 4.1.2.10.2.4

Сократим общий множитель.

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Этап 4.1.2.10.2.5

Перепишем это выражение.

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

Этап 4.1.2.11

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

Этап 4.1.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{5}{x - 3}$

Этап 4.1.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

Этап 4.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

Этап 4.1.3.3

Вычтем $5$ из $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 8}{x - 3}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x - 8}{x - 3}$ .

$\frac{x - 8}{x - 3}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x - 8}{x - 3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$x - 8 = 0$

Этап 5.3

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 8}{x - 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 3 = 0$

Этап 6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 8$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 8$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{5}{{((8) - 3)}^{2}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $3$ из $8$ .

$\frac{5}{5^{2}}$

Этап 9.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{5}{25}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $5$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (1)}{25}$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

Этап 9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5}$

Этап 10

$x = 8$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 8$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f (8) = (8) - 5 \ln (3 (8) - 9)$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $3$ на $8$ .

$f (8) = 8 - 5 \ln (24 - 9)$

Этап 11.2.1.2

Вычтем $9$ из $24$ .

$f (8) = 8 - 5 \ln (15)$

Этап 11.2.1.3

Упростим $- 5 \ln (15)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$f (8) = 8 - \ln (15^{5})$

Этап 11.2.1.4

Возведем $15$ в степень $5$ .

$f (8) = 8 - \ln (759375)$

Этап 11.2.2

Окончательный ответ: $8 - \ln (759375)$ .

$y = 8 - \ln (759375)$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$ .

$(8, 8 - \ln (759375))$ — локальный минимум

Этап 13