Математический анализ Примеры

$f (x) = x - 8 \sqrt{x - 5}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x - 8 \sqrt{x - 5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x - 5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x - 5}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x - 5}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x - 5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 5}$ в виде ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 8 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 - 8 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 5$ .

$1 - 8 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 5$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 1.2.4

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Этап 1.2.6

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))$

Этап 1.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))$

Этап 1.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Этап 1.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Этап 1.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))$

Этап 1.2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))$

Этап 1.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))$

Этап 1.2.12

Добавим $1$ и $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 1.2.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 - 8 (\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)$

Этап 1.2.14

Умножим $\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$1 - 8 \frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 1.2.15

Перенесем ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 8 \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2.16

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 + \frac{- 8}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2.17

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 4}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2.18

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.18.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 4}{2 ({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 1.2.18.2

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{2 \cdot - 4}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2.18.3

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- 4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $1 - \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ в виде ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \frac{d}{d x} {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{\frac{1}{2}}))$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x - 5$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 5)))$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 5)))$

Этап 2.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 5$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 5)))$

Этап 2.2.5

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)))))$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)))))$

Этап 2.2.7

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))))$

Этап 2.2.8

Перемножим экспоненты в ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))))$

Этап 2.2.8.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))))$

Этап 2.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))))$

Этап 2.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))))$

Этап 2.2.9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))))$

Этап 2.2.10

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))))$

Этап 2.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))))$

Этап 2.2.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))))$

Этап 2.2.12.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))))$

Этап 2.2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))))$

Этап 2.2.14

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1))$

Этап 2.2.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} (\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1))$

Этап 2.2.16

Умножим $\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} \frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 2.2.17

Перенесем ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- {(x - 5)}^{- 1} \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.18

Объединим $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и ${(x - 5)}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{{(x - 5)}^{- 1}}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.19

Перенесем ${(x - 5)}^{- 1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} (x - 5)})$

Этап 2.2.20

Умножим ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ на $x - 5$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.20.1

Перенесем $x - 5$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{1}{2 ((x - 5) {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})})$

Этап 2.2.20.2

Умножим $x - 5$ на ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.20.2.1

Возведем $x - 5$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{1}{2 ((x - 5) {(x - 5)}^{\frac{1}{2}})})$

Этап 2.2.20.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.20.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

Этап 2.2.20.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

Этап 2.2.20.5

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}})$

Этап 2.2.21

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f'' (x) = 0 + 4 (\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}})$

Этап 2.2.22

Объединим $4$ и $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{4}{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.2.23

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2 \cdot 2}{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.2.24

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.24.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2 \cdot 2}{2 ({(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}$

Этап 2.2.24.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 0 + \frac{2 \cdot 2}{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.2.24.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{{(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{2}{{(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$1 - \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $x - 8 \sqrt{x - 5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x - 5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x - 5}]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x - 5}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x - 5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 5}$ в виде ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 8 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2.2

$1 - 8 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 5$ .

$1 - 8 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 4.1.2.3.2

$1 - 8 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 4.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 5$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 4.1.2.4

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Этап 4.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Этап 4.1.2.6

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))$

Этап 4.1.2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))$

Этап 4.1.2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Этап 4.1.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Этап 4.1.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))$

Этап 4.1.2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))$

Этап 4.1.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))$

Этап 4.1.2.12

Добавим $1$ и $0$ .

$1 - 8 (\frac{1}{2} {(x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 4.1.2.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 - 8 (\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)$

Этап 4.1.2.14

Умножим $\frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$1 - 8 \frac{{(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 4.1.2.15

Перенесем ${(x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 8 \frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.2.16

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 + \frac{- 8}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.2.17

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 4}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.2.18

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.18.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 4}{2 ({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.1.2.18.2

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{2 \cdot - 4}{2 {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.2.18.3

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- 4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.2.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 1 - \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $1 - \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1 - \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$1 - \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}, 1$

Этап 5.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.4

Каждый член в $- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ умножим на ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$ на ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = - {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ в числитель.

$\frac{- 4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = - {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4}{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}} {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = - {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 4 = - {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $- {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = - 4$ .

$- {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = - 4$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $- {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $- {(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{{(x - 5)}^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

${(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 5.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

${(x - 5)}^{\frac{1}{2}} = 4$

Этап 5.5.3

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 5.5.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1

Упростим ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Этап 5.5.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Этап 5.5.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x - 5)}^{1} = 4^{2}$

Этап 5.5.4.1.1.2

Упростим.

$x - 5 = 4^{2}$

Этап 5.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x - 5 = 16$

Этап 5.5.5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 16 + 5$

Этап 5.5.5.2

Добавим $16$ и $5$ .

$x = 21$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$1 - \frac{4}{\sqrt{{(x - 5)}^{1}}}$

Этап 6.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$1 - \frac{4}{\sqrt{x - 5}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{4}{\sqrt{x - 5}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x - 5} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x - 5}}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 5}$ в виде ${(x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x - 5)}^{1} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Упростим.

$x - 5 = 0^{2}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 6.3.3

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 6.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - 5}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 5 < 0$

Этап 6.5

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$x < 5$

Этап 6.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 5$

$(- \infty, 5]$

$x \leq 5$

$(- \infty, 5]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 21, 5$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 21$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2}{{((21) - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $5$ из $21$ .

$\frac{2}{16^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{2}{{(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 9.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 9.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{4^{3}}$

Этап 9.1.5

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{2}{64}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $2$ и $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{64}$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 32}$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 32}$

Этап 9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{32}$

Этап 10

$x = 21$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 21$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $21$ .

$f (21) = (21) - 8 \sqrt{(21) - 5}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Вычтем $5$ из $21$ .

$f (21) = 21 - 8 \sqrt{16}$

Этап 11.2.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (21) = 21 - 8 \sqrt{4^{2}}$

Этап 11.2.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (21) = 21 - 8 \cdot 4$

Этап 11.2.1.4

Умножим $- 8$ на $4$ .

$f (21) = 21 - 32$

Этап 11.2.2

Вычтем $32$ из $21$ .

$f (21) = - 11$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 11$ .

$y = - 11$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 5$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2}{{((5) - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{2}{0^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.2

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{2}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 13.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{0^{3}}$

Этап 13.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{2}{0}$

Этап 13.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 14

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 15