Математический анализ Примеры

$f (x) = x - 6 \ln (x^{2} + 1)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 1.2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 1.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Этап 1.2.6

Добавим $2 x$ и $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Этап 1.2.7

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Этап 1.2.8

Объединим $\frac{2}{x^{2} + 1}$ и $x$ .

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.2.9

Объединим $- 6$ и $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

Этап 1.2.10

Умножим $2$ на $- 6$ .

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.3.2

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 12 x + 1$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12 x + 1) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 12 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.5

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12 + 0) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.7

Добавим $2 x - 12$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.8

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - (x^{2} - 12 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.11.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - 2 (x^{2} - 12 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) + (- 2 x^{2} - 2 (- 12 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Развернем $(x^{2} + 1) (2 x - 12)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x - 12) + 1 (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x - 12) - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.2.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 12 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.2.3

Перенесем $- 12$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.2.4

Умножим $2 x$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x + 1 \cdot - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.2.5

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{2} x - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 (x \cdot x)) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} - 2 (- 12 x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.5

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x - 12 - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 2 x - 12 + 0 + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.2.2

Добавим $- 12 x^{2} + 2 x - 12$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 2 x - 12 + 24 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.2.3

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.2.4

Добавим $- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} - 12 + 24 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3.3

Добавим $- 12 x^{2}$ и $24 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 12}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2} - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2}) - 12}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.2

Вынесем множитель $12$ из $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2}) + 12 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.1.3

Вынесем множитель $12$ из $12 (x^{2}) + 12 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{12 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{2} + 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 \ln (x^{2} + 1)$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$1 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

Этап 4.1.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4.1.2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$1 - 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Этап 4.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 4.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 4.1.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

Этап 4.1.2.6

Добавим $2 x$ и $0$ .

$1 - 6 (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

Этап 4.1.2.7

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$1 - 6 (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

Этап 4.1.2.8

Объединим $\frac{2}{x^{2} + 1}$ и $x$ .

$1 - 6 \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Этап 4.1.2.9

Объединим $- 6$ и $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$1 + \frac{- 6 (2 x)}{x^{2} + 1}$

Этап 4.1.2.10

Умножим $2$ на $- 6$ .

$1 + \frac{- 12 x}{x^{2} + 1}$

Этап 4.1.2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} - \frac{12 x}{x^{2} + 1}$

Этап 4.1.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + 1 - 12 x}{x^{2} + 1}$

Этап 4.1.3.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 1}{x^{2} + 1} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} - 12 x + 1 = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.3.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 12$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.3.1.3

Вычтем $4$ из $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.3.1.4

Перепишем $140$ в виде $2^{2} \cdot 35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $140$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Этап 5.3.3.3

Упростим $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Этап 5.3.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.4.1.3

Вычтем $4$ из $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.4.1.4

Перепишем $140$ в виде $2^{2} \cdot 35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $140$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Этап 5.3.4.3

Упростим $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Этап 5.3.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 6 + \sqrt{35}$

Этап 5.3.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.1.3

Вычтем $4$ из $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.1.4

Перепишем $140$ в виде $2^{2} \cdot 35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $140$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Этап 5.3.5.3

Упростим $\frac{12 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 6 \pm \sqrt{35}$

Этап 5.3.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 6 - \sqrt{35}$

Этап 5.3.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 6 + \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 6 + \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 6 + \sqrt{35}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{12 ((6 + \sqrt{35}) + 1) ((6 + \sqrt{35}) - 1)}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Добавим $6$ и $1$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35} - 1)}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 9.1.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем ${(6 + \sqrt{35})}^{2}$ в виде $(6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{((6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Этап 9.2.2

Развернем $(6 + \sqrt{35}) (6 + \sqrt{35})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 (6 + \sqrt{35}) + \sqrt{35} (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Этап 9.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} (6 + \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Этап 9.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 6 + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Этап 9.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 6 + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Этап 9.2.3.1.2

Перенесем $6$ влево от $\sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \cdot \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Этап 9.2.3.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35 \cdot 35} + 1)}^{2}}$

Этап 9.2.3.1.4

Умножим $35$ на $35$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{1225} + 1)}^{2}}$

Этап 9.2.3.1.5

Перепишем $1225$ в виде $35^{2}$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + \sqrt{35^{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 9.2.3.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(36 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + 35 + 1)}^{2}}$

Этап 9.2.3.2

Добавим $36$ и $35$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(71 + 6 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Этап 9.2.3.3

Добавим $6 \sqrt{35}$ и $6 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(71 + 12 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Этап 9.2.4

Добавим $71$ и $1$ .

$\frac{12 (7 + \sqrt{35}) (5 + \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 9.3

Сгруппируем $5 + \sqrt{35}$ и $7 + \sqrt{35}$ .

$\frac{12 ((5 + \sqrt{35}) (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 9.4

Развернем $(5 + \sqrt{35}) (7 + \sqrt{35})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (5 (7 + \sqrt{35}) + \sqrt{35} (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 9.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} (7 + \sqrt{35}))}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 9.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 7 + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 9.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.1

Умножим $5$ на $7$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + \sqrt{35} \cdot 7 + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 9.5.1.2

Перенесем $7$ влево от $\sqrt{35}$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \cdot \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 9.5.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{35 \cdot 35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 9.5.1.4

Умножим $35$ на $35$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{1225})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 9.5.1.5

Перепишем $1225$ в виде $35^{2}$ .

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + \sqrt{35^{2}})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 9.5.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{12 (35 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35} + 35)}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 9.5.2

Добавим $35$ и $35$ .

$\frac{12 (70 + 5 \sqrt{35} + 7 \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 9.5.3

Добавим $5 \sqrt{35}$ и $7 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{{(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 9.6

Перепишем ${(72 + 12 \sqrt{35})}^{2}$ в виде $(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})}$

Этап 9.7

Развернем $(72 + 12 \sqrt{35}) (72 + 12 \sqrt{35})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 (72 + 12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} (72 + 12 \sqrt{35})}$

Этап 9.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} (72 + 12 \sqrt{35})}$

Этап 9.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Этап 9.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1.1

Умножим $72$ на $72$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 72 (12 \sqrt{35}) + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Этап 9.8.1.2

Умножим $12$ на $72$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 12 \sqrt{35} \cdot 72 + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Этап 9.8.1.3

Умножим $72$ на $12$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}$

Этап 9.8.1.4

Умножим $12 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1.4.1

Умножим $12$ на $12$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \sqrt{35} \sqrt{35}}$

Этап 9.8.1.4.2

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}$

Этап 9.8.1.4.3

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}$

Этап 9.8.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Этап 9.8.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{2}}$

Этап 9.8.1.5

Перепишем ${\sqrt{35}}^{2}$ в виде $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{35}$ в виде $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.8.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.8.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.8.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.8.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{1}}$

Этап 9.8.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35}$

Этап 9.8.1.6

Умножим $144$ на $35$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{5184 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35} + 5040}$

Этап 9.8.2

Добавим $5184$ и $5040$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{10224 + 864 \sqrt{35} + 864 \sqrt{35}}$

Этап 9.8.3

Добавим $864 \sqrt{35}$ и $864 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{10224 + 1728 \sqrt{35}}$

Этап 9.9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Вынесем множитель $12$ из $10224$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 1728 \sqrt{35}}$

Этап 9.9.2

Вынесем множитель $12$ из $1728 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 12 (144 \sqrt{35})}$

Этап 9.9.3

Вынесем множитель $12$ из $12 (852) + 12 (144 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 (852 + 144 \sqrt{35})}$

Этап 9.9.4

Сократим общий множитель.

$\frac{12 (70 + 12 \sqrt{35})}{12 (852 + 144 \sqrt{35})}$

Этап 9.9.5

Перепишем это выражение.

$\frac{70 + 12 \sqrt{35}}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Этап 9.10

Сократим общий множитель $70 + 12 \sqrt{35}$ и $852 + 144 \sqrt{35}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1

Вынесем множитель $2$ из $70$ .

$\frac{2 (35) + 12 \sqrt{35}}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Этап 9.10.2

Вынесем множитель $2$ из $12 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35) + 2 (6 \sqrt{35})}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Этап 9.10.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (35) + 2 (6 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{852 + 144 \sqrt{35}}$

Этап 9.10.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.4.1

Вынесем множитель $2$ из $852$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 144 \sqrt{35}}$

Этап 9.10.4.2

Вынесем множитель $2$ из $144 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 2 (72 \sqrt{35})}$

Этап 9.10.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (426) + 2 (72 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 (426 + 72 \sqrt{35})}$

Этап 9.10.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (35 + 6 \sqrt{35})}{2 (426 + 72 \sqrt{35})}$

Этап 9.10.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$

Этап 9.11

Умножим $\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ на $\frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}} \cdot \frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$

Этап 9.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.12.1

Умножим $\frac{35 + 6 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ на $\frac{426 - 72 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{(426 + 72 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}$

Этап 9.12.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{181476 - 30672 \sqrt{35} + 30672 \sqrt{35} - 5184 {\sqrt{35}}^{2}}$

Этап 9.12.3

Упростим.

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})}{36}$

Этап 9.12.4

Сократим общий множитель $426 - 72 \sqrt{35}$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.12.4.1

Вынесем множитель $6$ из $(35 + 6 \sqrt{35}) (426 - 72 \sqrt{35})$ .

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{36}$

Этап 9.12.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.12.4.2.1

Вынесем множитель $6$ из $36$ .

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{6 (6)}$

Этап 9.12.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 ((35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35}))}{6 \cdot 6}$

Этап 9.12.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Этап 9.13

Развернем $(35 + 6 \sqrt{35}) (71 - 12 \sqrt{35})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{35 (71 - 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Этап 9.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} (71 - 12 \sqrt{35})}{6}$

Этап 9.13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Этап 9.14

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.14.1.1

Умножим $35$ на $71$ .

$\frac{2485 + 35 (- 12 \sqrt{35}) + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Этап 9.14.1.2

Умножим $- 12$ на $35$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} \cdot 71 + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Этап 9.14.1.3

Умножим $71$ на $6$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} + 6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}{6}$

Этап 9.14.1.4

Умножим $6 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.14.1.4.1

Умножим $- 12$ на $6$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \sqrt{35} \sqrt{35}}{6}$

Этап 9.14.1.4.2

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{6}$

Этап 9.14.1.4.3

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{6}$

Этап 9.14.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}{6}$

Этап 9.14.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{2}}{6}$

Этап 9.14.1.5

Перепишем ${\sqrt{35}}^{2}$ в виде $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.14.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{35}$ в виде $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Этап 9.14.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Этап 9.14.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Этап 9.14.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.14.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Этап 9.14.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{1}}{6}$

Этап 9.14.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35}{6}$

Этап 9.14.1.6

Умножим $- 72$ на $35$ .

$\frac{2485 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35} - 2520}{6}$

Этап 9.14.2

Вычтем $2520$ из $2485$ .

$\frac{- 35 - 420 \sqrt{35} + 426 \sqrt{35}}{6}$

Этап 9.14.3

Добавим $- 420 \sqrt{35}$ и $426 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 35 + 6 \sqrt{35}}{6}$

Этап 9.15

Перепишем $- 35$ в виде $- 1 (35)$ .

$\frac{- 1 (35) + 6 \sqrt{35}}{6}$

Этап 9.16

Вынесем множитель $- 1$ из $6 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 1 (35) - (- 6 \sqrt{35})}{6}$

Этап 9.17

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (35) - (- 6 \sqrt{35})$ .

$\frac{- 1 (35 - 6 \sqrt{35})}{6}$

Этап 9.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{35 - 6 \sqrt{35}}{6}$

Этап 10

$x = 6 + \sqrt{35}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 6 + \sqrt{35}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 6 + \sqrt{35}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6 + \sqrt{35}$ .

$f (6 + \sqrt{35}) = (6 + \sqrt{35}) - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Избавимся от скобок.

$f (6 + \sqrt{35}) = 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Этап 11.2.2

Окончательный ответ: $6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$ .

$y = 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 6 - \sqrt{35}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{12 ((6 - \sqrt{35}) + 1) ((6 - \sqrt{35}) - 1)}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Добавим $6$ и $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35} - 1)}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 13.1.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Перепишем ${(6 - \sqrt{35})}^{2}$ в виде $(6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{((6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.2

Развернем $(6 - \sqrt{35}) (6 - \sqrt{35})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 (6 - \sqrt{35}) - \sqrt{35} (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} (6 - \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1.1

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 + 6 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - \sqrt{35} \cdot 6 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3.1.3

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} - \sqrt{35} (- \sqrt{35}) + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3.1.4

Умножим $- \sqrt{35} (- \sqrt{35})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 1 \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3.1.4.2

Умножим $\sqrt{35}$ на $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3.1.4.4

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1} + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1 + 1} + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{35}}^{2}$ в виде $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{35}$ в виде $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + {(35^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}} + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35^{1} + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(36 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 35 + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3.2

Добавим $36$ и $35$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(71 - 6 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3.3

Вычтем $6 \sqrt{35}$ из $- 6 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(71 - 12 \sqrt{35} + 1)}^{2}}$

Этап 13.2.4

Добавим $71$ и $1$ .

$\frac{12 (7 - \sqrt{35}) (5 - \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.3

Сгруппируем $5 - \sqrt{35}$ и $7 - \sqrt{35}$ .

$\frac{12 ((5 - \sqrt{35}) (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.4

Развернем $(5 - \sqrt{35}) (7 - \sqrt{35})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (5 (7 - \sqrt{35}) - \sqrt{35} (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} (7 - \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (5 \cdot 7 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1.1

Умножим $5$ на $7$ .

$\frac{12 (35 + 5 (- \sqrt{35}) - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.5.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - \sqrt{35} \cdot 7 - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.5.1.3

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} - \sqrt{35} (- \sqrt{35}))}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.5.1.4

Умножим $- \sqrt{35} (- \sqrt{35})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 1 \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.5.1.4.2

Умножим $\sqrt{35}$ на $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + \sqrt{35} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.5.1.4.3

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.5.1.4.4

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.5.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{1 + 1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.5.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {\sqrt{35}}^{2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.5.1.5

Перепишем ${\sqrt{35}}^{2}$ в виде $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{35}$ в виде $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + {(35^{\frac{1}{2}})}^{2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.5.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.5.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.5.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{\frac{2}{2}})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.5.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35^{1})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.5.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{12 (35 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35} + 35)}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.5.2

Добавим $35$ и $35$ .

$\frac{12 (70 - 5 \sqrt{35} - 7 \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.5.3

Вычтем $7 \sqrt{35}$ из $- 5 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{{(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}}$

Этап 13.6

Перепишем ${(72 - 12 \sqrt{35})}^{2}$ в виде $(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})}$

Этап 13.7

Развернем $(72 - 12 \sqrt{35}) (72 - 12 \sqrt{35})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 (72 - 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} (72 - 12 \sqrt{35})}$

Этап 13.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} (72 - 12 \sqrt{35})}$

Этап 13.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{72 \cdot 72 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Этап 13.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.8.1.1

Умножим $72$ на $72$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 + 72 (- 12 \sqrt{35}) - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Этап 13.8.1.2

Умножим $- 12$ на $72$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 12 \sqrt{35} \cdot 72 - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Этап 13.8.1.3

Умножим $72$ на $- 12$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} - 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})}$

Этап 13.8.1.4

Умножим $- 12 \sqrt{35} (- 12 \sqrt{35})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.8.1.4.1

Умножим $- 12$ на $- 12$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \sqrt{35} \sqrt{35}}$

Этап 13.8.1.4.2

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}$

Этап 13.8.1.4.3

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}$

Этап 13.8.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}$

Этап 13.8.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {\sqrt{35}}^{2}}$

Этап 13.8.1.5

Перепишем ${\sqrt{35}}^{2}$ в виде $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.8.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{35}$ в виде $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 13.8.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 13.8.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Этап 13.8.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.8.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}$

Этап 13.8.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35^{1}}$

Этап 13.8.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 144 \cdot 35}$

Этап 13.8.1.6

Умножим $144$ на $35$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{5184 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35} + 5040}$

Этап 13.8.2

Добавим $5184$ и $5040$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{10224 - 864 \sqrt{35} - 864 \sqrt{35}}$

Этап 13.8.3

Вычтем $864 \sqrt{35}$ из $- 864 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{10224 - 1728 \sqrt{35}}$

Этап 13.9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.9.1

Вынесем множитель $12$ из $10224$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 - 1728 \sqrt{35}}$

Этап 13.9.2

Вынесем множитель $12$ из $- 1728 \sqrt{35}$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 \cdot 852 + 12 (- 144 \sqrt{35})}$

Этап 13.9.3

Вынесем множитель $12$ из $12 (852) + 12 (- 144 \sqrt{35})$ .

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 (852 - 144 \sqrt{35})}$

Этап 13.9.4

Сократим общий множитель.

$\frac{12 (70 - 12 \sqrt{35})}{12 (852 - 144 \sqrt{35})}$

Этап 13.9.5

Перепишем это выражение.

$\frac{70 - 12 \sqrt{35}}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Этап 13.10

Сократим общий множитель $70 - 12 \sqrt{35}$ и $852 - 144 \sqrt{35}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.10.1

Вынесем множитель $2$ из $70$ .

$\frac{2 (35) - 12 \sqrt{35}}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Этап 13.10.2

Вынесем множитель $2$ из $- 12 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35) + 2 (- 6 \sqrt{35})}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Этап 13.10.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (35) + 2 (- 6 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{852 - 144 \sqrt{35}}$

Этап 13.10.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.10.4.1

Вынесем множитель $2$ из $852$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 - 144 \sqrt{35}}$

Этап 13.10.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 144 \sqrt{35}$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 \cdot 426 + 2 (- 72 \sqrt{35})}$

Этап 13.10.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (426) + 2 (- 72 \sqrt{35})$ .

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 (426 - 72 \sqrt{35})}$

Этап 13.10.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (35 - 6 \sqrt{35})}{2 (426 - 72 \sqrt{35})}$

Этап 13.10.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$

Этап 13.11

Умножим $\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ на $\frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}} \cdot \frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$

Этап 13.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.12.1

Умножим $\frac{35 - 6 \sqrt{35}}{426 - 72 \sqrt{35}}$ на $\frac{426 + 72 \sqrt{35}}{426 + 72 \sqrt{35}}$ .

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{(426 - 72 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}$

Этап 13.12.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{181476 + 30672 \sqrt{35} - 30672 \sqrt{35} - 5184 {\sqrt{35}}^{2}}$

Этап 13.12.3

Упростим.

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})}{36}$

Этап 13.12.4

Сократим общий множитель $426 + 72 \sqrt{35}$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.12.4.1

Вынесем множитель $6$ из $(35 - 6 \sqrt{35}) (426 + 72 \sqrt{35})$ .

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{36}$

Этап 13.12.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.12.4.2.1

Вынесем множитель $6$ из $36$ .

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{6 (6)}$

Этап 13.12.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 ((35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35}))}{6 \cdot 6}$

Этап 13.12.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Этап 13.13

Развернем $(35 - 6 \sqrt{35}) (71 + 12 \sqrt{35})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{35 (71 + 12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Этап 13.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} (71 + 12 \sqrt{35})}{6}$

Этап 13.13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{35 \cdot 71 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Этап 13.14

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.14.1.1

Умножим $35$ на $71$ .

$\frac{2485 + 35 (12 \sqrt{35}) - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Этап 13.14.1.2

Умножим $12$ на $35$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} \cdot 71 - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Этап 13.14.1.3

Умножим $71$ на $- 6$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})}{6}$

Этап 13.14.1.4

Умножим $- 6 \sqrt{35} (12 \sqrt{35})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.14.1.4.1

Умножим $12$ на $- 6$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \sqrt{35} \sqrt{35}}{6}$

Этап 13.14.1.4.2

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} \sqrt{35})}{6}$

Этап 13.14.1.4.3

Возведем $\sqrt{35}$ в степень $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 ({\sqrt{35}}^{1} {\sqrt{35}}^{1})}{6}$

Этап 13.14.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{1 + 1}}{6}$

Этап 13.14.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {\sqrt{35}}^{2}}{6}$

Этап 13.14.1.5

Перепишем ${\sqrt{35}}^{2}$ в виде $35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.14.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{35}$ в виде $35^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 {(35^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Этап 13.14.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Этап 13.14.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Этап 13.14.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.14.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{\frac{2}{2}}}{6}$

Этап 13.14.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35^{1}}{6}$

Этап 13.14.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 72 \cdot 35}{6}$

Этап 13.14.1.6

Умножим $- 72$ на $35$ .

$\frac{2485 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35} - 2520}{6}$

Этап 13.14.2

Вычтем $2520$ из $2485$ .

$\frac{- 35 + 420 \sqrt{35} - 426 \sqrt{35}}{6}$

Этап 13.14.3

Вычтем $426 \sqrt{35}$ из $420 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 35 - 6 \sqrt{35}}{6}$

Этап 13.15

Перепишем $- 35$ в виде $- 1 (35)$ .

$\frac{- 1 (35) - 6 \sqrt{35}}{6}$

Этап 13.16

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 \sqrt{35}$ .

$\frac{- 1 (35) - (6 \sqrt{35})}{6}$

Этап 13.17

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (35) - (6 \sqrt{35})$ .

$\frac{- 1 (35 + 6 \sqrt{35})}{6}$

Этап 13.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{35 + 6 \sqrt{35}}{6}$

Этап 14

$x = 6 - \sqrt{35}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 6 - \sqrt{35}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 6 - \sqrt{35}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6 - \sqrt{35}$ .

$f (6 - \sqrt{35}) = (6 - \sqrt{35}) - 6 \ln ({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим $- 6 \ln ({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)$ путем переноса $6$ под логарифм.

$f (6 - \sqrt{35}) = 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$

Этап 15.2.2

Окончательный ответ: $6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$ .

$y = 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6})$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = x - 6 \ln (x^{2} + 1)$ .

$(6 + \sqrt{35}, 6 + \sqrt{35} - 6 \ln ({(6 + \sqrt{35})}^{2} + 1))$ — локальный минимум

$(6 - \sqrt{35}, 6 - \sqrt{35} - \ln ({({(6 - \sqrt{35})}^{2} + 1)}^{6}))$ — локальный максимум

Этап 17