Математический анализ Примеры

$f (x) = x + \sin (2 x) + 1$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x + \sin (2 x) + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$1 + \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$1 + 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 2 \cos (2 x) + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $1 + 2 \cos (2 x)$ и $0$ .

$1 + 2 \cos (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $1 + 2 \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Этап 2.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (2 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 2.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Этап 2.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Этап 2.2.7

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \sin (2 x)$

Этап 2.3

Вычтем $4 \sin (2 x)$ из $0$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (2 x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$1 + 2 \cos (2 x) = 0$

Этап 4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \cos (2 x) = - 1$

Этап 5

Разделим каждый член $2 \cos (2 x) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $2 \cos (2 x) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $\cos (2 x)$ на $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Этап 6

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Этап 8

Разделим каждый член $2 x = \frac{2 π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{2 π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 8.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 8.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{3}$

Этап 9

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 10.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 10.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 10.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 10.1.5

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$2 x = \frac{4 π}{3}$

Этап 10.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{4 π}{3}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{4 π}{3}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Этап 10.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Этап 10.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 10.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 π$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 10.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 10.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 11

Решение уравнения $2 x = \frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4 \sin (2 (\frac{π}{3}))$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$- 4 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 13.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 4 \sin (\frac{π}{3})$

Этап 13.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 13.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 13.4.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 13.4.3

Перепишем это выражение.

$- 2 \sqrt{3}$

Этап 14

$x = \frac{π}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{3}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = (\frac{π}{3}) + \sin (2 (\frac{π}{3})) + 1$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} + \sin (\frac{2 π}{3}) + 1$

Этап 15.2.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} + \sin (\frac{π}{3}) + 1$

Этап 15.2.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$

Этап 15.2.2

Окончательный ответ: $\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ .

$y = \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = \frac{2 π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4 \sin (2 (\frac{2 π}{3}))$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Умножим $2 (\frac{2 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Объединим $2$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$- 4 \sin (\frac{2 (2 π)}{3})$

Этап 17.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- 4 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 17.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$- 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 17.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 17.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 17.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 17.4.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 17.4.4

Перепишем это выражение.

$- 2 (- \sqrt{3})$

Этап 17.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \sqrt{3}$

Этап 18

$x = \frac{2 π}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{2 π}{3}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = (\frac{2 π}{3}) + \sin (2 (\frac{2 π}{3})) + 1$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Умножим $2 (\frac{2 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1.1

Объединим $2$ и $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sin (\frac{2 (2 π)}{3}) + 1$

Этап 19.2.1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sin (\frac{4 π}{3}) + 1$

Этап 19.2.1.2

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} - \sin (\frac{π}{3}) + 1$

Этап 19.2.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$

Этап 19.2.2

Окончательный ответ: $\frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ .

$y = \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = x + \sin (2 x) + 1$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1)$ — локальный максимум

$(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1)$ — локальный минимум

Этап 21