Математический анализ Примеры

$f (y) = x y + 25 x^{- 1} + 5 y^{- 1}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [x y + 25 \frac{1}{x} + 5 y^{- 1}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $x y + 25 \frac{1}{x} + 5 y^{- 1}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [25 \frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [5 y^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [25 \frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [5 y^{- 1}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [25 \frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [5 y^{- 1}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [25 \frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [5 y^{- 1}]$

Этап 1.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [25 \frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [5 y^{- 1}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [25 \frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $25$ и $\frac{1}{x}$ .

$x + \frac{d}{d y} [\frac{25}{x}] + \frac{d}{d y} [5 y^{- 1}]$

Этап 1.4.2

Поскольку $\frac{25}{x}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{25}{x}$ относительно $y$ равна $0$ .

$x + 0 + \frac{d}{d y} [5 y^{- 1}]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d y} [5 y^{- 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $y$ , производная $5 y^{- 1}$ по $y$ равна $5 \frac{d}{d y} [y^{- 1}]$ .

$x + 0 + 5 \frac{d}{d y} [y^{- 1}]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x + 0 + 5 (- y^{- 2})$

Этап 1.5.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$x + 0 - 5 y^{- 2}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Добавим $x$ и $0$ .

$x - 5 y^{- 2}$

Этап 1.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x - 5 \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1.6.2.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x + \frac{- 5}{y^{2}}$

Этап 1.6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x - \frac{5}{y^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x - \frac{5}{y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{2}}]$ .

$f'' (y) = \frac{d}{d y} (x) + \frac{d}{d y} (- \frac{5}{y^{2}})$

Этап 2.1.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$f'' (y) = 0 + \frac{d}{d y} (- \frac{5}{y^{2}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- \frac{5}{y^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $y$ , производная $- \frac{5}{y^{2}}$ по $y$ равна $- 5 \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$f'' (y) = 0 - 5 \frac{d}{d y} \frac{1}{y^{2}}$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{y^{2}}$ в виде ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (y) = 0 - 5 \frac{d}{d y} {(y^{2})}^{- 1}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{- 1}$ и $g (y) = y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y^{2}$ .

$f'' (y) = 0 - 5 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d y} (y^{2}))$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (y) = 0 - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d y} y^{2})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{2}$ .

$f'' (y) = 0 - 5 (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} y^{2})$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (y) = 0 - 5 (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (y) = 0 - 5 (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Этап 2.2.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (y) = 0 - 5 (- y^{- 4} (2 y))$

Этап 2.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (y) = 0 - 5 (- 2 y^{- 4} y)$

Этап 2.2.7

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f'' (y) = 0 - 5 (- 2 (y \cdot y^{- 4}))$

Этап 2.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (y) = 0 - 5 (- 2 y^{1 - 4})$

Этап 2.2.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$f'' (y) = 0 - 5 (- 2 y^{- 3})$

Этап 2.2.10

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$f'' (y) = 0 + 10 y^{- 3}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (y) = 0 + 10 (\frac{1}{y^{3}})$

Этап 2.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Объединим $10$ и $\frac{1}{y^{3}}$ .

$f'' (y) = 0 + \frac{10}{y^{3}}$

Этап 2.3.2.2

Добавим $0$ и $\frac{10}{y^{3}}$ .

$f'' (y) = \frac{10}{y^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x - \frac{5}{y^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [x y + 25 \frac{1}{x} + 5 y^{- 1}]$

Этап 4.1.2

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [25 \frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [5 y^{- 1}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [25 \frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [5 y^{- 1}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [25 \frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [5 y^{- 1}]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [25 \frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [5 y^{- 1}]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [25 \frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Объединим $25$ и $\frac{1}{x}$ .

$x + \frac{d}{d y} [\frac{25}{x}] + \frac{d}{d y} [5 y^{- 1}]$

Этап 4.1.4.2

Поскольку $\frac{25}{x}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{25}{x}$ относительно $y$ равна $0$ .

$x + 0 + \frac{d}{d y} [5 y^{- 1}]$

Этап 4.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d y} [5 y^{- 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $y$ , производная $5 y^{- 1}$ по $y$ равна $5 \frac{d}{d y} [y^{- 1}]$ .

$x + 0 + 5 \frac{d}{d y} [y^{- 1}]$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x + 0 + 5 (- y^{- 2})$

Этап 4.1.5.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$x + 0 - 5 y^{- 2}$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Добавим $x$ и $0$ .

$x - 5 y^{- 2}$

Этап 4.1.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x - 5 \frac{1}{y^{2}}$

Этап 4.1.6.2.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x + \frac{- 5}{y^{2}}$

Этап 4.1.6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (y) = x - \frac{5}{y^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (y)$ по $y$ равна $x - \frac{5}{y^{2}}$ .

$x - \frac{5}{y^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x - \frac{5}{y^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x - \frac{5}{y^{2}} = 0$

Этап 5.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{5}{y^{2}} = - x$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{2}, 1$

Этап 5.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y^{2}$

Этап 5.4

Каждый член в $- \frac{5}{y^{2}} = - x$ умножим на $y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $- \frac{5}{y^{2}} = - x$ на $y^{2}$ .

$- \frac{5}{y^{2}} y^{2} = - x y^{2}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{y^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 5}{y^{2}} y^{2} = - x y^{2}$

Этап 5.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5}{y^{2}} y^{2} = - x y^{2}$

Этап 5.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 5 = - x y^{2}$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $- x y^{2} = - 5$ .

$- x y^{2} = - 5$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $- x y^{2} = - 5$ на $- x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $- x y^{2} = - 5$ на $- x$ .

$\frac{- x y^{2}}{- x} = \frac{- 5}{- x}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{- 5}{- x}$

Этап 5.5.2.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{- 5}{- x}$

Этап 5.5.2.2.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{- 5}{- x}$

Этап 5.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y^{2} = \frac{5}{x}$

Этап 5.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{5}{x}}$

Этап 5.5.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{5}{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{5}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}}$

Этап 5.5.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Этап 5.5.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Этап 5.5.4.3.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Этап 5.5.4.3.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Этап 5.5.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Этап 5.5.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 5.5.4.3.6

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.5.4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.5.4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Этап 5.5.4.3.6.5

Упростим.

$y = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{x}}{x}$

Этап 5.5.4.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

Этап 5.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

Этап 5.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

Этап 5.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{5}{y^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$y^{2} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 0$

Этап 6.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$y = 0$

Этап 6.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$y = \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $y = \frac{\sqrt{5 x}}{x}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{10}{{(\frac{\sqrt{5 x}}{x})}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{5 x}}{x}$ .

$\frac{10}{\frac{{\sqrt{5 x}}^{3}}{x^{3}}}$

Этап 9.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Перепишем ${\sqrt{5 x}}^{3}$ в виде $\sqrt{{(5 x)}^{3}}$ .

$\frac{10}{\frac{\sqrt{{(5 x)}^{3}}}{x^{3}}}$

Этап 9.1.2.2

Применим правило умножения к $5 x$ .

$\frac{10}{\frac{\sqrt{5^{3} x^{3}}}{x^{3}}}$

Этап 9.1.2.3

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{10}{\frac{\sqrt{125 x^{3}}}{x^{3}}}$

Этап 9.1.2.4

Перепишем $125 x^{3}$ в виде ${(5 x)}^{2} \cdot (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.4.1

Вынесем множитель $25$ из $125$ .

$\frac{10}{\frac{\sqrt{25 (5) x^{3}}}{x^{3}}}$

Этап 9.1.2.4.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{10}{\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5 x^{3}}}{x^{3}}}$

Этап 9.1.2.4.3

Вынесем $x^{2}$ за скобки.

$\frac{10}{\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5 (x^{2} x)}}{x^{3}}}$

Этап 9.1.2.4.4

Перенесем $5$ .

$\frac{10}{\frac{\sqrt{5^{2} x^{2} \cdot 5 x}}{x^{3}}}$

Этап 9.1.2.4.5

Перепишем $5^{2} x^{2}$ в виде ${(5 x)}^{2}$ .

$\frac{10}{\frac{\sqrt{{(5 x)}^{2} \cdot 5 x}}{x^{3}}}$

Этап 9.1.2.4.6

Добавим круглые скобки.

$\frac{10}{\frac{\sqrt{{(5 x)}^{2} \cdot (5 x)}}{x^{3}}}$

Этап 9.1.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{10}{\frac{5 x \sqrt{5 x}}{x^{3}}}$

Этап 9.1.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x \sqrt{5 x}$ .

$\frac{10}{\frac{x (5 \sqrt{5 x})}{x^{3}}}$

Этап 9.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{10}{\frac{x (5 \sqrt{5 x})}{x \cdot x^{2}}}$

Этап 9.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{\frac{x (5 \sqrt{5 x})}{x \cdot x^{2}}}$

Этап 9.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10}{\frac{5 \sqrt{5 x}}{x^{2}}}$

Этап 9.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$10 \frac{x^{2}}{5 \sqrt{5 x}}$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$5 (2) \frac{x^{2}}{5 \sqrt{5 x}}$

Этап 9.3.2

Вынесем множитель $5$ из $5 \sqrt{5 x}$ .

$5 (2) \frac{x^{2}}{5 (\sqrt{5 x})}$

Этап 9.3.3

Сократим общий множитель.

$5 \cdot 2 \frac{x^{2}}{5 \sqrt{5 x}}$

Этап 9.3.4

Перепишем это выражение.

$2 \frac{x^{2}}{\sqrt{5 x}}$

Этап 9.4

Объединим $2$ и $\frac{x^{2}}{\sqrt{5 x}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{\sqrt{5 x}}$

Этап 9.5

Умножим $\frac{2 x^{2}}{\sqrt{5 x}}$ на $\frac{\sqrt{5 x}}{\sqrt{5 x}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{\sqrt{5 x}} \cdot \frac{\sqrt{5 x}}{\sqrt{5 x}}$

Этап 9.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Умножим $\frac{2 x^{2}}{\sqrt{5 x}}$ на $\frac{\sqrt{5 x}}{\sqrt{5 x}}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{5 x}}{\sqrt{5 x} \sqrt{5 x}}$

Этап 9.6.2

Возведем $\sqrt{5 x}$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{5 x}}{{\sqrt{5 x}}^{1} \sqrt{5 x}}$

Этап 9.6.3

Возведем $\sqrt{5 x}$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{5 x}}{{\sqrt{5 x}}^{1} {\sqrt{5 x}}^{1}}$

Этап 9.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{5 x}}{{\sqrt{5 x}}^{1 + 1}}$

Этап 9.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{5 x}}{{\sqrt{5 x}}^{2}}$

Этап 9.6.6

Перепишем ${\sqrt{5 x}}^{2}$ в виде $5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x}$ в виде ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{5 x}}{{({(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{5 x}}{{(5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 x^{2} \sqrt{5 x}}{{(5 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{5 x}}{{(5 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{5 x}}{{(5 x)}^{1}}$

Этап 9.6.6.5

Упростим.

$\frac{2 x^{2} \sqrt{5 x}}{5 x}$

Этап 9.7

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2} \sqrt{5 x}$ .

$\frac{x (2 x \sqrt{5 x})}{5 x}$

Этап 9.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x$ .

$\frac{x (2 x \sqrt{5 x})}{x \cdot 5}$

Этап 9.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (2 x \sqrt{5 x})}{x \cdot 5}$

Этап 9.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x \sqrt{5 x}}{5}$

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11