Математический анализ Примеры

$f (y) = - 3 x^{2} + 7 x y - 4 y^{2} + x + y$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + 7 x y - 4 y^{2} + x + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [7 x y] + \frac{d}{d y} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [7 x y] + \frac{d}{d y} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.1.2

Поскольку $- 3 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $- 3 x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [7 x y] + \frac{d}{d y} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [7 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $7 x$ является константой относительно $y$ , производная $7 x y$ по $y$ равна $7 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 7 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 7 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.2.3

Умножим $7$ на $1$ .

$0 + 7 x + \frac{d}{d y} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 4 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $y$ , производная $- 4 y^{2}$ по $y$ равна $- 4 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 7 x - 4 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 7 x - 4 (2 y) + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$0 + 7 x - 8 y + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + 7 x - 8 y + 0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 7 x - 8 y + 0 + 1$

Этап 1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $0$ и $7 x$ .

$7 x - 8 y + 0 + 1$

Этап 1.5.2

Добавим $7 x - 8 y$ и $0$ .

$7 x - 8 y + 1$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $7 x - 8 y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [7 x] + \frac{d}{d y} [- 8 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$f'' (y) = \frac{d}{d y} (7 x) + \frac{d}{d y} (- 8 y) + \frac{d}{d y} (1)$

Этап 2.1.2

Поскольку $7 x$ является константой относительно $y$ , производная $7 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$f'' (y) = 0 + \frac{d}{d y} (- 8 y) + \frac{d}{d y} (1)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 8 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $y$ , производная $- 8 y$ по $y$ равна $- 8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$f'' (y) = 0 - 8 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (1)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (y) = 0 - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (1)$

Этап 2.2.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$f'' (y) = 0 - 8 + \frac{d}{d y} (1)$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$f'' (y) = 0 - 8 + 0$

Этап 2.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $8$ из $0$ .

$f'' (y) = - 8 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- 8$ и $0$ .

$f'' (y) = - 8$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$7 x - 8 y + 1 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + 7 x y - 4 y^{2} + x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7 x y) + \frac{d}{d x} (- 4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (7 x y) + \frac{d}{d x} (- 4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (7 x y) + \frac{d}{d x} (- 4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (7 x y) + \frac{d}{d x} (- 4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y)$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $7 y$ является константой относительно $x$ , производная $7 x y$ по $x$ равна $7 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 6 x + 7 y \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y)$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - 6 x + 7 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $7$ на $1$ .

$f' (x) = - 6 x + 7 y + \frac{d}{d x} (- 4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y)$

Этап 4.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 4 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - 6 x + 7 y + 0 + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (y)$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - 6 x + 7 y + 0 + 1 + \frac{d}{d x} (y)$

Этап 4.1.4.3

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - 6 x + 7 y + 0 + 1 + 0$

Этап 4.1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Добавим $- 6 x + 7 y$ и $0$ .

$f' (x) = - 6 x + 7 y + 1 + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $- 6 x + 7 y + 1$ и $0$ .

$f' (x) = - 6 x + 7 y + 1$

Этап 4.2

Первая производная $f (y)$ по $y$ равна $- 6 x + 7 y + 1$ .

$- 6 x + 7 y + 1$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 6 x + 7 y + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 6 x + 7 y + 1 = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $6 x$ к обеим частям уравнения.

$7 y + 1 = 6 x$

Этап 5.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$7 y = 6 x - 1$

Этап 5.3

Разделим каждый член $7 y = 6 x - 1$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $7 y = 6 x - 1$ на $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{6 x}{7} + \frac{- 1}{7}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 y}{7} = \frac{6 x}{7} + \frac{- 1}{7}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{6 x}{7} + \frac{- 1}{7}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$y = \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $y = \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 8$

Этап 9

$y = \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$y = \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$ — локальный максимум

Этап 10

Найдем значение y, если $y = \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 7 x (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) - 4 {(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})}^{2} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Избавимся от скобок.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 7 x (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) - 4 {(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})}^{2} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 7 x (\frac{6 x}{7}) + 7 x (- \frac{1}{7}) - 4 {(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})}^{2} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 7 (x) (\frac{6 x}{7}) + 7 x (- \frac{1}{7}) - 4 {(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})}^{2} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 7 x (\frac{6 x}{7}) + 7 x (- \frac{1}{7}) - 4 {(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})}^{2} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + x (6 x) + 7 x (- \frac{1}{7}) - 4 {(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})}^{2} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 (x \cdot x) + 7 x (- \frac{1}{7}) - 4 {(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})}^{2} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 (x \cdot x) + 7 x (- \frac{1}{7}) - 4 {(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})}^{2} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{1 + 1} + 7 x (- \frac{1}{7}) - 4 {(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})}^{2} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} + 7 x (- \frac{1}{7}) - 4 {(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})}^{2} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.7

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{7}$ в числитель.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} + 7 x (\frac{- 1}{7}) - 4 {(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})}^{2} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.7.2

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} + 7 (x) (\frac{- 1}{7}) - 4 {(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})}^{2} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.7.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} + 7 x (\frac{- 1}{7}) - 4 {(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})}^{2} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.7.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} + x \cdot - 1 - 4 {(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})}^{2} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.8.1

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - 1 \cdot x - 4 {(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})}^{2} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.8.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 {(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})}^{2} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.9

Перепишем ${(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})}^{2}$ в виде $(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 ((\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.10

Развернем $(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{6 x}{7} \cdot (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) - \frac{1}{7} \cdot (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{6 x}{7} \cdot \frac{6 x}{7} + \frac{6 x}{7} \cdot (- \frac{1}{7}) - \frac{1}{7} \cdot (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7})) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{6 x}{7} \cdot \frac{6 x}{7} + \frac{6 x}{7} \cdot (- \frac{1}{7}) - \frac{1}{7} \cdot \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{7})) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.11.1.1

Умножим $\frac{6 x}{7} \cdot \frac{6 x}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.11.1.1.1

Умножим $\frac{6 x}{7}$ на $\frac{6 x}{7}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{6 x (6 x)}{7 \cdot 7} + \frac{6 x}{7} \cdot (- \frac{1}{7}) - \frac{1}{7} \cdot \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{7})) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.11.1.1.2

Умножим $6$ на $6$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{36 x \cdot x}{7 \cdot 7} + \frac{6 x}{7} \cdot (- \frac{1}{7}) - \frac{1}{7} \cdot \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{7})) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.11.1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{36 (x \cdot x)}{7 \cdot 7} + \frac{6 x}{7} \cdot (- \frac{1}{7}) - \frac{1}{7} \cdot \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{7})) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.11.1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 10.2.2.11.1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{36 x^{1 + 1}}{7 \cdot 7} + \frac{6 x}{7} \cdot (- \frac{1}{7}) - \frac{1}{7} \cdot \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{7})) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.11.1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{36 x^{2}}{7 \cdot 7} + \frac{6 x}{7} \cdot (- \frac{1}{7}) - \frac{1}{7} \cdot \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{7})) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.11.1.1.7

Умножим $7$ на $7$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{36 x^{2}}{49} + \frac{6 x}{7} \cdot (- \frac{1}{7}) - \frac{1}{7} \cdot \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{7})) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.11.1.2

Умножим $\frac{6 x}{7} (- \frac{1}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.11.1.2.1

Умножим $\frac{6 x}{7}$ на $\frac{1}{7}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{36 x^{2}}{49} - \frac{6 x}{7 \cdot 7} - \frac{1}{7} \cdot \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{7})) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.11.1.2.2

Умножим $7$ на $7$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{36 x^{2}}{49} - \frac{6 x}{49} - \frac{1}{7} \cdot \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{7})) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.11.1.3

Умножим $- \frac{1}{7} \cdot \frac{6 x}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.11.1.3.1

Умножим $\frac{6 x}{7}$ на $\frac{1}{7}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{36 x^{2}}{49} - \frac{6 x}{49} - \frac{6 x}{7 \cdot 7} - \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{7})) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.11.1.3.2

Умножим $7$ на $7$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{36 x^{2}}{49} - \frac{6 x}{49} - \frac{6 x}{49} - \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{7})) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.11.1.4

Умножим $- \frac{1}{7} (- \frac{1}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.11.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{36 x^{2}}{49} - \frac{6 x}{49} - \frac{6 x}{49} + 1 (\frac{1}{7}) \cdot \frac{1}{7}) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.11.1.4.2

Умножим $\frac{1}{7}$ на $1$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{36 x^{2}}{49} - \frac{6 x}{49} - \frac{6 x}{49} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{7}) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.11.1.4.3

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{1}{7}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{36 x^{2}}{49} - \frac{6 x}{49} - \frac{6 x}{49} + \frac{1}{7 \cdot 7}) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.11.1.4.4

Умножим $7$ на $7$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{36 x^{2}}{49} - \frac{6 x}{49} - \frac{6 x}{49} + \frac{1}{49}) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.11.2

Вычтем $\frac{6 x}{49}$ из $- \frac{6 x}{49}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{36 x^{2}}{49} - 2 \frac{6 x}{49} + \frac{1}{49}) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.12.1

Умножим $- 2 \frac{6 x}{49}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.12.1.1

Объединим $- 2$ и $\frac{6 x}{49}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{36 x^{2}}{49} + \frac{- 2 (6 x)}{49} + \frac{1}{49}) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.12.1.2

Умножим $6$ на $- 2$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{36 x^{2}}{49} + \frac{- 12 x}{49} + \frac{1}{49}) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.12.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 (\frac{36 x^{2}}{49} - \frac{12 x}{49} + \frac{1}{49}) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.13

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - 4 \frac{36 x^{2}}{49} - 4 (- \frac{12 x}{49}) - 4 (\frac{1}{49}) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.14.1

Умножим $- 4 \frac{36 x^{2}}{49}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.14.1.1

Объединим $- 4$ и $\frac{36 x^{2}}{49}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x + \frac{- 4 (36 x^{2})}{49} - 4 (- \frac{12 x}{49}) - 4 (\frac{1}{49}) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.14.1.2

Умножим $36$ на $- 4$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x + \frac{- 144 x^{2}}{49} - 4 (- \frac{12 x}{49}) - 4 (\frac{1}{49}) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.14.2

Умножим $- 4 (- \frac{12 x}{49})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.14.2.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x + \frac{- 144 x^{2}}{49} + 4 (\frac{12 x}{49}) - 4 (\frac{1}{49}) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.14.2.2

Объединим $4$ и $\frac{12 x}{49}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x + \frac{- 144 x^{2}}{49} + \frac{4 (12 x)}{49} - 4 (\frac{1}{49}) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.14.2.3

Умножим $12$ на $4$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x + \frac{- 144 x^{2}}{49} + \frac{48 x}{49} - 4 (\frac{1}{49}) + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.14.3

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{49}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x + \frac{- 144 x^{2}}{49} + \frac{48 x}{49} + \frac{- 4}{49} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.15.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - \frac{(144) x^{2}}{49} + \frac{48 x}{49} + \frac{- 4}{49} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.2.15.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - \frac{144 x^{2}}{49} + \frac{48 x}{49} - \frac{4}{49} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Объединим противоположные члены в $- 3 x^{2} + 6 x^{2} - x - \frac{144 x^{2}}{49} + \frac{48 x}{49} - \frac{4}{49} + x + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.1

Добавим $- x$ и $x$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - \frac{144 x^{2}}{49} + \frac{48 x}{49} - \frac{4}{49} + 0 + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.3.1.2

Добавим $- 3 x^{2} + 6 x^{2} - \frac{144 x^{2}}{49} + \frac{48 x}{49} - \frac{4}{49}$ и $0$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = - 3 x^{2} + 6 x^{2} - \frac{144 x^{2}}{49} + \frac{48 x}{49} - \frac{4}{49} + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.3.2

Добавим $- 3 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = 3 x^{2} - \frac{144 x^{2}}{49} + \frac{48 x}{49} - \frac{4}{49} + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.4

Чтобы записать $3 x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{49}{49}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = 3 x^{2} \cdot \frac{49}{49} - \frac{144 x^{2}}{49} + \frac{48 x}{49} - \frac{4}{49} + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.5

Объединим $3 x^{2}$ и $\frac{49}{49}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = \frac{3 x^{2} \cdot 49}{49} - \frac{144 x^{2}}{49} + \frac{48 x}{49} - \frac{4}{49} + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = \frac{3 x^{2} \cdot 49 - 144 x^{2}}{49} + \frac{48 x}{49} - \frac{4}{49} + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = \frac{3 x^{2} \cdot 49 - 144 x^{2} + 48 x - 4}{49} + \frac{6 x}{7} + \frac{- 1}{7}$

Этап 10.2.8

Умножим $49$ на $3$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = \frac{147 x^{2} - 144 x^{2} + 48 x - 4}{49} + \frac{6 x}{7} + \frac{- 1}{7}$

Этап 10.2.9

Вычтем $144 x^{2}$ из $147 x^{2}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = \frac{3 x^{2} + 48 x - 4}{49} + \frac{6 x}{7} + \frac{- 1}{7}$

Этап 10.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = \frac{3 x^{2} + 48 x - 4}{49} + \frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.11

Чтобы записать $\frac{6 x}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = \frac{3 x^{2} + 48 x - 4}{49} + \frac{6 x}{7} \cdot \frac{7}{7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.12

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $49$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.12.1

Умножим $\frac{6 x}{7}$ на $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = \frac{3 x^{2} + 48 x - 4}{49} + \frac{6 x \cdot 7}{7 \cdot 7} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.12.2

Умножим $7$ на $7$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = \frac{3 x^{2} + 48 x - 4}{49} + \frac{6 x \cdot 7}{49} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = \frac{3 x^{2} + 48 x - 4 + 6 x \cdot 7}{49} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.14.1

Умножим $7$ на $6$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = \frac{3 x^{2} + 48 x - 4 + 42 x}{49} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.14.2

Добавим $48 x$ и $42 x$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = \frac{3 x^{2} + 90 x - 4}{49} - \frac{1}{7}$

Этап 10.2.15

Чтобы записать $- \frac{1}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = \frac{3 x^{2} + 90 x - 4}{49} - \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{7}$

Этап 10.2.16

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $49$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.16.1

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = \frac{3 x^{2} + 90 x - 4}{49} - \frac{7}{7 \cdot 7}$

Этап 10.2.16.2

Умножим $7$ на $7$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = \frac{3 x^{2} + 90 x - 4}{49} - \frac{7}{49}$

Этап 10.2.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = \frac{3 x^{2} + 90 x - 4 - 7}{49}$

Этап 10.2.18

Вычтем $7$ из $- 4$ .

$f (\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}) = \frac{3 x^{2} + 90 x - 11}{49}$

Этап 10.2.19

Окончательный ответ: $\frac{3 x^{2} + 90 x - 11}{49}$ .

$y = \frac{3 x^{2} + 90 x - 11}{49}$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (y) = - 3 x^{2} + 7 x y - 4 y^{2} + x + y$ .

$(\frac{6 x}{7} - \frac{1}{7}, \frac{3 x^{2} + 90 x - 11}{49})$ — локальный максимум

Этап 12