Математический анализ Примеры

$f (y) = x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} + 4 x - 3 y + 4$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} + 4 x - 3 y + 4$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 1.1.2

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 3 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 3 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 3 x y$ по $y$ равна $- 3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$0 - 3 x + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y^{2}$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - 3 x + 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 3 x + 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$0 - 3 x + 4 y + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 1.4

Поскольку $4 x$ является константой относительно $y$ , производная $4 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 - 3 x + 4 y + 0 + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $y$ , производная $- 3 y$ по $y$ равна $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 x + 4 y + 0 - 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 3 x + 4 y + 0 - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 1.5.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$0 - 3 x + 4 y + 0 - 3 + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 1.6

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 - 3 x + 4 y + 0 - 3 + 0$

Этап 1.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вычтем $3 x$ из $0$ .

$- 3 x + 4 y + 0 - 3 + 0$

Этап 1.7.2

Добавим $- 3 x + 4 y$ и $0$ .

$- 3 x + 4 y - 3 + 0$

Этап 1.7.3

Добавим $- 3 x + 4 y - 3$ и $0$ .

$- 3 x + 4 y - 3$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $- 3 x + 4 y - 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- 3 x] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$f'' (y) = \frac{d}{d y} (- 3 x) + \frac{d}{d y} (4 y) + \frac{d}{d y} (- 3)$

Этап 2.1.2

Поскольку $- 3 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 3 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$f'' (y) = 0 + \frac{d}{d y} (4 y) + \frac{d}{d y} (- 3)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4 y$ по $y$ равна $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$f'' (y) = 0 + 4 \frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 3)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (y) = 0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (- 3)$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (y) = 0 + 4 + \frac{d}{d y} (- 3)$

Этап 2.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $y$ , производная $- 3$ относительно $y$ равна $0$ .

$f'' (y) = 0 + 4 + 0$

Этап 2.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $0$ и $4$ .

$f'' (y) = 4 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$f'' (y) = 4$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 3 x + 4 y - 3 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 4.1.1.2

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 3 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 3 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 3 x y$ по $y$ равна $- 3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$0 - 3 x + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y^{2}$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - 3 x + 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 3 x + 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$0 - 3 x + 4 y + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 4.1.4

Поскольку $4 x$ является константой относительно $y$ , производная $4 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 - 3 x + 4 y + 0 + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 4.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $y$ , производная $- 3 y$ по $y$ равна $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 x + 4 y + 0 - 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 3 x + 4 y + 0 - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 4.1.5.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$0 - 3 x + 4 y + 0 - 3 + \frac{d}{d y} [4]$

Этап 4.1.6

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 - 3 x + 4 y + 0 - 3 + 0$

Этап 4.1.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Вычтем $3 x$ из $0$ .

$- 3 x + 4 y + 0 - 3 + 0$

Этап 4.1.7.2

Добавим $- 3 x + 4 y$ и $0$ .

$- 3 x + 4 y - 3 + 0$

Этап 4.1.7.3

Добавим $- 3 x + 4 y - 3$ и $0$ .

$f' (y) = - 3 x + 4 y - 3$

Этап 4.2

Первая производная $f (y)$ по $y$ равна $- 3 x + 4 y - 3$ .

$- 3 x + 4 y - 3$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x + 4 y - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x + 4 y - 3 = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$4 y - 3 = 3 x$

Этап 5.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 y = 3 x + 3$

Этап 5.3

Разделим каждый член $4 y = 3 x + 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $4 y = 3 x + 3$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4$

Этап 9

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - 3 x (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 2 {(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})}^{2} + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - 3 x \frac{3 x}{4} - 3 x \frac{3}{4} + 2 {(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})}^{2} + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.2

Умножим $- 3 x \frac{3 x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{3 x}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} + x (\frac{- 3 (3 x)}{4}) - 3 x \frac{3}{4} + 2 {(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})}^{2} + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.2.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} + x (\frac{- 9 x}{4}) - 3 x \frac{3}{4} + 2 {(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})}^{2} + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.2.3

Объединим $x$ и $\frac{- 9 x}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} + \frac{x (- 9 x)}{4} - 3 x \frac{3}{4} + 2 {(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})}^{2} + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} + \frac{- 9 (x \cdot x)}{4} - 3 x \frac{3}{4} + 2 {(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})}^{2} + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} + \frac{- 9 (x \cdot x)}{4} - 3 x \frac{3}{4} + 2 {(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})}^{2} + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} + \frac{- 9 x^{1 + 1}}{4} - 3 x \frac{3}{4} + 2 {(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})}^{2} + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} + \frac{- 9 x^{2}}{4} - 3 x \frac{3}{4} + 2 {(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})}^{2} + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.3

Умножим $- 3 x \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} + \frac{- 9 x^{2}}{4} + x (\frac{- 3 \cdot 3}{4}) + 2 {(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})}^{2} + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.3.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} + \frac{- 9 x^{2}}{4} + x (\frac{- 9}{4}) + 2 {(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})}^{2} + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.3.3

Объединим $x$ и $\frac{- 9}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} + \frac{- 9 x^{2}}{4} + \frac{x \cdot - 9}{4} + 2 {(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})}^{2} + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{x \cdot - 9}{4} + 2 {(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})}^{2} + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.4.2

Перенесем $- 9$ влево от $x$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 9 \cdot x}{4} + 2 {(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})}^{2} + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 {(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})}^{2} + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.5

Перепишем ${(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})}^{2}$ в виде $(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 ((\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.6

Развернем $(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{3 x}{4} \cdot (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + \frac{3}{4} \cdot (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4})) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.7.1.1

Умножим $\frac{3 x}{4} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.7.1.1.1

Умножим $\frac{3 x}{4}$ на $\frac{3 x}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{3 x (3 x)}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.7.1.1.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x \cdot x}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.7.1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 (x \cdot x)}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.7.1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 10.2.1.7.1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.7.1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.7.1.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{3 x}{4} \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.7.1.2

Умножим $\frac{3 x}{4} \cdot \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.7.1.2.1

Умножим $\frac{3 x}{4}$ на $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{3 x \cdot 3}{4 \cdot 4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.7.1.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{9 x}{4 \cdot 4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.7.1.2.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{9 x}{16} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.7.1.3

Умножим $\frac{3}{4} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.7.1.3.1

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{3 x}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{9 x}{16} + \frac{3 (3 x)}{4 \cdot 4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.7.1.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{9 x}{16} + \frac{9 x}{4 \cdot 4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.7.1.3.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{9 x}{16} + \frac{9 x}{16} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.7.1.4

Умножим $\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.7.1.4.1

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{9 x}{16} + \frac{9 x}{16} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.7.1.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{9 x}{16} + \frac{9 x}{16} + \frac{9}{4 \cdot 4}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.7.1.4.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{9 x}{16} + \frac{9 x}{16} + \frac{9}{16}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.7.2

Добавим $\frac{9 x}{16}$ и $\frac{9 x}{16}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{16} + 2 (\frac{9 x}{16}) + \frac{9}{16}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{16} + 2 (\frac{9 x}{2 (8)}) + \frac{9}{16}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{16} + 2 (\frac{9 x}{2 \cdot 8}) + \frac{9}{16}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{16} + \frac{9 x}{8} + \frac{9}{16}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{16}) + 2 (\frac{9 x}{8}) + 2 (\frac{9}{16}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.10.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.10.1.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{2 (8)}) + 2 (\frac{9 x}{8}) + 2 (\frac{9}{16}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.10.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9 x^{2}}{2 \cdot 8}) + 2 (\frac{9 x}{8}) + 2 (\frac{9}{16}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.10.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + 2 (\frac{9 x}{8}) + 2 (\frac{9}{16}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.10.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + 2 (\frac{9 x}{2 (4)}) + 2 (\frac{9}{16}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.10.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + 2 (\frac{9 x}{2 \cdot 4}) + 2 (\frac{9}{16}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.10.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9}{16}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.10.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.10.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9}{2 (8)}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.10.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{4} + 2 (\frac{9}{2 \cdot 8}) + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.10.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{4} + \frac{9}{8} + 4 x - 3 (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{4} + \frac{9}{8} + 4 x - 3 \frac{3 x}{4} - 3 (\frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.12

Умножим $- 3 \frac{3 x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.12.1

Объединим $- 3$ и $\frac{3 x}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{4} + \frac{9}{8} + 4 x + \frac{- 3 (3 x)}{4} - 3 (\frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.12.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{4} + \frac{9}{8} + 4 x + \frac{- 9 x}{4} - 3 (\frac{3}{4}) + 4$

Этап 10.2.1.13

Умножим $- 3 (\frac{3}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.13.1

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{4} + \frac{9}{8} + 4 x + \frac{- 9 x}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{4} + 4$

Этап 10.2.1.13.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{4} + \frac{9}{8} + 4 x + \frac{- 9 x}{4} + \frac{- 9}{4} + 4$

Этап 10.2.1.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.14.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{4} + \frac{9}{8} + 4 x - \frac{9 x}{4} + \frac{- 9}{4} + 4$

Этап 10.2.1.14.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{4} + \frac{9}{8} + 4 x - \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 4$

Этап 10.2.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{9 x}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9 x}{4} + \frac{9}{8} + 4 x - \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Добавим $- \frac{9 x}{4}$ и $\frac{9 x}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + 0 + \frac{9}{8} + 4 x - \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 4$

Этап 10.2.2.2

Добавим $x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{9 x^{2}}{8}$ и $0$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} - \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8} + 4 x - \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 4$

Этап 10.2.3

Чтобы записать $x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8} + 4 x - \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 4$

Этап 10.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8} + 4 x - \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 4$

Этап 10.2.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8} + 4 x - \frac{9 x}{4} - \frac{9}{4} + 4$

Этап 10.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = 4 x + 4 + \frac{x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2} - 9 x - 9}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 10.2.5

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = 4 x + 4 + \frac{4 x^{2} - 9 x^{2} - 9 x - 9}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 10.2.6

Вычтем $9 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = 4 x + 4 + \frac{- 5 x^{2} - 9 x - 9}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 10.2.7

Чтобы записать $4 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = 4 x \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 5 x^{2} - 9 x - 9}{4} + 4 + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 10.2.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.8.1

Объединим $4 x$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{4 x \cdot 4}{4} + \frac{- 5 x^{2} - 9 x - 9}{4} + 4 + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 10.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{4 x \cdot 4 - 5 x^{2} - 9 x - 9}{4} + 4 + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 10.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{16 x - 5 x^{2} - 9 x - 9}{4} + 4 + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 10.2.9.2

Вычтем $9 x$ из $16 x$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- 5 x^{2} + 7 x - 9}{4} + 4 + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 10.2.10

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- 5 x^{2} + 7 x - 9}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 10.2.11

Объединим $4$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- 5 x^{2} + 7 x - 9}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 10.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- 5 x^{2} + 7 x - 9 + 4 \cdot 4}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 10.2.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.13.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- 5 x^{2} + 7 x - 9 + 16}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 10.2.13.2

Добавим $- 9$ и $16$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- 5 x^{2} + 7 x + 7}{4} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 10.2.14

Чтобы записать $\frac{- 5 x^{2} + 7 x + 7}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- 5 x^{2} + 7 x + 7}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 10.2.15

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.15.1

Умножим $\frac{- 5 x^{2} + 7 x + 7}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{(- 5 x^{2} + 7 x + 7) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 10.2.15.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{(- 5 x^{2} + 7 x + 7) \cdot 2}{8} + \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 10.2.16

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.16.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{(- 5 x^{2} + 7 x + 7) \cdot 2 + 9 x^{2}}{8} + \frac{9}{8}$

Этап 10.2.16.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{(- 5 x^{2} + 7 x + 7) \cdot 2 + 9 x^{2} + 9}{8}$

Этап 10.2.17

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- 5 x^{2} \cdot 2 + 7 x \cdot 2 + 7 \cdot 2 + 9 x^{2} + 9}{8}$

Этап 10.2.17.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.17.2.1

Умножим $2$ на $- 5$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- 10 x^{2} + 7 x \cdot 2 + 7 \cdot 2 + 9 x^{2} + 9}{8}$

Этап 10.2.17.2.2

Умножим $2$ на $7$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- 10 x^{2} + 14 x + 7 \cdot 2 + 9 x^{2} + 9}{8}$

Этап 10.2.17.2.3

Умножим $7$ на $2$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- 10 x^{2} + 14 x + 14 + 9 x^{2} + 9}{8}$

Этап 10.2.18

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.18.1

Добавим $- 10 x^{2}$ и $9 x^{2}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- x^{2} + 14 x + 14 + 9}{8}$

Этап 10.2.18.2

Добавим $14$ и $9$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- x^{2} + 14 x + 23}{8}$

Этап 10.2.18.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- (x^{2}) + 14 x + 23}{8}$

Этап 10.2.18.4

Вынесем множитель $- 1$ из $14 x$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- (x^{2}) - (- 14 x) + 23}{8}$

Этап 10.2.18.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 14 x)$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- (x^{2} - 14 x) + 23}{8}$

Этап 10.2.18.6

Перепишем $23$ в виде $- 1 (- 23)$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- (x^{2} - 14 x) - 1 \cdot - 23}{8}$

Этап 10.2.18.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 14 x) - 1 (- 23)$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- (x^{2} - 14 x - 23)}{8}$

Этап 10.2.18.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.18.8.1

Перепишем $- (x^{2} - 14 x - 23)$ в виде $- 1 (x^{2} - 14 x - 23)$ .

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = \frac{- 1 (x^{2} - 14 x - 23)}{8}$

Этап 10.2.18.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}) = - \frac{x^{2} - 14 x - 23}{8}$

Этап 10.2.19

Окончательный ответ: $- \frac{x^{2} - 14 x - 23}{8}$ .

$y = - \frac{x^{2} - 14 x - 23}{8}$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (y) = x^{2} - 3 x y + 2 y^{2} + 4 x - 3 y + 4$ .

$(\frac{3 x}{4} + \frac{3}{4}, - \frac{x^{2} - 14 x - 23}{8})$ — локальный минимум

Этап 12