Математический анализ Примеры

$f (x) = x y + y - 11 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x y + y - 11 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 1.3

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11 x$ по $x$ равна $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y + 0 - 11 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y + 0 - 11 \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $- 11$ на $1$ .

$y + 0 - 11$

Этап 1.5

Добавим $y$ и $0$ .

$y - 11$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y - 11$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (y) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Этап 2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 11)$

Этап 2.3

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + 0$

Этап 2.4

Добавим $0$ и $0$ .

$f'' (x) = 0$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$y - 11 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $x y + y - 11 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 4.1.3

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11 x$ по $x$ равна $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y + 0 - 11 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y + 0 - 11 \cdot 1$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 11$ на $1$ .

$y + 0 - 11$

Этап 4.1.5

Добавим $y$ и $0$ .

$f' (x) = y - 11$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $y - 11$ .

$y - 11$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $y - 11 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$y - 11 = 0$

Этап 5.2

Добавим $11$ к обеим частям уравнения.

$y = 11$

Этап 6

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 11$

Этап 7

Найдем вторую производную в $x = 11$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$0$

Этап 8

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 9