Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x \sin (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$x \cos (x) + \sin (x) - \sin (x)$

Этап 1.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вычтем $\sin (x)$ из $\sin (x)$ .

$x \cos (x) + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $x \cos (x)$ и $0$ .

$x \cos (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$

Этап 2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x)$

Этап 2.3.2.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - x \sin (x) + \cos (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x \cos (x) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$\cos (x) = 0$

Этап 5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 6.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.2.5

Решение уравнения $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x \cos (x) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$0 \sin (0) + \cos (0)$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 \cdot 0 + \cos (0)$

Этап 9.1.2

Умножим $0$ на $0$ .

$0 + \cos (0)$

Этап 9.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 + 1$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = (0) \sin (0) + \cos (0)$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (0) = 0 \cdot 0 + \cos (0)$

Этап 11.2.1.2

Умножим $0$ на $0$ .

$f (0) = 0 + \cos (0)$

Этап 11.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 0 + 1$

Этап 11.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Этап 13.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Этап 13.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$- \frac{π}{2} + 0$

Этап 13.2

Добавим $- \frac{π}{2}$ и $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Этап 14

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Этап 15.2.1.2

Умножим $\frac{π}{2}$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Этап 15.2.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

Этап 15.2.2

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{3 π}{2} \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \frac{3 π}{2} (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 17.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- \frac{3 π}{2} (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 17.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 17.1.4

Умножим $- \frac{3 π}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 17.1.4.2

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $1$ .

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 17.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Этап 17.1.6

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$\frac{3 π}{2} + 0$

Этап 17.2

Добавим $\frac{3 π}{2}$ и $0$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 18

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = (\frac{3 π}{2}) \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 19.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 19.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 19.2.1.4

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.1

Объединим $\frac{3 π}{2}$ и $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π \cdot - 1}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 19.2.1.4.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 19.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

Этап 19.2.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

Этап 19.2.1.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + 0$

Этап 19.2.2

Добавим $- \frac{3 π}{2}$ и $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2}$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{3 π}{2}$ .

$y = - \frac{3 π}{2}$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$ .

$(0, 1)$ — локальный минимум

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ — локальный максимум

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2})$ — локальный минимум

Этап 21