Математический анализ Примеры

$G (x) = - x^{3} - 3 x^{3} + 9 x + 1$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- x^{3} - 3 x^{3} + 9 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{3}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 3 x^{2} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$- 3 x^{2} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} - 9 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 x^{2} - 9 x^{2} + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.4.3

Умножим $9$ на $1$ .

$- 3 x^{2} - 9 x^{2} + 9 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 x^{2} - 9 x^{2} + 9 + 0$

Этап 1.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вычтем $9 x^{2}$ из $- 3 x^{2}$ .

$- 12 x^{2} + 9 + 0$

Этап 1.6.2

Добавим $- 12 x^{2} + 9$ и $0$ .

$- 12 x^{2} + 9$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 12 x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$G'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$G'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$G'' (x) = - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 12$ .

$G'' (x) = - 24 x + \frac{d}{d x} (9)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$G'' (x) = - 24 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $- 24 x$ и $0$ .

$G'' (x) = - 24 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 12 x^{2} + 9 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{3}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 3 x^{2} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$- 3 x^{2} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} - 9 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 x^{2} - 9 x^{2} + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $9$ на $1$ .

$- 3 x^{2} - 9 x^{2} + 9 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.1.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 x^{2} - 9 x^{2} + 9 + 0$

Этап 4.1.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вычтем $9 x^{2}$ из $- 3 x^{2}$ .

$- 12 x^{2} + 9 + 0$

Этап 4.1.6.2

Добавим $- 12 x^{2} + 9$ и $0$ .

$f' (x) = - 12 x^{2} + 9$

Этап 4.2

Первая производная $G (x)$ по $x$ равна $- 12 x^{2} + 9$ .

$- 12 x^{2} + 9$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 12 x^{2} + 9 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 12 x^{2} + 9 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$- 12 x^{2} = - 9$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 12 x^{2} = - 9$ на $- 12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 12 x^{2} = - 9$ на $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 9}{- 12}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 9}{- 12}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 12}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $- 9$ и $- 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 9$ .

$x^{2} = \frac{- 3 (3)}{- 12}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 12$ .

$x^{2} = \frac{- 3 \cdot 3}{- 3 \cdot 4}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{- 3 \cdot 3}{- 3 \cdot 4}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{3}{4}$

Этап 5.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Этап 5.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.5.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 24 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$2 (- 12) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 12 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 9.3

Перепишем это выражение.

$- 12 \sqrt{3}$

Этап 10

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} - 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{\sqrt{3^{3}}}{2^{3}} - 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2.1.2.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{\sqrt{27}}{2^{3}} - 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2.1.2.3

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{\sqrt{9 (3)}}{2^{3}} - 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2.1.2.3.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2.1.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2.1.4

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 \frac{\sqrt{3^{3}}}{2^{3}} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2.1.5.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 \frac{\sqrt{27}}{2^{3}} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2.1.5.3

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.3.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 \frac{\sqrt{9 (3)}}{2^{3}} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2.1.5.3.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2.1.5.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2^{3}} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2.1.6

Возведем $2$ в степень $3$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 \frac{3 \sqrt{3}}{8} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2.1.7

Умножим $- 3 \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.7.1

Объединим $- 3$ и $\frac{3 \sqrt{3}}{8}$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 3 (3 \sqrt{3})}{8} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2.1.7.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 9 \sqrt{3}}{8} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{8} - \frac{9 \sqrt{3}}{8} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 11.2.1.9

Объединим $9$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{8} - \frac{9 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{2} + 1$

Этап 11.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{- 3 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $9 \sqrt{3}$ из $- 3 \sqrt{3}$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{- 12 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 11.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Сократим общий множитель $- 12$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12 \sqrt{3}$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{4 (- 3 \sqrt{3})}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 11.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{4 (- 3 \sqrt{3})}{4 (2)} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 11.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{4 (- 3 \sqrt{3})}{4 \cdot 2} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 11.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{- 3 \sqrt{3}}{2} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 11.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 11.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{- 3 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 11.2.4.2

Добавим $- 3 \sqrt{3}$ и $9 \sqrt{3}$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{6 \sqrt{3}}{2}$

Этап 11.2.4.3

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 \sqrt{3}$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{2 (3 \sqrt{3})}{2}$

Этап 11.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{2 (3 \sqrt{3})}{2 (1)}$

Этап 11.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{2 (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 11.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{3 \sqrt{3}}{1}$

Этап 11.2.4.3.2.4

Разделим $3 \sqrt{3}$ на $1$ .

$G (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + 3 \sqrt{3}$

Этап 11.2.5

Окончательный ответ: $1 + 3 \sqrt{3}$ .

$y = 1 + 3 \sqrt{3}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 24 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- 24 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 13.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$2 (- 12) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 13.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 12 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 13.1.4

Перепишем это выражение.

$- 12 (- \sqrt{3})$

Этап 13.2

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$12 \sqrt{3}$

Этап 14

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3}) - 3 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}})) - 3 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{3}$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{3}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) (\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}})) - 3 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = {(- 1)}^{3 + 1} (\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.4

Умножим $\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}}$ на $1$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3^{3}}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.5.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{27}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.5.3

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.3.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{9 (3)}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.5.3.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.5.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.6

Возведем $2$ в степень $3$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3}) + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}})) + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 (- \frac{{\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}}) + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.9.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 (- \frac{\sqrt{3^{3}}}{2^{3}}) + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.9.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 (- \frac{\sqrt{27}}{2^{3}}) + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.9.3

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.9.3.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 (- \frac{\sqrt{9 (3)}}{2^{3}}) + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.9.3.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 (- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}}) + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.9.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 (- \frac{3 \sqrt{3}}{2^{3}}) + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{8} - 3 (- \frac{3 \sqrt{3}}{8}) + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.11

Умножим $- 3 (- \frac{3 \sqrt{3}}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.11.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{8} + 3 (\frac{3 \sqrt{3}}{8}) + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.11.2

Объединим $3$ и $\frac{3 \sqrt{3}}{8}$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{3 (3 \sqrt{3})}{8} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.11.3

Умножим $3$ на $3$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{8} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1$

Этап 15.2.1.12

Умножим $9 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.12.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{8} - 9 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$

Этап 15.2.1.12.2

Объединим $- 9$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 9 \sqrt{3}}{2} + 1$

Этап 15.2.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{8} + \frac{9 \sqrt{3}}{8} - \frac{9 \sqrt{3}}{2} + 1$

Этап 15.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{3 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 15.2.2.2

Добавим $3 \sqrt{3}$ и $9 \sqrt{3}$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{12 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 15.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Сократим общий множитель $12$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12 \sqrt{3}$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{4 (3 \sqrt{3})}{8} + \frac{- 9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 15.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{4 (3 \sqrt{3})}{4 (2)} + \frac{- 9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 15.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{4 (3 \sqrt{3})}{4 \cdot 2} + \frac{- 9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 15.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{- 9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 15.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 15.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{3 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3}}{2}$

Этап 15.2.4.2

Вычтем $9 \sqrt{3}$ из $3 \sqrt{3}$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{- 6 \sqrt{3}}{2}$

Этап 15.2.4.3

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 \sqrt{3}$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{2 (- 3 \sqrt{3})}{2}$

Этап 15.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{2 (- 3 \sqrt{3})}{2 (1)}$

Этап 15.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{2 (- 3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 15.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{- 3 \sqrt{3}}{1}$

Этап 15.2.4.3.2.4

Разделим $- 3 \sqrt{3}$ на $1$ .

$G (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - 3 \sqrt{3}$

Этап 15.2.5

Окончательный ответ: $1 - 3 \sqrt{3}$ .

$y = 1 - 3 \sqrt{3}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $G (x) = - x^{3} - 3 x^{3} + 9 x + 1$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1 + 3 \sqrt{3})$ — локальный максимум

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 3 \sqrt{3})$ — локальный минимум

Этап 17