Математический анализ Примеры

$g (x) = - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} - 30$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} - 30$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$ .

$\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 100$ является константой относительно $x$ , производная $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}$ по $x$ равна $- 100 \frac{d}{d x} [e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}]$ .

$- 100 \frac{d}{d x} [e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ .

$- 100 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 100 (e^{u} \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (\frac{d}{d x} [0.75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 1.2.4

Поскольку $0.75$ является константой относительно $x$ , производная $0.75 x^{4}$ по $x$ равна $0.75 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 1.2.6

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) - 6 (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 1.2.8

Умножим $4$ на $0.75$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 6 (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 1.2.9

Умножим $2$ на $- 6$ .

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 30$ является константой относительно $x$ , производная $- 30$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$ и $0$ .

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 100$ является константой относительно $x$ , производная $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$ по $x$ равна $- 100 \frac{d}{d x} [e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)]$ .

$g'' (x) = - 100 \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x))$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}$ и $g (x) = 3 x^{3} - 12 x$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} \frac{d}{d x} (3 x^{3} - 12 x) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $3 x^{3} - 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (\frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

Этап 2.3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

Этап 2.3.4

Умножим $3$ на $3$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12 \cdot 1) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

Этап 2.3.7

Умножим $- 12$ на $1$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}))$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (0.75 x^{4} - 6 x^{2})))$

Этап 2.4.2

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) (e^{u} \frac{d}{d x} (0.75 x^{4} - 6 x^{2})))$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} \frac{d}{d x} (0.75 x^{4} - 6 x^{2})))$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (\frac{d}{d x} (0.75 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})))$

Этап 2.5.2

Поскольку $0.75$ является константой относительно $x$ , производная $0.75 x^{4}$ по $x$ равна $0.75 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})))$

Этап 2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})))$

Этап 2.5.4

Умножим $4$ на $0.75$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})))$

Этап 2.5.5

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2}))$

Этап 2.5.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 6 (2 x)))$

Этап 2.5.7

Умножим $2$ на $- 6$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x))$

Этап 2.6

Возведем $3 x^{3} - 12 x$ в степень $1$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}})$

Этап 2.7

Возведем $3 x^{3} - 12 x$ в степень $1$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + (3 x^{3} - 12 x) (3 x^{3} - 12 x) e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}})$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + {(3 x^{3} - 12 x)}^{1 + 1} e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}})$

Этап 2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) + {(3 x^{3} - 12 x)}^{2} e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}})$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = - 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12)) - 100 ({(3 x^{3} - 12 x)}^{2} e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}})$

Этап 2.10.2

Избавимся от скобок.

$g'' (x) = - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) - 100 {(3 x^{3} - 12 x)}^{2} e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}$

Этап 2.10.3

Изменим порядок членов.

$g'' (x) = - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (9 x^{2} - 12) - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} {(3 x^{3} - 12 x)}^{2}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} - 30$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$ .

$\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$- 100 \frac{d}{d x} [e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 4.1.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ .

$- 100 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 4.1.2.2.2

$- 100 (e^{u} \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 4.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} \frac{d}{d x} [0.75 x^{4} - 6 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 4.1.2.3

По правилу суммы производная $0.75 x^{4} - 6 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (\frac{d}{d x} [0.75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 4.1.2.4

Поскольку $0.75$ является константой относительно $x$ , производная $0.75 x^{4}$ по $x$ равна $0.75 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 4.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 4.1.2.6

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 4.1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (0.75 (4 x^{3}) - 6 (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 4.1.2.8

Умножим $4$ на $0.75$ .

$- 100 (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 6 (2 x))) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 4.1.2.9

Умножим $2$ на $- 6$ .

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 30$ является константой относительно $x$ , производная $- 30$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) + 0$

Этап 4.1.3.2

Добавим $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$ и $0$ .

$f' (x) = - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$

Этап 4.2

Первая производная $g (x)$ по $x$ равна $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$ .

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x)$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) = 0$

Этап 5.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} = 0$

$3 x^{3} - 12 x = 0$

Этап 5.3

Приравняем $e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Приравняем $e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}$ к $0$ .

$e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} = 0$

Этап 5.3.2

Решим $e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}}) = \ln (0)$

Этап 5.3.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.3.2.3

Нет решения для $e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} = 0$

Нет решения

Этап 5.4

Приравняем $3 x^{3} - 12 x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $3 x^{3} - 12 x$ к $0$ .

$3 x^{3} - 12 x = 0$

Этап 5.4.2

Решим $3 x^{3} - 12 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{3} - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{3}$ .

$3 x (x^{2}) - 12 x = 0$

Этап 5.4.2.1.1.2

Вынесем множитель $3 x$ из $- 12 x$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 4) = 0$

Этап 5.4.2.1.1.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x^{2}) + 3 x (- 4)$ .

$3 x (x^{2} - 4) = 0$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 5.4.2.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$3 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 5.4.2.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 5.4.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 5.4.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.4.2.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 5.4.2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5.4.2.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.4.2.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5.4.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 x (x + 2) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2$

Этап 5.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} (3 x^{3} - 12 x) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 2, 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 100 e^{0.75 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2}} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.1.2

Умножим $0.75$ на $0$ .

$- 100 e^{0 - 6 {(0)}^{2}} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 100 e^{0 - 6 \cdot 0} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.1.4

Умножим $- 6$ на $0$ .

$- 100 e^{0 + 0} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.2

Добавим $0$ и $0$ .

$- 100 e^{0} (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 100 \cdot 1 (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.4

Умножим $- 100$ на $1$ .

$- 100 (9 {(0)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 100 (9 \cdot 0 - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.5.2

Умножим $9$ на $0$ .

$- 100 (0 - 12) - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.6

Вычтем $12$ из $0$ .

$- 100 \cdot - 12 - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.7

Умножим $- 100$ на $- 12$ .

$1200 - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.8.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$1200 - 100 e^{0.75 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.8.2

Умножим $0.75$ на $0$ .

$1200 - 100 e^{0 - 6 {(0)}^{2}} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.8.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$1200 - 100 e^{0 - 6 \cdot 0} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.8.4

Умножим $- 6$ на $0$ .

$1200 - 100 e^{0 + 0} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.9

Добавим $0$ и $0$ .

$1200 - 100 e^{0} {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.10

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1200 - 100 \cdot 1 {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.11

Умножим $- 100$ на $1$ .

$1200 - 100 {(3 {(0)}^{3} - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.12.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$1200 - 100 {(3 \cdot 0 - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.12.2

Умножим $3$ на $0$ .

$1200 - 100 {(0 - 12 \cdot 0)}^{2}$

Этап 9.1.12.3

Умножим $- 12$ на $0$ .

$1200 - 100 {(0 + 0)}^{2}$

Этап 9.1.13

Добавим $0$ и $0$ .

$1200 - 100 \cdot 0^{2}$

Этап 9.1.14

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$1200 - 100 \cdot 0$

Этап 9.1.15

Умножим $- 100$ на $0$ .

$1200 + 0$

Этап 9.2

Добавим $1200$ и $0$ .

$1200$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$g (0) = - 100 e^{0.75 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2}} - 30$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$g (0) = - 100 e^{0.75 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2}} - 30$

Этап 11.2.1.1.2

Умножим $0.75$ на $0$ .

$g (0) = - 100 e^{0 - 6 {(0)}^{2}} - 30$

Этап 11.2.1.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$g (0) = - 100 e^{0 - 6 \cdot 0} - 30$

Этап 11.2.1.1.4

Умножим $- 6$ на $0$ .

$g (0) = - 100 e^{0 + 0} - 30$

Этап 11.2.1.2

Добавим $0$ и $0$ .

$g (0) = - 100 e^{0} - 30$

Этап 11.2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$g (0) = - 100 \cdot 1 - 30$

Этап 11.2.1.4

Умножим $- 100$ на $1$ .

$g (0) = - 100 - 30$

Этап 11.2.2

Вычтем $30$ из $- 100$ .

$g (0) = - 130$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 130$ .

$y = - 130$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$- 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(- 2)}^{2}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.1.2

Умножим $0.75$ на $16$ .

$- 100 e^{12 - 6 {(- 2)}^{2}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 100 e^{12 - 6 \cdot 4} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.1.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$- 100 e^{12 - 24} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.2

Вычтем $24$ из $12$ .

$- 100 e^{- 12} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 100 \frac{1}{e^{12}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.4

Объединим $- 100$ и $\frac{1}{e^{12}}$ .

$\frac{- 100}{e^{12}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{100}{e^{12}} (9 {(- 2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- \frac{100}{e^{12}} (9 \cdot 4 - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.6.2

Умножим $9$ на $4$ .

$- \frac{100}{e^{12}} (36 - 12) - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.7

Вычтем $12$ из $36$ .

$- \frac{100}{e^{12}} \cdot 24 - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.8

Умножим $- \frac{100}{e^{12}} \cdot 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.8.1

Умножим $24$ на $- 1$ .

$- 24 \frac{100}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.8.2

Объединим $- 24$ и $\frac{100}{e^{12}}$ .

$\frac{- 24 \cdot 100}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.8.3

Умножим $- 24$ на $100$ .

$\frac{- 2400}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2400}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.10

Заменим $e$ приближением.

$- \frac{2400}{{2.71828182}^{12}} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.11

Возведем $2.71828182$ в степень $12$ .

$- \frac{2400}{162754.791419} - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.12

Разделим $2400$ на $162754.791419$ .

$- 1 \cdot 0.0147461 - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.13

Умножим $- 1$ на $0.0147461$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.14.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.14.2

Умножим $0.75$ на $16$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 6 {(- 2)}^{2}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.14.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 6 \cdot 4} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.14.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 24} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.15

Вычтем $24$ из $12$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{- 12} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.16

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 0.0147461 - 100 \frac{1}{e^{12}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.17

Объединим $- 100$ и $\frac{1}{e^{12}}$ .

$- 0.0147461 + \frac{- 100}{e^{12}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(3 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.19

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.19.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(3 \cdot - 8 - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.19.2

Умножим $3$ на $- 8$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(- 24 - 12 \cdot - 2)}^{2}$

Этап 13.1.19.3

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(- 24 + 24)}^{2}$

Этап 13.1.20

Добавим $- 24$ и $24$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} \cdot 0^{2}$

Этап 13.1.21

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} \cdot 0$

Этап 13.1.22

Умножим $- \frac{100}{e^{12}} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.22.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$- 0.0147461 + 0 \frac{100}{e^{12}}$

Этап 13.1.22.2

Умножим $0$ на $\frac{100}{e^{12}}$ .

$- 0.0147461 + 0$

Этап 13.2

Добавим $- 0.0147461$ и $0$ .

$- 0.0147461$

Этап 14

$x = - 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$g (- 2) = - 100 e^{0.75 {(- 2)}^{4} - 6 {(- 2)}^{2}} - 30$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$g (- 2) = - 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(- 2)}^{2}} - 30$

Этап 15.2.1.1.2

Умножим $0.75$ на $16$ .

$g (- 2) = - 100 e^{12 - 6 {(- 2)}^{2}} - 30$

Этап 15.2.1.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$g (- 2) = - 100 e^{12 - 6 \cdot 4} - 30$

Этап 15.2.1.1.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$g (- 2) = - 100 e^{12 - 24} - 30$

Этап 15.2.1.2

Вычтем $24$ из $12$ .

$g (- 2) = - 100 e^{- 12} - 30$

Этап 15.2.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (- 2) = - 100 \frac{1}{e^{12}} - 30$

Этап 15.2.1.4

Объединим $- 100$ и $\frac{1}{e^{12}}$ .

$g (- 2) = \frac{- 100}{e^{12}} - 30$

Этап 15.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (- 2) = - \frac{100}{e^{12}} - 30$

Этап 15.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{100}{e^{12}} - 30$ .

$y = - \frac{100}{e^{12}} - 30$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$- 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(2)}^{2}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.1.2

Умножим $0.75$ на $16$ .

$- 100 e^{12 - 6 {(2)}^{2}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 100 e^{12 - 6 \cdot 4} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.1.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$- 100 e^{12 - 24} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.2

Вычтем $24$ из $12$ .

$- 100 e^{- 12} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 100 \frac{1}{e^{12}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.4

Объединим $- 100$ и $\frac{1}{e^{12}}$ .

$\frac{- 100}{e^{12}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{100}{e^{12}} (9 {(2)}^{2} - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.6.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{100}{e^{12}} (9 \cdot 4 - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.6.2

Умножим $9$ на $4$ .

$- \frac{100}{e^{12}} (36 - 12) - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.7

Вычтем $12$ из $36$ .

$- \frac{100}{e^{12}} \cdot 24 - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.8

Умножим $- \frac{100}{e^{12}} \cdot 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.8.1

Умножим $24$ на $- 1$ .

$- 24 \frac{100}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.8.2

Объединим $- 24$ и $\frac{100}{e^{12}}$ .

$\frac{- 24 \cdot 100}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.8.3

Умножим $- 24$ на $100$ .

$\frac{- 2400}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2400}{e^{12}} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.10

Заменим $e$ приближением.

$- \frac{2400}{{2.71828182}^{12}} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.11

Возведем $2.71828182$ в степень $12$ .

$- \frac{2400}{162754.791419} - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.12

Разделим $2400$ на $162754.791419$ .

$- 1 \cdot 0.0147461 - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.13

Умножим $- 1$ на $0.0147461$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.14.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.14.2

Умножим $0.75$ на $16$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 6 {(2)}^{2}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.14.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 6 \cdot 4} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.14.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{12 - 24} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.15

Вычтем $24$ из $12$ .

$- 0.0147461 - 100 e^{- 12} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.16

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 0.0147461 - 100 \frac{1}{e^{12}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.17

Объединим $- 100$ и $\frac{1}{e^{12}}$ .

$- 0.0147461 + \frac{- 100}{e^{12}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(3 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.19

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.19.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(3 \cdot 8 - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.19.2

Умножим $3$ на $8$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(24 - 12 \cdot 2)}^{2}$

Этап 17.1.19.3

Умножим $- 12$ на $2$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} {(24 - 24)}^{2}$

Этап 17.1.20

Вычтем $24$ из $24$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} \cdot 0^{2}$

Этап 17.1.21

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 0.0147461 - \frac{100}{e^{12}} \cdot 0$

Этап 17.1.22

Умножим $- \frac{100}{e^{12}} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.22.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$- 0.0147461 + 0 \frac{100}{e^{12}}$

Этап 17.1.22.2

Умножим $0$ на $\frac{100}{e^{12}}$ .

$- 0.0147461 + 0$

Этап 17.2

Добавим $- 0.0147461$ и $0$ .

$- 0.0147461$

Этап 18

$x = 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный максимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$g (2) = - 100 e^{0.75 {(2)}^{4} - 6 {(2)}^{2}} - 30$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$g (2) = - 100 e^{0.75 \cdot 16 - 6 {(2)}^{2}} - 30$

Этап 19.2.1.1.2

Умножим $0.75$ на $16$ .

$g (2) = - 100 e^{12 - 6 {(2)}^{2}} - 30$

Этап 19.2.1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$g (2) = - 100 e^{12 - 6 \cdot 4} - 30$

Этап 19.2.1.1.4

Умножим $- 6$ на $4$ .

$g (2) = - 100 e^{12 - 24} - 30$

Этап 19.2.1.2

Вычтем $24$ из $12$ .

$g (2) = - 100 e^{- 12} - 30$

Этап 19.2.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (2) = - 100 \frac{1}{e^{12}} - 30$

Этап 19.2.1.4

Объединим $- 100$ и $\frac{1}{e^{12}}$ .

$g (2) = \frac{- 100}{e^{12}} - 30$

Этап 19.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (2) = - \frac{100}{e^{12}} - 30$

Этап 19.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{100}{e^{12}} - 30$ .

$y = - \frac{100}{e^{12}} - 30$

Этап 20

Это локальные экстремумы $g (x) = - 100 e^{0.75 x^{4} - 6 x^{2}} - 30$ .

$(0, - 130)$ — локальный минимум

$(- 2, - \frac{100}{e^{12}} - 30)$ — локальный максимум

$(2, - \frac{100}{e^{12}} - 30)$ — локальный максимум

Этап 21