Математический анализ Примеры

$g (x) = 0.25 {(x - 3)}^{2} - 7.25$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [0.25 ((x - 3) (x - 3)) - 7.25]$

Этап 1.2

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [0.25 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) - 7.25]$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [0.25 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) - 7.25]$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [0.25 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 7.25]$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [0.25 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 7.25]$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [0.25 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) - 7.25]$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [0.25 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) - 7.25]$

Этап 1.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.25 (x^{2} - 6 x + 9) - 7.25]$

Этап 1.4

По правилу суммы производная $0.25 (x^{2} - 6 x + 9) - 7.25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.25 (x^{2} - 6 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 7.25]$ .

$\frac{d}{d x} [0.25 (x^{2} - 6 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.25 (x^{2} - 6 x + 9)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $0.25$ является константой относительно $x$ , производная $0.25 (x^{2} - 6 x + 9)$ по $x$ равна $0.25 \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9]$ .

$0.25 \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9] + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 1.5.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 6 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$0.25 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 1.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0.25 (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 1.5.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.25 (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 1.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0.25 (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 1.5.6

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$0.25 (2 x - 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 1.5.7

Умножим $- 6$ на $1$ .

$0.25 (2 x - 6 + 0) + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 1.5.8

Добавим $2 x - 6$ и $0$ .

$0.25 (2 x - 6) + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 1.6

Поскольку $- 7.25$ является константой относительно $x$ , производная $- 7.25$ относительно $x$ равна $0$ .

$0.25 (2 x - 6) + 0$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0.25 (2 x) + 0.25 \cdot - 6 + 0$

Этап 1.7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Умножим $2$ на $0.25$ .

$0.5 x + 0.25 \cdot - 6 + 0$

Этап 1.7.2.2

Умножим $0.25$ на $- 6$ .

$0.5 x - 1.5 + 0$

Этап 1.7.2.3

Добавим $0.5 x - 1.5$ и $0$ .

$0.5 x - 1.5$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $0.5 x - 1.5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.5 x] + \frac{d}{d x} [- 1.5]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $0.5$ является константой относительно $x$ , производная $0.5 x$ по $x$ равна $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = 0.5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$g'' (x) = 0.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Этап 2.2.3

Умножим $0.5$ на $1$ .

$g'' (x) = 0.5 + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1.5$ является константой относительно $x$ , производная $- 1.5$ относительно $x$ равна $0$ .

$g'' (x) = 0.5 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $0.5$ и $0$ .

$g'' (x) = 0.5$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$0.5 x - 1.5 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [0.25 ((x - 3) (x - 3)) - 7.25]$

Этап 4.1.2

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [0.25 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) - 7.25]$

Этап 4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [0.25 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) - 7.25]$

Этап 4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [0.25 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 7.25]$

Этап 4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [0.25 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 7.25]$

Этап 4.1.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [0.25 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) - 7.25]$

Этап 4.1.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [0.25 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) - 7.25]$

Этап 4.1.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.25 (x^{2} - 6 x + 9) - 7.25]$

Этап 4.1.4

По правилу суммы производная $0.25 (x^{2} - 6 x + 9) - 7.25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.25 (x^{2} - 6 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 7.25]$ .

$\frac{d}{d x} [0.25 (x^{2} - 6 x + 9)] + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 4.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.25 (x^{2} - 6 x + 9)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

$0.25 \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9] + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 4.1.5.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 6 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$0.25 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 4.1.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0.25 (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 4.1.5.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.25 (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 4.1.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0.25 (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 4.1.5.6

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$0.25 (2 x - 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 4.1.5.7

Умножим $- 6$ на $1$ .

$0.25 (2 x - 6 + 0) + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 4.1.5.8

Добавим $2 x - 6$ и $0$ .

$0.25 (2 x - 6) + \frac{d}{d x} [- 7.25]$

Этап 4.1.6

Поскольку $- 7.25$ является константой относительно $x$ , производная $- 7.25$ относительно $x$ равна $0$ .

$0.25 (2 x - 6) + 0$

Этап 4.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0.25 (2 x) + 0.25 \cdot - 6 + 0$

Этап 4.1.7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.2.1

Умножим $2$ на $0.25$ .

$0.5 x + 0.25 \cdot - 6 + 0$

Этап 4.1.7.2.2

Умножим $0.25$ на $- 6$ .

$0.5 x - 1.5 + 0$

Этап 4.1.7.2.3

Добавим $0.5 x - 1.5$ и $0$ .

$f' (x) = 0.5 x - 1.5$

Этап 4.2

Первая производная $g (x)$ по $x$ равна $0.5 x - 1.5$ .

$0.5 x - 1.5$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $0.5 x - 1.5 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$0.5 x - 1.5 = 0$

Этап 5.2

Добавим $1.5$ к обеим частям уравнения.

$0.5 x = 1.5$

Этап 5.3

Разделим каждый член $0.5 x = 1.5$ на $0.5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $0.5 x = 1.5$ на $0.5$ .

$\frac{0.5 x}{0.5} = \frac{1.5}{0.5}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $0.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{0.5 x}{0.5} = \frac{1.5}{0.5}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1.5}{0.5}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $1.5$ на $0.5$ .

$x = 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 3$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$0.5$

Этап 9

$x = 3$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 3$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$g (3) = 0.25 {((3) - 3)}^{2} - 7.25$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$g (3) = 0.25 \cdot 0^{2} - 7.25$

Этап 10.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$g (3) = 0.25 \cdot 0 - 7.25$

Этап 10.2.1.3

Умножим $0.25$ на $0$ .

$g (3) = 0 - 7.25$

Этап 10.2.2

Вычтем $7.25$ из $0$ .

$g (3) = - 7.25$

Этап 10.2.3

Окончательный ответ: $- 7.25$ .

$y = - 7.25$

Этап 11

Это локальные экстремумы $g (x) = 0.25 {(x - 3)}^{2} - 7.25$ .

$(3, - 7.25)$ — локальный минимум

Этап 12