Математический анализ Примеры

$h (x) = \frac{4}{x^{2} - 36}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{x^{2} - 36}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 36}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 36}]$

Этап 1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2} - 36}$ в виде ${(x^{2} - 36)}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{- 1}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 36$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 36$ .

$4 (- {(x^{2} - 36)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 ({(x^{2} - 36)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$- 4 {(x^{2} - 36)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 {(x^{2} - 36)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 36)}^{- 2} (2 x + 0)$

Этап 1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 36)}^{- 2} (2 x)$

Этап 1.3.5.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 8 {(x^{2} - 36)}^{- 2} x$

Этап 1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 36)}^{2}} x$

Этап 1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 36)}^{2}} x$

Этап 1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{{(x^{2} - 36)}^{2}} x$

Этап 1.5.3

Объединим $x$ и $\frac{8}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 8}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 1.5.4

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$- \frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}]$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} - 36)}^{2}$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{({(x^{2} - 36)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 36)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 2.3.3

Умножим ${(x^{2} - 36)}^{2}$ на $1$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 36)}^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 36$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 36))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 36))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 36$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} - x (2 (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} (x^{2} - 36))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{{(x^{2} - 36)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 36) \frac{d}{d x} (x^{2} - 36))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $x^{2} - 36$ из ${(x^{2} - 36)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} - 36$ из ${(x^{2} - 36)}^{2}$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 36) (x^{2} - 36) - 2 x ((x^{2} - 36) \frac{d}{d x} (x^{2} - 36))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем множитель $x^{2} - 36$ из $- 2 x ((x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 36) (x^{2} - 36) + (x^{2} - 36) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 36)))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 2.5.2.3

Вынесем множитель $x^{2} - 36$ из $(x^{2} - 36) (x^{2} - 36) + (x^{2} - 36) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 36]))$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 36) (x^{2} - 36 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 36)))}{{(x^{2} - 36)}^{4}}$

Этап 2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $x^{2} - 36$ из ${(x^{2} - 36)}^{4}$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 36) (x^{2} - 36 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 36)))}{(x^{2} - 36) {(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель.

$h'' (x) = - 8 \frac{(x^{2} - 36) (x^{2} - 36 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 36)))}{(x^{2} - 36) {(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 2.6.3

Перепишем это выражение.

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 36))}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $x^{2} - 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36))}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 36))}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 2.9

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36$ относительно $x$ равна $0$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 2.10.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 2.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 2.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 2.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 2.14

Добавим $1$ и $1$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{x^{2} - 36 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 2.15

Вычтем $4 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$h'' (x) = - 8 \frac{- 3 x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 2.16

Объединим $- 8$ и $\frac{- 3 x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$ .

$h'' (x) = \frac{- 8 (- 3 x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 2.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$h'' (x) = - \frac{8 (- 3 x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 2.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$h'' (x) = - \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 2.18.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.2.1

Умножим $- 3$ на $8$ .

$h'' (x) = - \frac{- 24 x^{2} + 8 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 2.18.2.2

Умножим $8$ на $- 36$ .

$h'' (x) = - \frac{- 24 x^{2} - 288}{{(x^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{x^{2} - 36}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 36}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 36}]$

Этап 4.1.1.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2} - 36}$ в виде ${(x^{2} - 36)}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 36)}^{- 1}]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 36$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 36$ .

$4 (- {(x^{2} - 36)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 ({(x^{2} - 36)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 36])$

Этап 4.1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$- 4 {(x^{2} - 36)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])$

Этап 4.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 {(x^{2} - 36)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])$

Этап 4.1.3.4

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 36)}^{- 2} (2 x + 0)$

Этап 4.1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- 4 {(x^{2} - 36)}^{- 2} (2 x)$

Этап 4.1.3.5.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 8 {(x^{2} - 36)}^{- 2} x$

Этап 4.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 36)}^{2}} x$

Этап 4.1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 36)}^{2}} x$

Этап 4.1.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{{(x^{2} - 36)}^{2}} x$

Этап 4.1.5.3

Объединим $x$ и $\frac{8}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 8}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 4.1.5.4

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $h (x)$ по $x$ равна $- \frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$- \frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$8 x = 0$

Этап 5.3

Разделим каждый член $8 x = 0$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $8 x = 0$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{8}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $0$ на $8$ .

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{8 x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x^{2} - 36)}^{2} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

${(x^{2} - 6^{2})}^{2} = 0$

Этап 6.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 6$ .

${((x + 6) (x - 6))}^{2} = 0$

Этап 6.2.1.3

Применим правило умножения к $(x + 6) (x - 6)$ .

${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 6.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 6.2.3

Приравняем ${(x + 6)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Приравняем ${(x + 6)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Этап 6.2.3.2

Решим ${(x + 6)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 6.2.3.2.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 6.2.4

Приравняем ${(x - 6)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Приравняем ${(x - 6)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 6.2.4.2

Решим ${(x - 6)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 6.2.4.2.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 6.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 6, 6$

Этап 6.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 6, x = 6$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{- 24 {(0)}^{2} - 288}{{({(0)}^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{- 24 \cdot 0 - 288}{{(0^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 9.1.2

Умножим $- 24$ на $0$ .

$- \frac{0 - 288}{{(0^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 9.1.3

Вычтем $288$ из $0$ .

$- \frac{- 288}{{(0^{2} - 36)}^{3}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{- 288}{{(0 - 36)}^{3}}$

Этап 9.2.2

Вычтем $36$ из $0$ .

$- \frac{- 288}{{(- 36)}^{3}}$

Этап 9.2.3

Возведем $- 36$ в степень $3$ .

$- \frac{- 288}{- 46656}$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $- 288$ и $- 46656$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $- 288$ из $- 288$ .

$- \frac{- 288 (1)}{- 46656}$

Этап 9.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $- 288$ из $- 46656$ .

$- \frac{- 288 \cdot 1}{- 288 \cdot 162}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{- 288 \cdot 1}{- 288 \cdot 162}$

Этап 9.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{162}$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$h (0) = \frac{4}{{(0)}^{2} - 36}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$h (0) = \frac{4}{0 - 36}$

Этап 11.2.1.2

Вычтем $36$ из $0$ .

$h (0) = \frac{4}{- 36}$

Этап 11.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ и $- 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$h (0) = \frac{4 (1)}{- 36}$

Этап 11.2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 36$ .

$h (0) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 9}$

Этап 11.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$h (0) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 9}$

Этап 11.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$h (0) = \frac{1}{- 9}$

Этап 11.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$h (0) = - \frac{1}{9}$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{9}$ .

$y = - \frac{1}{9}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $h (x) = \frac{4}{x^{2} - 36}$ .

$(0, - \frac{1}{9})$ — локальный максимум

Этап 13