Математический анализ Примеры

$g (x) = x - 2 \arctan (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x - 2 \arctan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \arctan (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 - 2 \frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 1.2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$1 + \frac{- 2}{1 + x^{2}}$

Этап 1.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{2}{1 + x^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{2}{1 + x^{2}}$

Этап 1.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + x^{2} - 2}{1 + x^{2}}$

Этап 1.3.1.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{1 + x^{2}}$

Этап 1.3.2

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 1$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.4.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.5

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 1 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Вычтем $2 x^{2} x$ из $2 x^{2} x$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 0 - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5.1.2

Добавим $2 \cdot 1 x$ и $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5.2.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 2.3.5.3

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 0$

Этап 4

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} - 1 = 0$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 1$

Этап 5.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 5.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 5.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 5.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 5.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 6

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4 (1)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 7

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{4}{{(1 + 1)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4}{2^{2}}$

Этап 7.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4}{4}$

Этап 7.3

Разделим $4$ на $4$ .

$1$

Этап 8

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 9

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$g (1) = (1) - 2 \arctan (1)$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$g (1) = 1 - 2 \frac{π}{4}$

Этап 9.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$g (1) = 1 + 2 (- 1) (\frac{π}{4})$

Этап 9.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Этап 9.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Этап 9.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$g (1) = 1 - 1 \frac{π}{2}$

Этап 9.2.1.3

Перепишем $- 1 \frac{π}{2}$ в виде $- \frac{π}{2}$ .

$g (1) = 1 - \frac{π}{2}$

Этап 9.2.2

Окончательный ответ: $1 - \frac{π}{2}$ .

$y = 1 - \frac{π}{2}$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{- 4}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{- 4}{{(1 + 1)}^{2}}$

Этап 11.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 4}{2^{2}}$

Этап 11.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{- 4}{4}$

Этап 11.3

Разделим $- 4$ на $4$ .

$- 1$

Этап 12

$x = - 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный максимум

Этап 13

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$g (- 1) = (- 1) - 2 \arctan (- 1)$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$g (- 1) = - 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

Этап 13.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{4}$ в числитель.

$g (- 1) = - 1 - 2 \frac{- π}{4}$

Этап 13.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$g (- 1) = - 1 + 2 (- 1) (\frac{- π}{4})$

Этап 13.2.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

Этап 13.2.1.2.4

Сократим общий множитель.

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

Этап 13.2.1.2.5

Перепишем это выражение.

$g (- 1) = - 1 - 1 \frac{- π}{2}$

Этап 13.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (- 1) = - 1 - 1 (- \frac{π}{2})$

Этап 13.2.1.4

Умножим $- 1 (- \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (- 1) = - 1 + 1 (\frac{π}{2})$

Этап 13.2.1.4.2

Умножим $\frac{π}{2}$ на $1$ .

$g (- 1) = - 1 + \frac{π}{2}$

Этап 13.2.2

Окончательный ответ: $- 1 + \frac{π}{2}$ .

$y = - 1 + \frac{π}{2}$

Этап 14

Это локальные экстремумы $g (x) = x - 2 \arctan (x)$ .

$(1, 1 - \frac{π}{2})$ — локальный минимум

$(- 1, - 1 + \frac{π}{2})$ — локальный максимум

Этап 15