Математический анализ Примеры

$V (x) = x (10 - 2 x) (16 - 2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x (10 - 2 x)$ и $g (x) = 16 - 2 x$ .

$x (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [16 - 2 x] + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $16 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (10 - 2 x) (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Этап 1.2.2

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (10 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Этап 1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Этап 1.2.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (10 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (10 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x (10 - 2 x) \cdot - 2 + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Этап 1.2.6.2

Перенесем $- 2$ влево от $x (10 - 2 x)$ .

$- 2 \cdot (x (10 - 2 x)) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Этап 1.3

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [10 - 2 x] + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

По правилу суммы производная $10 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- 2 x] + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (- 2 \cdot 1) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \cdot - 2 + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.6.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 \cdot x + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 x + (10 - 2 x) \cdot 1)$

Этап 1.4.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.1

Умножим $10 - 2 x$ на $1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 x + 10 - 2 x)$

Этап 1.4.8.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x + 10)$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x + 10)$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x) + (16 - 2 x) \cdot 10$

Этап 1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + (16 - 2 x) \cdot 10$

Этап 1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 1.5.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Умножим $10$ на $- 2$ .

$- 20 x - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 1.5.5.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$- 20 x + 4 x \cdot x + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 1.5.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 20 x + 4 (x^{1} x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 1.5.5.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 20 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 1.5.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 20 x + 4 x^{1 + 1} + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 1.5.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 1.5.5.7

Умножим $- 4$ на $16$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 1.5.5.8

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x \cdot x + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 1.5.5.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 (x^{1} x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 1.5.5.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 1.5.5.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{1 + 1} + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 1.5.5.12

Добавим $1$ и $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 1.5.5.13

Умножим $16$ на $10$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 160 - 2 x \cdot 10$

Этап 1.5.5.14

Умножим $10$ на $- 2$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 160 - 20 x$

Этап 1.5.5.15

Вычтем $20 x$ из $- 64 x$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 84 x + 8 x^{2} + 160$

Этап 1.5.5.16

Вычтем $84 x$ из $- 20 x$ .

$4 x^{2} - 104 x + 8 x^{2} + 160$

Этап 1.5.5.17

Добавим $4 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 104 x + 160$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $12 x^{2} - 104 x + 160$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 104 x] + \frac{d}{d x} [160]$ .

$V'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 104 x) + \frac{d}{d x} (160)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$V'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 104 x) + \frac{d}{d x} (160)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$V'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 104 x) + \frac{d}{d x} (160)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $12$ .

$V'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 104 x) + \frac{d}{d x} (160)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 104 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 104$ является константой относительно $x$ , производная $- 104 x$ по $x$ равна $- 104 \frac{d}{d x} [x]$ .

$V'' (x) = 24 x - 104 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (160)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$V'' (x) = 24 x - 104 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (160)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 104$ на $1$ .

$V'' (x) = 24 x - 104 + \frac{d}{d x} (160)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $160$ является константой относительно $x$ , производная $160$ относительно $x$ равна $0$ .

$V'' (x) = 24 x - 104 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $24 x - 104$ и $0$ .

$V'' (x) = 24 x - 104$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$12 x^{2} - 104 x + 160 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$x (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [16 - 2 x] + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $16 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (10 - 2 x) (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (10 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Этап 4.1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Этап 4.1.2.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (10 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Этап 4.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (10 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Этап 4.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x (10 - 2 x) \cdot - 2 + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Этап 4.1.2.6.2

Перенесем $- 2$ влево от $x (10 - 2 x)$ .

$- 2 \cdot (x (10 - 2 x)) + (16 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (10 - 2 x)]$

Этап 4.1.3

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [10 - 2 x] + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

По правилу суммы производная $10 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.2

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- 2 x] + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x (- 2 \cdot 1) + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.6.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (x \cdot - 2 + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.6.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 \cdot x + (10 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 x + (10 - 2 x) \cdot 1)$

Этап 4.1.4.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.8.1

Умножим $10 - 2 x$ на $1$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 2 x + 10 - 2 x)$

Этап 4.1.4.8.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$- 2 x (10 - 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x + 10)$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x + 10)$

Этап 4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + (16 - 2 x) (- 4 x) + (16 - 2 x) \cdot 10$

Этап 4.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + (16 - 2 x) \cdot 10$

Этап 4.1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x \cdot 10 - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 4.1.5.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.1

Умножим $10$ на $- 2$ .

$- 20 x - 2 x (- 2 x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 4.1.5.5.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$- 20 x + 4 x \cdot x + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 4.1.5.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 20 x + 4 (x^{1} x) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 4.1.5.5.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 20 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 4.1.5.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 20 x + 4 x^{1 + 1} + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 4.1.5.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} + 16 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 4.1.5.5.7

Умножим $- 4$ на $16$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x - 2 x (- 4 x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 4.1.5.5.8

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x \cdot x + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 4.1.5.5.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 (x^{1} x) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 4.1.5.5.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 4.1.5.5.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{1 + 1} + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 4.1.5.5.12

Добавим $1$ и $1$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 16 \cdot 10 - 2 x \cdot 10$

Этап 4.1.5.5.13

Умножим $16$ на $10$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 160 - 2 x \cdot 10$

Этап 4.1.5.5.14

Умножим $10$ на $- 2$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 64 x + 8 x^{2} + 160 - 20 x$

Этап 4.1.5.5.15

Вычтем $20 x$ из $- 64 x$ .

$- 20 x + 4 x^{2} - 84 x + 8 x^{2} + 160$

Этап 4.1.5.5.16

Вычтем $84 x$ из $- 20 x$ .

$4 x^{2} - 104 x + 8 x^{2} + 160$

Этап 4.1.5.5.17

Добавим $4 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 104 x + 160$

Этап 4.2

Первая производная $V (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 104 x + 160$ .

$12 x^{2} - 104 x + 160$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 104 x + 160 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 104 x + 160 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12 x^{2} - 104 x + 160$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12 x^{2}$ .

$4 (3 x^{2}) - 104 x + 160 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 104 x$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 26 x) + 160 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $160$ .

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 26 x) + 4 (40) = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (3 x^{2}) + 4 (- 26 x)$ .

$4 (3 x^{2} - 26 x) + 4 (40) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (3 x^{2} - 26 x) + 4 (40)$ .

$4 (3 x^{2} - 26 x + 40) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 40 = 120$ , а сумма — $b = - 26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 26$ из $- 26 x$ .

$4 (3 x^{2} - 26 x + 40) = 0$

Этап 5.2.2.1.1.2

Запишем $- 26$ как $- 6$ плюс $- 20$

$4 (3 x^{2} + (- 6 - 20) x + 40) = 0$

Этап 5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (3 x^{2} - 6 x - 20 x + 40) = 0$

Этап 5.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$4 ((3 x^{2} - 6 x) - 20 x + 40) = 0$

Этап 5.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 (3 x (x - 2) - 20 (x - 2)) = 0$

Этап 5.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 2$ .

$4 ((x - 2) (3 x - 20)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x - 2) (3 x - 20) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$3 x - 20 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5.5

Приравняем $3 x - 20$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $3 x - 20$ к $0$ .

$3 x - 20 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $3 x - 20 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Добавим $20$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 20$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = 20$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 20$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{20}{3}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{20}{3}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{20}{3}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x - 2) (3 x - 20) = 0$ верно.

$x = 2, \frac{20}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2, \frac{20}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$24 (2) - 104$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $24$ на $2$ .

$48 - 104$

Этап 9.2

Вычтем $104$ из $48$ .

$- 56$

Этап 10

$x = 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$V (2) = (2) (10 - 2 \cdot 2) (16 - 2 \cdot 2)$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$V (2) = 2 (10 - 4) (16 - 2 \cdot 2)$

Этап 11.2.2

Вычтем $4$ из $10$ .

$V (2) = 2 \cdot (6 (16 - 2 \cdot 2))$

Этап 11.2.3

Умножим $2$ на $6$ .

$V (2) = 12 (16 - 2 \cdot 2)$

Этап 11.2.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$V (2) = 12 (16 - 4)$

Этап 11.2.5

Вычтем $4$ из $16$ .

$V (2) = 12 \cdot 12$

Этап 11.2.6

Умножим $12$ на $12$ .

$V (2) = 144$

Этап 11.2.7

Окончательный ответ: $144$ .

$y = 144$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{20}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$24 (\frac{20}{3}) - 104$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$3 (8) \frac{20}{3} - 104$

Этап 13.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 8 \frac{20}{3} - 104$

Этап 13.1.1.3

Перепишем это выражение.

$8 \cdot 20 - 104$

Этап 13.1.2

Умножим $8$ на $20$ .

$160 - 104$

Этап 13.2

Вычтем $104$ из $160$ .

$56$

Этап 14

$x = \frac{20}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{20}{3}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{20}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{20}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = (\frac{20}{3}) (10 - 2 (\frac{20}{3})) (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Умножим $- 2 (\frac{20}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Объединим $- 2$ и $\frac{20}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((10 + \frac{- 2 \cdot 20}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Этап 15.2.1.1.2

Умножим $- 2$ на $20$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((10 + \frac{- 40}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Этап 15.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((10 - \frac{40}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Этап 15.2.2

Чтобы записать $10$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Этап 15.2.3

Объединим $10$ и $\frac{3}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot ((\frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3}) (16 - 2 (\frac{20}{3})))$

Этап 15.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot \frac{10 \cdot 3 - 40}{3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Этап 15.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Умножим $10$ на $3$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot \frac{30 - 40}{3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Этап 15.2.5.2

Вычтем $40$ из $30$ .

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot \frac{- 10}{3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Этап 15.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V (\frac{20}{3}) = \frac{20}{3} \cdot (- \frac{10}{3}) \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Этап 15.2.7

Умножим $\frac{20}{3} (- \frac{10}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.7.1

Умножим $\frac{20}{3}$ на $\frac{10}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{20 \cdot 10}{3 \cdot 3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Этап 15.2.7.2

Умножим $20$ на $10$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{3 \cdot 3} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Этап 15.2.7.3

Умножим $3$ на $3$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 - 2 (\frac{20}{3}))$

Этап 15.2.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.8.1

Умножим $- 2 (\frac{20}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.8.1.1

Объединим $- 2$ и $\frac{20}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 + \frac{- 2 \cdot 20}{3})$

Этап 15.2.8.1.2

Умножим $- 2$ на $20$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 + \frac{- 40}{3})$

Этап 15.2.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 - \frac{40}{3})$

Этап 15.2.9

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3})$

Этап 15.2.10

Объединим $16$ и $\frac{3}{3}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot (\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3})$

Этап 15.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot \frac{16 \cdot 3 - 40}{3}$

Этап 15.2.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.12.1

Умножим $16$ на $3$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot \frac{48 - 40}{3}$

Этап 15.2.12.2

Вычтем $40$ из $48$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{200}{9} \cdot \frac{8}{3}$

Этап 15.2.13

Умножим $- \frac{200}{9} \cdot \frac{8}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.13.1

Умножим $\frac{8}{3}$ на $\frac{200}{9}$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{8 \cdot 200}{3 \cdot 9}$

Этап 15.2.13.2

Умножим $8$ на $200$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{1600}{3 \cdot 9}$

Этап 15.2.13.3

Умножим $3$ на $9$ .

$V (\frac{20}{3}) = - \frac{1600}{27}$

Этап 15.2.14

Окончательный ответ: $- \frac{1600}{27}$ .

$y = - \frac{1600}{27}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $V (x) = x (10 - 2 x) (16 - 2 x)$ .

$(2, 144)$ — локальный максимум

$(\frac{20}{3}, - \frac{1600}{27})$ — локальный минимум

Этап 17