Математический анализ Примеры

$v (r) = k (28 r^{2} - r^{3})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $k$ является константой относительно $r$ , производная $k (28 r^{2} - r^{3})$ по $r$ равна $k \frac{d}{d r} [28 r^{2} - r^{3}]$ .

$k \frac{d}{d r} [28 r^{2} - r^{3}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $28 r^{2} - r^{3}$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [28 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$ .

$k (\frac{d}{d r} [28 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Этап 1.3

Поскольку $28$ является константой относительно $r$ , производная $28 r^{2}$ по $r$ равна $28 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$k (28 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$k (28 (2 r) + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Этап 1.5

Умножим $2$ на $28$ .

$k (56 r + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Этап 1.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $r$ , производная $- r^{3}$ по $r$ равна $- \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$k (56 r - \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Этап 1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$k (56 r - (3 r^{2}))$

Этап 1.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$k (56 r - 3 r^{2})$

Этап 1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k (56 r) + k (- 3 r^{2})$

Этап 1.9.2

Перенесем $56$ влево от $k$ .

$56 k r + k (- 3 r^{2})$

Этап 1.9.3

Изменим порядок членов.

$56 k r - 3 r^{2} k$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $56 k r - 3 r^{2} k$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [56 k r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

$v'' (r) = \frac{d}{d r} (56 k r) + \frac{d}{d r} (- 3 r^{2} k)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d r} [56 k r]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $56 k$ является константой относительно $r$ , производная $56 k r$ по $r$ равна $56 k \frac{d}{d r} [r]$ .

$v'' (r) = 56 k \frac{d}{d r} (r) + \frac{d}{d r} (- 3 r^{2} k)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$v'' (r) = 56 k \cdot 1 + \frac{d}{d r} (- 3 r^{2} k)$

Этап 2.2.3

Умножим $56$ на $1$ .

$v'' (r) = 56 k + \frac{d}{d r} (- 3 r^{2} k)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3 k$ является константой относительно $r$ , производная $- 3 r^{2} k$ по $r$ равна $- 3 k \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$v'' (r) = 56 k - 3 k \frac{d}{d r} r^{2}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$v'' (r) = 56 k - 3 k (2 r)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$v'' (r) = 56 k - 6 k r$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$v'' (r) = - 6 k r + 56 k$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$56 k r - 3 r^{2} k = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Поскольку $k$ является константой относительно $r$ , производная $k (28 r^{2} - r^{3})$ по $r$ равна $k \frac{d}{d r} [28 r^{2} - r^{3}]$ .

$k \frac{d}{d r} [28 r^{2} - r^{3}]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $28 r^{2} - r^{3}$ по $r$ имеет вид $\frac{d}{d r} [28 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$ .

$k (\frac{d}{d r} [28 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Этап 4.1.3

Поскольку $28$ является константой относительно $r$ , производная $28 r^{2}$ по $r$ равна $28 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$k (28 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$k (28 (2 r) + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Этап 4.1.5

Умножим $2$ на $28$ .

$k (56 r + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Этап 4.1.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $r$ , производная $- r^{3}$ по $r$ равна $- \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$k (56 r - \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Этап 4.1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$k (56 r - (3 r^{2}))$

Этап 4.1.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$k (56 r - 3 r^{2})$

Этап 4.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k (56 r) + k (- 3 r^{2})$

Этап 4.1.9.2

Перенесем $56$ влево от $k$ .

$56 k r + k (- 3 r^{2})$

Этап 4.1.9.3

Изменим порядок членов.

$f' (r) = 56 k r - 3 r^{2} k$

Этап 4.2

Первая производная $v (r)$ по $r$ равна $56 k r - 3 r^{2} k$ .

$56 k r - 3 r^{2} k$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $56 k r - 3 r^{2} k = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$56 k r - 3 r^{2} k = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $k r$ из $56 k r - 3 r^{2} k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $k r$ из $56 k r$ .

$k r (56) - 3 r^{2} k = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $k r$ из $- 3 r^{2} k$ .

$k r (56) + k r (- 3 r) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $k r$ из $k r (56) + k r (- 3 r)$ .

$k r (56 - 3 r) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$r = 0$

$56 - 3 r = 0$

Этап 5.4

Приравняем $r$ к $0$ .

$r = 0$

Этап 5.5

Приравняем $56 - 3 r$ к $0$ , затем решим относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $56 - 3 r$ к $0$ .

$56 - 3 r = 0$

Этап 5.5.2

Решим $56 - 3 r = 0$ относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $56$ из обеих частей уравнения.

$- 3 r = - 56$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $- 3 r = - 56$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $- 3 r = - 56$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 r}{- 3} = \frac{- 56}{- 3}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 r}{- 3} = \frac{- 56}{- 3}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $r$ на $1$ .

$r = \frac{- 56}{- 3}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$r = \frac{56}{3}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $k r (56 - 3 r) = 0$ верно.

$r = 0, \frac{56}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$r = 0, \frac{56}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $r = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 k \cdot 0 + 56 k$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 6 k \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $0$ на $- 6$ .

$0 k + 56 k$

Этап 9.1.2

Умножим $0$ на $k$ .

$0 + 56 k$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $56 k$ .

$56 k$

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11