Математический анализ Примеры

$u (y) = 20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{{(x)}^{2}}{1000} + \frac{(x) \cdot {(y)}^{2}}{100}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{x^{2}}{1000} + \frac{x y^{2}}{100}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

$\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Этап 1.2

Поскольку $20 x$ является константой относительно $y$ , производная $20 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [70 \cdot (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $70$ является константой относительно $y$ , производная $70 y$ по $y$ равна $70 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 70 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Этап 1.3.3

Умножим $70$ на $1$ .

$0 + 70 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Этап 1.4

Поскольку $\frac{x^{2}}{1000}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x^{2}}{1000}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $\frac{x}{100}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x y^{2}}{100}$ по $y$ равна $\frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} (2 y)$

Этап 1.5.3

Объединим $2$ и $\frac{x}{100}$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x}{100} y$

Этап 1.5.4

Объединим $\frac{2 x}{100}$ и $y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x y}{100}$

Этап 1.5.5

Сократим общий множитель $2$ и $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{100}$

Этап 1.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $100$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Этап 1.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Этап 1.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + 70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Добавим $0$ и $70$ .

$70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Этап 1.6.1.2

Добавим $70$ и $0$ .

$70 + \frac{x y}{50}$

Этап 1.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{x y}{50} + 70$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{x y}{50} + 70$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{x y}{50}] + \frac{d}{d y} [70]$ .

$u'' (y) = \frac{d}{d y} (\frac{x y}{50}) + \frac{d}{d y} (70)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{x y}{50}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{x}{50}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x y}{50}$ по $y$ равна $\frac{x}{50} \frac{d}{d y} [y]$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} \cdot \frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (70)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} \cdot 1 + \frac{d}{d y} (70)$

Этап 2.2.3

Умножим $\frac{x}{50}$ на $1$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} + \frac{d}{d y} (70)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $70$ является константой относительно $y$ , производная $70$ относительно $y$ равна $0$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50} + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $\frac{x}{50}$ и $0$ .

$u'' (y) = \frac{x}{50}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{x y}{50} + 70 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d y} [20 \cdot (x)] + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Этап 4.1.2

Поскольку $20 x$ является константой относительно $y$ , производная $20 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [70 \cdot (y)] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [70 \cdot (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $70$ является константой относительно $y$ , производная $70 y$ по $y$ равна $70 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 70 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 70 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $70$ на $1$ .

$0 + 70 + \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{1000}] + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Этап 4.1.4

Поскольку $\frac{x^{2}}{1000}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x^{2}}{1000}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$

Этап 4.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{x y^{2}}{100}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{x}{100} (2 y)$

Этап 4.1.5.3

Объединим $2$ и $\frac{x}{100}$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x}{100} y$

Этап 4.1.5.4

Объединим $\frac{2 x}{100}$ и $y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 x y}{100}$

Этап 4.1.5.5

Сократим общий множитель $2$ и $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x y$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{100}$

Этап 4.1.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $100$ .

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Этап 4.1.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + 70 + 0 + \frac{2 (x y)}{2 \cdot 50}$

Этап 4.1.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + 70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Добавим $0$ и $70$ .

$70 + 0 + \frac{x y}{50}$

Этап 4.1.6.1.2

Добавим $70$ и $0$ .

$70 + \frac{x y}{50}$

Этап 4.1.6.2

Изменим порядок членов.

$f' (y) = \frac{x y}{50} + 70$

Этап 4.2

Первая производная $u (y)$ по $y$ равна $\frac{x y}{50} + 70$ .

$\frac{x y}{50} + 70$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x y}{50} + 70 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x y}{50} + 70 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $70$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x y}{50} = - 70$

Этап 5.3

Умножим обе части уравнения на $50$ .

$50 \frac{x y}{50} = 50 \cdot - 70$

Этап 5.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Сократим общий множитель $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$50 \frac{x y}{50} = 50 \cdot - 70$

Этап 5.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x y = 50 \cdot - 70$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Умножим $50$ на $- 70$ .

$x y = - 3500$

Этап 5.5

Разделим каждый член $x y = - 3500$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $x y = - 3500$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{- 3500}{x}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{- 3500}{x}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 3500}{x}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{3500}{x}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$y = - \frac{3500}{x}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $y = - \frac{3500}{x}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{x}{50}$

Этап 9

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $y$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, \infty)$

Этап 9.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, \infty)$ в первую производную $\frac{x y}{50} + 70$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $0$ .

$u' (0) = \frac{x (0)}{50} + 70$

Этап 9.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Сократим общий множитель $0$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $50$ из $x (0)$ .

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50} + 70$

Этап 9.2.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $50$ из $50$ .

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50 (1)} + 70$

Этап 9.2.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$u' (0) = \frac{50 (x \cdot (0))}{50 \cdot 1} + 70$

Этап 9.2.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$u' (0) = \frac{x \cdot (0)}{1} + 70$

Этап 9.2.2.1.1.2.4

Разделим $x \cdot (0)$ на $1$ .

$u' (0) = x \cdot (0) + 70$

Этап 9.2.2.1.2

Умножим $x$ на $0$ .

$u' (0) = 0 + 70$

Этап 9.2.2.2

Добавим $0$ и $70$ .

$u' (0) = 70$

Этап 9.2.2.3

Окончательный ответ: $70$ .

$70$

Этап 9.3

Локальный минимум или минимум для $u (y) = 20 \cdot (x) + 70 \cdot (y) + \frac{{(x)}^{2}}{1000} + \frac{(x) \cdot {(y)}^{2}}{100}$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 10