Математический анализ Примеры

$t (x) = 101 - \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $101 - \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [101] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$ .

$\frac{d}{d x} [101] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$

Этап 1.1.2

Поскольку $101$ является константой относительно $x$ , производная $101$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{6}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{6} \cdot (1 - \frac{x}{6})]$

Этап 1.2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{2}}{6} (1 - \frac{x}{6})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6} (1 - \frac{x}{6})]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6} (1 - \frac{x}{6})]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \frac{x^{2}}{6}$ и $g (x) = 1 - \frac{x}{6}$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{6}] + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Этап 1.2.4

По правилу суммы производная $1 - \frac{x}{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Этап 1.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Этап 1.2.6

Поскольку $- \frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{6}$ по $x$ равна $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Этап 1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Этап 1.2.8

Поскольку $\frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{6}$ по $x$ равна $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Этап 1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Этап 1.2.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6}) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Этап 1.2.11

Вычтем $\frac{1}{6}$ из $0$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (- \frac{1}{6}) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Этап 1.2.12

Умножим $\frac{x^{2}}{6}$ на $\frac{1}{6}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{6 \cdot 6} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Этап 1.2.13

Умножим $6$ на $6$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Этап 1.2.14

Объединим $2$ и $\frac{1}{6}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{2}{6} x))$

Этап 1.2.15

Объединим $\frac{2}{6}$ и $x$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{6})$

Этап 1.2.16

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.16.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 (x)}{6})$

Этап 1.2.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{2 \cdot 3})$

Этап 1.2.16.2.2

Сократим общий множитель.

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{2 \cdot 3})$

Этап 1.2.16.2.3

Перепишем это выражение.

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3})$

Этап 1.2.17

Чтобы записать $(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{36}{36}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot \frac{36}{36})$

Этап 1.2.18

Объединим $(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3}$ и $\frac{36}{36}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + \frac{(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot 36}{36})$

Этап 1.2.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot 36}{36}$

Этап 1.2.20

Объединим $36$ и $\frac{x}{3}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{36 x}{3}}{36}$

Этап 1.2.21

Сократим общий множитель $36$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.1

Вынесем множитель $3$ из $36 x$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3}}{36}$

Этап 1.2.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.21.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3 (1)}}{36}$

Этап 1.2.21.2.2

Сократим общий множитель.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3 \cdot 1}}{36}$

Этап 1.2.21.2.3

Перепишем это выражение.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{12 x}{1}}{36}$

Этап 1.2.21.2.4

Разделим $12 x$ на $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) (12 x)}{36}$

Этап 1.2.22

Перенесем $12$ влево от $1 - \frac{x}{6}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 (1 - \frac{x}{6}) x}{36}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 - \frac{- x^{2} + (12 \cdot 1 + 12 (- \frac{x}{6})) x}{36}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 \cdot 1 x + 12 (- \frac{x}{6}) x}{36}$

Этап 1.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $12$ на $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + 12 (- \frac{x}{6}) x}{36}$

Этап 1.3.3.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 12 \frac{x}{6} x}{36}$

Этап 1.3.3.3

Объединим $- 12$ и $\frac{x}{6}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{- 12 x}{6} x}{36}$

Этап 1.3.3.4

Сократим общий множитель $- 12$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.1

Вынесем множитель $6$ из $- 12 x$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6} x}{36}$

Этап 1.3.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6 (1)} x}{36}$

Этап 1.3.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6 \cdot 1} x}{36}$

Этап 1.3.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{- 2 x}{1} x}{36}$

Этап 1.3.3.4.2.4

Разделим $- 2 x$ на $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x \cdot x}{36}$

Этап 1.3.3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x)}{36}$

Этап 1.3.3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x^{1})}{36}$

Этап 1.3.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x^{1 + 1}}{36}$

Этап 1.3.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x^{2}}{36}$

Этап 1.3.3.9

Вычтем $2 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$0 - \frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$

Этап 1.3.3.10

Вычтем $\frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$ из $0$ .

$- \frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$

Этап 1.3.4

Вынесем множитель $3 x$ из $- 3 x^{2} + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Вынесем множитель $3 x$ из $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{3 x (- x) + 12 x}{36}$

Этап 1.3.4.2

Вынесем множитель $3 x$ из $12 x$ .

$- \frac{3 x (- x) + 3 x (4)}{36}$

Этап 1.3.4.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (- x) + 3 x (4)$ .

$- \frac{3 x (- x + 4)}{36}$

Этап 1.3.5

Сократим общий множитель $3$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x (- x + 4)$ .

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{36}$

Этап 1.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $36$ .

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{3 \cdot 12}$

Этап 1.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{3 \cdot 12}$

Этап 1.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{x (- x + 4)}{12}$

Этап 1.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- \frac{x (- (x) + 4)}{12}$

Этап 1.3.7

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$- \frac{x (- (x) - 1 (- 4))}{12}$

Этап 1.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

$- \frac{x (- (x - 4))}{12}$

Этап 1.3.9

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

$- \frac{x (- 1 (x - 4))}{12}$

Этап 1.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{x (x - 4)}{12}$

Этап 1.3.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{x (x - 4)}{12}$

Этап 1.3.12

Умножим $\frac{x (x - 4)}{12}$ на $1$ .

$\frac{x (x - 4)}{12}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{12}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x (x - 4)}{12}$ по $x$ равна $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x (x - 4)]$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x (x - 4))$

Этап 2.2

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x + (x - 4) \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x + (x - 4) \cdot 1)$

Этап 2.3.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $x - 4$ на $1$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (x + x - 4)$

Этап 2.3.6.2

Добавим $x$ и $x$ .

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (2 x - 4)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$t'' (x) = \frac{1}{12} \cdot (2 x) + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{12}$ .

$t'' (x) = \frac{2}{12} x + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Этап 2.4.2.2

Объединим $\frac{2}{12}$ и $x$ .

$t'' (x) = \frac{2 x}{12} + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Этап 2.4.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$t'' (x) = \frac{2 (x)}{12} + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Этап 2.4.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$t'' (x) = \frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Этап 2.4.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$t'' (x) = \frac{2 x}{2 \cdot 6} + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Этап 2.4.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{1}{12} \cdot - 4$

Этап 2.4.2.4

Объединим $\frac{1}{12}$ и $- 4$ .

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{- 4}{12}$

Этап 2.4.2.5

Сократим общий множитель $- 4$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{4 (- 1)}{12}$

Этап 2.4.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Этап 2.4.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 3}$

Этап 2.4.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$t'' (x) = \frac{x}{6} + \frac{- 1}{3}$

Этап 2.4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t'' (x) = \frac{x}{6} - \frac{1}{3}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{x (x - 4)}{12} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [101] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$

Этап 4.1.1.2

Поскольку $101$ является константой относительно $x$ , производная $101$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{6}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{6} \cdot (1 - \frac{x}{6})]$

Этап 4.1.2.2

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6} (1 - \frac{x}{6})]$

Этап 4.1.2.3

$0 - (\frac{x^{2}}{6} \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{6}] + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Этап 4.1.2.4

По правилу суммы производная $1 - \frac{x}{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Этап 4.1.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{6}]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Этап 4.1.2.6

Поскольку $- \frac{1}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{6}$ по $x$ равна $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Этап 4.1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6}])$

Этап 4.1.2.8

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Этап 4.1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6} \cdot 1) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Этап 4.1.2.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (0 - \frac{1}{6}) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Этап 4.1.2.11

Вычтем $\frac{1}{6}$ из $0$ .

$0 - (\frac{x^{2}}{6} (- \frac{1}{6}) + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Этап 4.1.2.12

Умножим $\frac{x^{2}}{6}$ на $\frac{1}{6}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{6 \cdot 6} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Этап 4.1.2.13

Умножим $6$ на $6$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{1}{6} (2 x)))$

Этап 4.1.2.14

Объединим $2$ и $\frac{1}{6}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) (\frac{2}{6} x))$

Этап 4.1.2.15

Объединим $\frac{2}{6}$ и $x$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{6})$

Этап 4.1.2.16

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.16.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 (x)}{6})$

Этап 4.1.2.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{2 \cdot 3})$

Этап 4.1.2.16.2.2

Сократим общий множитель.

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{2 x}{2 \cdot 3})$

Этап 4.1.2.16.2.3

Перепишем это выражение.

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3})$

Этап 4.1.2.17

Чтобы записать $(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{36}{36}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot \frac{36}{36})$

Этап 4.1.2.18

Объединим $(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3}$ и $\frac{36}{36}$ .

$0 - (- \frac{x^{2}}{36} + \frac{(1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot 36}{36})$

Этап 4.1.2.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{x}{3} \cdot 36}{36}$

Этап 4.1.2.20

Объединим $36$ и $\frac{x}{3}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{36 x}{3}}{36}$

Этап 4.1.2.21

Сократим общий множитель $36$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.21.1

Вынесем множитель $3$ из $36 x$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3}}{36}$

Этап 4.1.2.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.21.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3 (1)}}{36}$

Этап 4.1.2.21.2.2

Сократим общий множитель.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{3 (12 x)}{3 \cdot 1}}{36}$

Этап 4.1.2.21.2.3

Перепишем это выражение.

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) \frac{12 x}{1}}{36}$

Этап 4.1.2.21.2.4

Разделим $12 x$ на $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + (1 - \frac{x}{6}) (12 x)}{36}$

Этап 4.1.2.22

Перенесем $12$ влево от $1 - \frac{x}{6}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 (1 - \frac{x}{6}) x}{36}$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 - \frac{- x^{2} + (12 \cdot 1 + 12 (- \frac{x}{6})) x}{36}$

Этап 4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 \cdot 1 x + 12 (- \frac{x}{6}) x}{36}$

Этап 4.1.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Умножим $12$ на $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + 12 (- \frac{x}{6}) x}{36}$

Этап 4.1.3.3.2

Умножим $- 1$ на $12$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 12 \frac{x}{6} x}{36}$

Этап 4.1.3.3.3

Объединим $- 12$ и $\frac{x}{6}$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{- 12 x}{6} x}{36}$

Этап 4.1.3.3.4

Сократим общий множитель $- 12$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.4.1

Вынесем множитель $6$ из $- 12 x$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6} x}{36}$

Этап 4.1.3.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.4.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6 (1)} x}{36}$

Этап 4.1.3.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{6 (- 2 x)}{6 \cdot 1} x}{36}$

Этап 4.1.3.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x + \frac{- 2 x}{1} x}{36}$

Этап 4.1.3.3.4.2.4

Разделим $- 2 x$ на $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x \cdot x}{36}$

Этап 4.1.3.3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x)}{36}$

Этап 4.1.3.3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 (x^{1} x^{1})}{36}$

Этап 4.1.3.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x^{1 + 1}}{36}$

Этап 4.1.3.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$0 - \frac{- x^{2} + 12 x - 2 x^{2}}{36}$

Этап 4.1.3.3.9

Вычтем $2 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$0 - \frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$

Этап 4.1.3.3.10

Вычтем $\frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$ из $0$ .

$- \frac{- 3 x^{2} + 12 x}{36}$

Этап 4.1.3.4

Вынесем множитель $3 x$ из $- 3 x^{2} + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1

Вынесем множитель $3 x$ из $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{3 x (- x) + 12 x}{36}$

Этап 4.1.3.4.2

Вынесем множитель $3 x$ из $12 x$ .

$- \frac{3 x (- x) + 3 x (4)}{36}$

Этап 4.1.3.4.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (- x) + 3 x (4)$ .

$- \frac{3 x (- x + 4)}{36}$

Этап 4.1.3.5

Сократим общий множитель $3$ и $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x (- x + 4)$ .

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{36}$

Этап 4.1.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $36$ .

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{3 \cdot 12}$

Этап 4.1.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 (x (- x + 4))}{3 \cdot 12}$

Этап 4.1.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{x (- x + 4)}{12}$

Этап 4.1.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- \frac{x (- (x) + 4)}{12}$

Этап 4.1.3.7

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$- \frac{x (- (x) - 1 (- 4))}{12}$

Этап 4.1.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

$- \frac{x (- (x - 4))}{12}$

Этап 4.1.3.9

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

$- \frac{x (- 1 (x - 4))}{12}$

Этап 4.1.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{x (x - 4)}{12}$

Этап 4.1.3.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{x (x - 4)}{12}$

Этап 4.1.3.12

Умножим $\frac{x (x - 4)}{12}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 4)}{12}$

Этап 4.2

Первая производная $t (x)$ по $x$ равна $\frac{x (x - 4)}{12}$ .

$\frac{x (x - 4)}{12}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x (x - 4)}{12} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x (x - 4)}{12} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$x (x - 4) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 5.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.3.3

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 5.3.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 4$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{0}{6} - \frac{1}{3}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим $0$ на $6$ .

$0 - \frac{1}{3}$

Этап 9.2

Вычтем $\frac{1}{3}$ из $0$ .

$- \frac{1}{3}$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$t (0) = 101 - \frac{1}{6} \cdot ({(0)}^{2} (1 - \frac{0}{6}))$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$t (0) = 101 - \frac{1}{6} \cdot (0 (1 - \frac{0}{6}))$

Этап 11.2.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{6}$ в числитель.

$t (0) = 101 + \frac{- 1}{6} \cdot (0 (1 - \frac{0}{6}))$

Этап 11.2.1.2.2

Вынесем множитель $6$ из $0 (1 - \frac{0}{6})$ .

$t (0) = 101 + \frac{- 1}{6} \cdot (6 (0 (1 - \frac{0}{6})))$

Этап 11.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$t (0) = 101 + \frac{- 1}{6} \cdot (6 (0 (1 - \frac{0}{6})))$

Этап 11.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$t (0) = 101 - 1 \cdot (0 (1 - \frac{0}{6}))$

Этап 11.2.1.3

Умножим $0$ на $1 - \frac{0}{6}$ .

$t (0) = 101 - 1 \cdot 0$

Этап 11.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$t (0) = 101 + 0$

Этап 11.2.2

Добавим $101$ и $0$ .

$t (0) = 101$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $101$ .

$y = 101$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4}{6} - \frac{1}{3}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (2)}{6} - \frac{1}{3}$

Этап 13.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3}$

Этап 13.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3}$

Этап 13.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 13.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 - 1}{3}$

Этап 13.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 14

$x = 4$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 4$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$t (4) = 101 - \frac{1}{6} \cdot ({(4)}^{2} (1 - \frac{4}{6}))$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$t (4) = 101 - \frac{1}{6} \cdot (16 (1 - \frac{4}{6}))$

Этап 15.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{6}$ в числитель.

$t (4) = 101 + \frac{- 1}{6} \cdot (16 (1 - \frac{4}{6}))$

Этап 15.2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$t (4) = 101 + \frac{- 1}{2 (3)} \cdot (16 (1 - \frac{4}{6}))$

Этап 15.2.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $16 (1 - \frac{4}{6})$ .

$t (4) = 101 + \frac{- 1}{2 (3)} \cdot (2 (8 (1 - \frac{4}{6})))$

Этап 15.2.1.2.4

Сократим общий множитель.

$t (4) = 101 + \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 (8 (1 - \frac{4}{6})))$

Этап 15.2.1.2.5

Перепишем это выражение.

$t (4) = 101 + \frac{- 1}{3} \cdot (8 (1 - \frac{4}{6}))$

Этап 15.2.1.3

Объединим $8$ и $\frac{- 1}{3}$ .

$t (4) = 101 + \frac{8 \cdot - 1}{3} \cdot (1 - \frac{4}{6})$

Этап 15.2.1.4

Умножим $8$ на $- 1$ .

$t (4) = 101 + \frac{- 8}{3} \cdot (1 - \frac{4}{6})$

Этап 15.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (1 - \frac{4}{6})$

Этап 15.2.1.6

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (1 - \frac{2 (2)}{6})$

Этап 15.2.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (1 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3})$

Этап 15.2.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (1 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3})$

Этап 15.2.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (1 - \frac{2}{3})$

Этап 15.2.1.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot (\frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 15.2.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot \frac{3 - 2}{3}$

Этап 15.2.1.9

Вычтем $2$ из $3$ .

$t (4) = 101 - \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 15.2.1.10

Умножим $- \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.10.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{8}{3}$ .

$t (4) = 101 - \frac{8}{3 \cdot 3}$

Этап 15.2.1.10.2

Умножим $3$ на $3$ .

$t (4) = 101 - \frac{8}{9}$

Этап 15.2.2

Чтобы записать $101$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$t (4) = 101 \cdot \frac{9}{9} - \frac{8}{9}$

Этап 15.2.3

Объединим $101$ и $\frac{9}{9}$ .

$t (4) = \frac{101 \cdot 9}{9} - \frac{8}{9}$

Этап 15.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$t (4) = \frac{101 \cdot 9 - 8}{9}$

Этап 15.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Умножим $101$ на $9$ .

$t (4) = \frac{909 - 8}{9}$

Этап 15.2.5.2

Вычтем $8$ из $909$ .

$t (4) = \frac{901}{9}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $\frac{901}{9}$ .

$y = \frac{901}{9}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $t (x) = 101 - \frac{1}{6} \cdot (x^{2} (1 - \frac{x}{6}))$ .

$(0, 101)$ — локальный максимум

$(4, \frac{901}{9})$ — локальный минимум

Этап 17