Математический анализ Примеры

$r (x) = \frac{x^{3} + 1 x^{2}}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{3} + x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

$\frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2}] - (x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x^{3} + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.3.4

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.3.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - 2 (x^{3} + x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) + (- 2 x^{3} - 2 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1

Развернем $(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + 2 x) - 4 (3 x^{2} + 2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2} + 2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{2} x - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 (x \cdot x^{2}) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 (x^{1} x^{2}) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{1 + 2} - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2.5

Умножим $3$ на $- 4$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.2.6

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.3

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 (x \cdot x^{3}) - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 (x^{1} x^{3}) - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{1 + 3} - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.3.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.2

Объединим противоположные члены в $3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.2.2

Добавим $3 x^{4} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4}$ и $0$ .

$\frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.3.3

Вычтем $2 x^{4}$ из $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} - 12 x^{2} - 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} - 12 x^{2} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot x^{3} - 12 x^{2} - 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- 12 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + x (- 12 x) - 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.4.3

Вынесем множитель $x$ из $- 8 x$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + x (- 12 x) + x \cdot - 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.4.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{3} + x (- 12 x)$ .

$\frac{x (x^{3} - 12 x) + x \cdot - 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.4.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{3} - 12 x) + x \cdot - 8$ .

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 1.4.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Этап 1.4.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Этап 1.4.5.3

Применим правило умножения к $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x^{3} - 12 x - 8)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{3} - 12 x - 8$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x - 8) + (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 12 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.5

Умножим $- 12$ на $1$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12 + 0) + (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.7

Добавим $3 x^{2} - 12$ и $0$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + (x^{3} - 12 x - 8) \cdot 1) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3.9

Умножим $x^{3} - 12 x - 8$ на $1$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.4

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) ({(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x - 2$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) ({(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) ({(x + 2)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 2$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) ({(x + 2)}^{2} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перенесем $2$ влево от ${(x + 2)}^{2}$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 \cdot ({(x + 2)}^{2} (x - 2)) \frac{d}{d x} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.6.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.6.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + 0) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.6.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) \cdot 1 + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.6.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 2$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 2$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 (x + 2) \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Перенесем $2$ влево от ${(x - 2)}^{2}$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 \cdot ({(x - 2)}^{2} (x + 2)) \frac{d}{d x} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.8.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.8.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + 0))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.8.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) \cdot 1)}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.8.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим правило умножения к ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2} - 12) + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) - x (x^{3} - 12 x - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r'' (x) = \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$r'' (x) = \frac{(x + 2) (x + 2) {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.2

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r'' (x) = \frac{(x (x + 2) + 2 (x + 2)) {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$r'' (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r'' (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) {(x - 2)}^{2} (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.4

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) ((x - 2) (x - 2)) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.5

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.6.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.6.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.6.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.7

Развернем $(x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} - 4 x + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$r'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.8

Объединим противоположные члены в $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (- 4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.8.1

Изменим порядок множителей в членах $x^{2} (- 4 x)$ и $4 x \cdot x^{2}$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} - 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 4 x^{2} x + 4 x (- 4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.8.2

Добавим $- 4 x^{2} x$ и $4 x^{2} x$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 0 + 4 x (- 4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.8.3

Добавим $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4$ и $0$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x (- 4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.8.4

Изменим порядок множителей в членах $4 x \cdot 4$ и $4 (- 4 x)$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x (- 4 x) + 4 \cdot (4 x) + 4 x^{2} - 4 \cdot (4 x) + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.8.5

Вычтем $4 \cdot 4 x$ из $4 \cdot 4 x$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x (- 4 x) + 4 x^{2} + 0 + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.8.6

Добавим $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x (- 4 x) + 4 x^{2}$ и $0$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x (- 4 x) + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.9.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.9.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r'' (x) = \frac{(x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x (- 4 x) + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.9.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{4} + x^{2} \cdot 4 + 4 x (- 4 x) + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.9.2

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{4} + 4 \cdot x^{2} + 4 x (- 4 x) + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.9.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r'' (x) = \frac{(x^{4} + 4 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x \cdot x) + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.9.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.9.4.1

Перенесем $x$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{4} + 4 x^{2} + 4 \cdot (- 4 (x \cdot x)) + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.9.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{4} + 4 x^{2} + 4 \cdot (- 4 x^{2}) + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.9.5

Умножим $4$ на $- 4$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{4} + 4 x^{2} - 16 x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.9.6

Умножим $4$ на $4$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{4} + 4 x^{2} - 16 x^{2} + 4 x^{2} + 16) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.10

Вычтем $16 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 12 x^{2} + 4 x^{2} + 16) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.11

Добавим $- 12 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (x (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.12.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (3 x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.12.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.12.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (3 (x^{2} x) + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.12.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.12.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.9.4.12.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (3 x^{2 + 1} + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.12.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (3 x^{3} + x \cdot - 12 + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.12.3

Перенесем $- 12$ влево от $x$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (3 x^{3} - 12 x + x^{3} - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.13

Добавим $3 x^{3}$ и $x^{3}$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (4 x^{3} - 12 x - 12 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.14

Вычтем $12 x$ из $- 12 x$ .

$r'' (x) = \frac{(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (4 x^{3} - 24 x - 8) + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.15

Развернем $(x^{4} - 8 x^{2} + 16) (4 x^{3} - 24 x - 8)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$r'' (x) = \frac{x^{4} (4 x^{3}) + x^{4} (- 24 x) + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.16.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r'' (x) = \frac{4 x^{4} x^{3} + x^{4} (- 24 x) + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.16.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$r'' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{4}) + x^{4} (- 24 x) + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r'' (x) = \frac{4 x^{3 + 4} + x^{4} (- 24 x) + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.2.3

Добавим $3$ и $4$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} + x^{4} (- 24 x) + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{4} x + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.4

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.16.4.1

Перенесем $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 (x \cdot x^{4}) + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.4.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.16.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.9.4.16.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{1 + 4} + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.4.3

Добавим $1$ и $4$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} + x^{4} \cdot - 8 - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.5

Перенесем $- 8$ влево от $x^{4}$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 \cdot x^{4} - 8 x^{2} (4 x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 8 \cdot (4 x^{2} x^{3}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.7

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.16.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 8 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 8 \cdot (4 x^{3 + 2}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.7.3

Добавим $3$ и $2$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 8 \cdot (4 x^{5}) - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.8

Умножим $- 8$ на $4$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} - 8 x^{2} (- 24 x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} - 8 \cdot (- 24 x^{2} x) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.10

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.16.10.1

Перенесем $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} - 8 \cdot (- 24 (x \cdot x^{2})) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.10.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.16.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.9.4.16.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} - 8 \cdot (- 24 x^{1 + 2}) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.10.3

Добавим $1$ и $2$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} - 8 \cdot (- 24 x^{3}) - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.11

Умножим $- 8$ на $- 24$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} + 192 x^{3} - 8 x^{2} \cdot - 8 + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.12

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} + 192 x^{3} + 64 x^{2} + 16 (4 x^{3}) + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.13

Умножим $4$ на $16$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} + 192 x^{3} + 64 x^{2} + 64 x^{3} + 16 (- 24 x) + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.14

Умножим $- 24$ на $16$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} + 192 x^{3} + 64 x^{2} + 64 x^{3} - 384 x + 16 \cdot - 8 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.16.15

Умножим $16$ на $- 8$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 24 x^{5} - 8 x^{4} - 32 x^{5} + 192 x^{3} + 64 x^{2} + 64 x^{3} - 384 x - 128 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.17

Вычтем $32 x^{5}$ из $- 24 x^{5}$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 192 x^{3} + 64 x^{2} + 64 x^{3} - 384 x - 128 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.18

Добавим $192 x^{3}$ и $64 x^{3}$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x \cdot x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.19

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.19.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.19.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- (x^{3} x) - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.19.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.19.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.9.4.19.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{3 + 1} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.19.1.3

Добавим $3$ и $1$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} - x (- 12 x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.19.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} - 1 \cdot (- 12 x \cdot x) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.19.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.19.3.1

Перенесем $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} - 1 \cdot (- 12 (x \cdot x)) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.19.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} - 1 \cdot (- 12 x^{2}) - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.19.4

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} - x \cdot - 8) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.19.5

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.20.1

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 ((x + 2) (x + 2)) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.2

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.20.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.20.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.20.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 (x^{2} + 4 x + 4) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.4

Применим свойство дистрибутивности.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) ((2 x^{2} + 2 (4 x) + 2 \cdot 4) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.20.5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) ((2 x^{2} + 8 x + 2 \cdot 4) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) ((2 x^{2} + 8 x + 8) (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.6

Развернем $(2 x^{2} + 8 x + 8) (x - 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.20.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.20.7.1.1

Перенесем $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.7.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.20.7.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.9.4.20.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.7.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 2 + 8 x \cdot x + 8 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.7.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x \cdot x + 8 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.7.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.20.7.3.1

Перенесем $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.7.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x^{2} + 8 x \cdot - 2 + 8 x + 8 \cdot - 2 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.7.4

Умножим $- 2$ на $8$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x^{2} - 16 x + 8 x + 8 \cdot - 2 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.7.5

Умножим $8$ на $- 2$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x^{2} - 16 x + 8 x - 16 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.8

Добавим $- 4 x^{2}$ и $8 x^{2}$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 16 x + 8 x - 16 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.9

Добавим $- 16 x$ и $8 x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.10

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 ((x - 2) (x - 2)) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.11

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.20.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.20.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.20.12.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.12.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.12.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.12.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 (x^{2} - 4 x + 4) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.13

Применим свойство дистрибутивности.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + (2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.20.14.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + (2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.14.2

Умножим $2$ на $4$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + (2 x^{2} - 8 x + 8) (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.15

Развернем $(2 x^{2} - 8 x + 8) (x + 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 2 - 8 x \cdot x - 8 x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.20.16.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.20.16.1.1

Перенесем $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 2 - 8 x \cdot x - 8 x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.16.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.20.16.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.9.4.20.16.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 2 - 8 x \cdot x - 8 x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.16.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 2 - 8 x \cdot x - 8 x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.16.2

Умножим $2$ на $2$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x \cdot x - 8 x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.16.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.20.16.3.1

Перенесем $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 (x \cdot x) - 8 x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.16.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x^{2} - 8 x \cdot 2 + 8 x + 8 \cdot 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.16.4

Умножим $2$ на $- 8$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x^{2} - 16 x + 8 x + 8 \cdot 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.16.5

Умножим $8$ на $2$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x^{2} - 16 x + 8 x + 16)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.17

Вычтем $8 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x + 8 x + 16)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.20.18

Добавим $- 16 x$ и $8 x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x + 16)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.21

Объединим противоположные члены в $2 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x - 16 + 2 x^{3} - 4 x^{2} - 8 x + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.21.1

Вычтем $4 x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 8 x - 16 + 2 x^{3} + 0 - 8 x + 16)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.21.2

Добавим $2 x^{3} - 8 x - 16 + 2 x^{3}$ и $0$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 8 x - 16 + 2 x^{3} - 8 x + 16)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.21.3

Добавим $- 16$ и $16$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 8 x + 2 x^{3} - 8 x + 0)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.21.4

Добавим $2 x^{3} - 8 x + 2 x^{3} - 8 x$ и $0$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (2 x^{3} - 8 x + 2 x^{3} - 8 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.22

Добавим $2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (4 x^{3} - 8 x - 8 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.23

Вычтем $8 x$ из $- 8 x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + (- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (4 x^{3} - 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.24

Развернем $(- x^{4} + 12 x^{2} + 8 x) (4 x^{3} - 16 x)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - x^{4} (4 x^{3}) - x^{4} (- 16 x) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.25.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 1 \cdot (4 x^{4} x^{3}) - x^{4} (- 16 x) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.25.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 1 \cdot (4 (x^{3} x^{4})) - x^{4} (- 16 x) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 1 \cdot (4 x^{3 + 4}) - x^{4} (- 16 x) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.2.3

Добавим $3$ и $4$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 1 \cdot (4 x^{7}) - x^{4} (- 16 x) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} - x^{4} (- 16 x) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 16 x^{4} x) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.5

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.25.5.1

Перенесем $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 16 (x \cdot x^{4})) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.5.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.25.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.9.4.25.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 16 x^{1 + 4}) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.5.3

Добавим $1$ и $4$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} - 1 \cdot (- 16 x^{5}) + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.6

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 12 x^{2} (4 x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 12 \cdot (4 x^{2} x^{3}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.8

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.25.8.1

Перенесем $x^{3}$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 12 \cdot (4 (x^{3} x^{2})) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 12 \cdot (4 x^{3 + 2}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.8.3

Добавим $3$ и $2$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 12 \cdot (4 x^{5}) + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.9

Умножим $12$ на $4$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} + 12 x^{2} (- 16 x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} + 12 \cdot (- 16 x^{2} x) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.11

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.25.11.1

Перенесем $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} + 12 \cdot (- 16 (x \cdot x^{2})) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.11.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.25.11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.9.4.25.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} + 12 \cdot (- 16 x^{1 + 2}) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.11.3

Добавим $1$ и $2$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} + 12 \cdot (- 16 x^{3}) + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.12

Умножим $12$ на $- 16$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 8 x (4 x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 8 \cdot (4 x \cdot x^{3}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.14

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.25.14.1

Перенесем $x^{3}$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 8 \cdot (4 (x^{3} x)) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.14.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.25.14.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.9.4.25.14.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 8 \cdot (4 x^{3 + 1}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.14.3

Добавим $3$ и $1$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 8 \cdot (4 x^{4}) + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.15

Умножим $8$ на $4$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 32 x^{4} + 8 x (- 16 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.16

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 32 x^{4} + 8 \cdot (- 16 x \cdot x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.17

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.25.17.1

Перенесем $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 32 x^{4} + 8 \cdot (- 16 (x \cdot x))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.17.2

Умножим $x$ на $x$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 32 x^{4} + 8 \cdot (- 16 x^{2})}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.25.18

Умножим $8$ на $- 16$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 16 x^{5} + 48 x^{5} - 192 x^{3} + 32 x^{4} - 128 x^{2}}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.26

Добавим $16 x^{5}$ и $48 x^{5}$ .

$r'' (x) = \frac{4 x^{7} - 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 4 x^{7} + 64 x^{5} - 192 x^{3} + 32 x^{4} - 128 x^{2}}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.27

Вычтем $4 x^{7}$ из $4 x^{7}$ .

$r'' (x) = \frac{- 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + 0 + 64 x^{5} - 192 x^{3} + 32 x^{4} - 128 x^{2}}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.28

Добавим $- 56 x^{5}$ и $0$ .

$r'' (x) = \frac{- 56 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 + 64 x^{5} - 192 x^{3} + 32 x^{4} - 128 x^{2}}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.29

Добавим $- 56 x^{5}$ и $64 x^{5}$ .

$r'' (x) = \frac{8 x^{5} - 8 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 192 x^{3} + 32 x^{4} - 128 x^{2}}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.30

Добавим $- 8 x^{4}$ и $32 x^{4}$ .

$r'' (x) = \frac{8 x^{5} + 24 x^{4} + 256 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 192 x^{3} - 128 x^{2}}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.31

Вычтем $192 x^{3}$ из $256 x^{3}$ .

$r'' (x) = \frac{8 x^{5} + 24 x^{4} + 64 x^{3} + 64 x^{2} - 384 x - 128 - 128 x^{2}}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.32

Вычтем $128 x^{2}$ из $64 x^{2}$ .

$r'' (x) = \frac{8 x^{5} + 24 x^{4} + 64 x^{3} - 64 x^{2} - 384 x - 128}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.33

Вынесем множитель $8$ из $8 x^{5} + 24 x^{4} + 64 x^{3} - 64 x^{2} - 384 x - 128$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.33.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x^{5}$ .

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5}) + 24 x^{4} + 64 x^{3} - 64 x^{2} - 384 x - 128}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.33.2

Вынесем множитель $8$ из $24 x^{4}$ .

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5}) + 8 (3 x^{4}) + 64 x^{3} - 64 x^{2} - 384 x - 128}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.33.3

Вынесем множитель $8$ из $64 x^{3}$ .

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5}) + 8 (3 x^{4}) + 8 (8 x^{3}) - 64 x^{2} - 384 x - 128}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.33.4

Вынесем множитель $8$ из $- 64 x^{2}$ .

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5}) + 8 (3 x^{4}) + 8 (8 x^{3}) + 8 (- 8 x^{2}) - 384 x - 128}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.33.5

Вынесем множитель $8$ из $- 384 x$ .

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5}) + 8 (3 x^{4}) + 8 (8 x^{3}) + 8 (- 8 x^{2}) + 8 (- 48 x) - 128}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.33.6

Вынесем множитель $8$ из $- 128$ .

$r'' (x) = \frac{8 x^{5} + 8 (3 x^{4}) + 8 (8 x^{3}) + 8 (- 8 x^{2}) + 8 (- 48 x) + 8 \cdot - 16}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.33.7

Вынесем множитель $8$ из $8 x^{5} + 8 (3 x^{4})$ .

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4}) + 8 (8 x^{3}) + 8 (- 8 x^{2}) + 8 (- 48 x) + 8 \cdot - 16}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.33.8

Вынесем множитель $8$ из $8 (x^{5} + 3 x^{4}) + 8 (8 x^{3})$ .

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3}) + 8 (- 8 x^{2}) + 8 (- 48 x) + 8 \cdot - 16}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.33.9

Вынесем множитель $8$ из $8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3}) + 8 (- 8 x^{2})$ .

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2}) + 8 (- 48 x) + 8 \cdot - 16}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.33.10

Вынесем множитель $8$ из $8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2}) + 8 (- 48 x)$ .

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x) + 8 \cdot - 16}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.4.33.11

Вынесем множитель $8$ из $8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x) + 8 \cdot - 16$ .

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x - 16)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.5.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x - 16)}{{(x + 2)}^{2 \cdot 2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.5.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x - 16)}{{(x + 2)}^{4} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.9.5.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x - 16)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.9.5.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$r'' (x) = \frac{8 (x^{5} + 3 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x - 16)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + x^{2}}{x^{2} - 4}]$

Этап 4.1.2

$\frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2}] - (x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

По правилу суммы производная $x^{3} + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.3.4

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.3.6

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.7.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - (x^{3} + x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.3.7.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - 2 (x^{3} + x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) + (- 2 x^{3} - 2 x^{2}) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1.1

Развернем $(x^{2} - 4) (3 x^{2} + 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + 2 x) - 4 (3 x^{2} + 2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2} + 2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1.2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.2.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{2} (2 x) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{2} x - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.2.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1.2.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 (x \cdot x^{2}) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.2.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1.2.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 (x^{1} x^{2}) - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{1 + 2} - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.2.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 4 (3 x^{2}) - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.2.5

Умножим $3$ на $- 4$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 4 (2 x) - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.2.6

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{3} x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.3

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 (x \cdot x^{3}) - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 (x^{1} x^{3}) - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{1 + 3} - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.3.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.2

Объединим противоположные члены в $3 x^{4} + 2 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} - 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.2.1

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4} + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.2.2

Добавим $3 x^{4} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4}$ и $0$ .

$\frac{3 x^{4} - 12 x^{2} - 8 x - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.3.3

Вычтем $2 x^{4}$ из $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} - 12 x^{2} - 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} - 12 x^{2} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot x^{3} - 12 x^{2} - 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- 12 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + x (- 12 x) - 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.4.3

Вынесем множитель $x$ из $- 8 x$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + x (- 12 x) + x \cdot - 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.4.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{3} + x (- 12 x)$ .

$\frac{x (x^{3} - 12 x) + x \cdot - 8}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.4.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{3} - 12 x) + x \cdot - 8$ .

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 4.1.4.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.4.5.2

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Этап 4.1.4.5.3

Применим правило умножения к $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $r (x)$ по $x$ равна $\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Этап 5.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 3.06417777, - 0.69459271, 0, 3.75877048$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{x (x^{3} - 12 x - 8)}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 6.2.2

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 6.2.2.2

Решим ${(x + 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 6.2.2.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6.2.3

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 6.2.3.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.2.3.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 2, 2$

Этап 6.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 3.06417777, - 0.69459271, 0, 3.75877048$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 3.06417777$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{8 ({(- 3.06417777)}^{5} + 3 {(- 3.06417777)}^{4} + 8 {(- 3.06417777)}^{3} - 8 {(- 3.06417777)}^{2} - 48 \cdot - 3.06417777 - 16)}{{((- 3.06417777) + 2)}^{4} {((- 3.06417777) - 2)}^{4}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $- 3.06417777$ в степень $5$ .

$\frac{8 (- 270.12811583 + 3 {(- 3.06417777)}^{4} + 8 {(- 3.06417777)}^{3} - 8 {(- 3.06417777)}^{2} - 48 \cdot - 3.06417777 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

Этап 9.1.2

Возведем $- 3.06417777$ в степень $4$ .

$\frac{8 (- 270.12811583 + 3 \cdot 88.15680286 + 8 {(- 3.06417777)}^{3} - 8 {(- 3.06417777)}^{2} - 48 \cdot - 3.06417777 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

Этап 9.1.3

Умножим $3$ на $88.15680286$ .

$\frac{8 (- 270.12811583 + 264.4704086 + 8 {(- 3.06417777)}^{3} - 8 {(- 3.06417777)}^{2} - 48 \cdot - 3.06417777 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

Этап 9.1.4

Возведем $- 3.06417777$ в степень $3$ .

$\frac{8 (- 270.12811583 + 264.4704086 + 8 \cdot - 28.77013326 - 8 {(- 3.06417777)}^{2} - 48 \cdot - 3.06417777 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

Этап 9.1.5

Умножим $8$ на $- 28.77013326$ .

$\frac{8 (- 270.12811583 + 264.4704086 - 230.16106614 - 8 {(- 3.06417777)}^{2} - 48 \cdot - 3.06417777 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

Этап 9.1.6

Возведем $- 3.06417777$ в степень $2$ .

$\frac{8 (- 270.12811583 + 264.4704086 - 230.16106614 - 8 \cdot 9.38918542 - 48 \cdot - 3.06417777 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

Этап 9.1.7

Умножим $- 8$ на $9.38918542$ .

$\frac{8 (- 270.12811583 + 264.4704086 - 230.16106614 - 75.11348336 - 48 \cdot - 3.06417777 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

Этап 9.1.8

Умножим $- 48$ на $- 3.06417777$ .

$\frac{8 (- 270.12811583 + 264.4704086 - 230.16106614 - 75.11348336 + 147.08053307 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

Этап 9.1.9

Добавим $- 270.12811583$ и $264.4704086$ .

$\frac{8 (- 5.65770723 - 230.16106614 - 75.11348336 + 147.08053307 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

Этап 9.1.10

Вычтем $230.16106614$ из $- 5.65770723$ .

$\frac{8 (- 235.81877337 - 75.11348336 + 147.08053307 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

Этап 9.1.11

Вычтем $75.11348336$ из $- 235.81877337$ .

$\frac{8 (- 310.93225673 + 147.08053307 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

Этап 9.1.12

Добавим $- 310.93225673$ и $147.08053307$ .

$\frac{8 (- 163.85172366 - 16)}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

Этап 9.1.13

Вычтем $16$ из $- 163.85172366$ .

$\frac{8 \cdot - 179.85172366}{{(- 3.06417777 + 2)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $- 3.06417777$ и $2$ .

$\frac{8 \cdot - 179.85172366}{{(- 1.06417777)}^{4} {(- 3.06417777 - 2)}^{4}}$

Этап 9.2.2

Вычтем $2$ из $- 3.06417777$ .

$\frac{8 \cdot - 179.85172366}{{(- 1.06417777)}^{4} {(- 5.06417777)}^{4}}$

Этап 9.2.3

Возведем $- 1.06417777$ в степень $4$ .

$\frac{8 \cdot - 179.85172366}{1.28249811 {(- 5.06417777)}^{4}}$

Этап 9.2.4

Возведем $- 5.06417777$ в степень $4$ .

$\frac{8 \cdot - 179.85172366}{1.28249811 \cdot 657.71200782}$

Этап 9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $8$ на $- 179.85172366$ .

$\frac{- 1438.8137893}{1.28249811 \cdot 657.71200782}$

Этап 9.3.2

Умножим $1.28249811$ на $657.71200782$ .

$\frac{- 1438.8137893}{843.51440761}$

Этап 9.3.3

Разделим $- 1438.8137893$ на $843.51440761$ .

$- 1.70573706$

Этап 10

$x = - 3.06417777$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 3.06417777$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 3.06417777$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.06417777$ .

$r (- 3.06417777) = \frac{{(- 3.06417777)}^{3} + 1 {(- 3.06417777)}^{2}}{{(- 3.06417777)}^{2} - 4}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $- 3.06417777$ в степень $3$ .

$r (- 3.06417777) = \frac{- 28.77013326 + 1 {(- 3.06417777)}^{2}}{{(- 3.06417777)}^{2} - 4}$

Этап 11.2.1.2

Умножим ${(- 3.06417777)}^{2}$ на $1$ .

$r (- 3.06417777) = \frac{- 28.77013326 + {(- 3.06417777)}^{2}}{{(- 3.06417777)}^{2} - 4}$

Этап 11.2.1.3

Возведем $- 3.06417777$ в степень $2$ .

$r (- 3.06417777) = \frac{- 28.77013326 + 9.38918542}{{(- 3.06417777)}^{2} - 4}$

Этап 11.2.1.4

Добавим $- 28.77013326$ и $9.38918542$ .

$r (- 3.06417777) = \frac{- 19.38094784}{{(- 3.06417777)}^{2} - 4}$

Этап 11.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Возведем $- 3.06417777$ в степень $2$ .

$r (- 3.06417777) = \frac{- 19.38094784}{9.38918542 - 4}$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $4$ из $9.38918542$ .

$r (- 3.06417777) = \frac{- 19.38094784}{5.38918542}$

Этап 11.2.3

Разделим $- 19.38094784$ на $5.38918542$ .

$r (- 3.06417777) = - 3.59626665$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $- 3.59626665$ .

$y = - 3.59626665$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 0.69459271$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{8 ({(- 0.69459271)}^{5} + 3 {(- 0.69459271)}^{4} + 8 {(- 0.69459271)}^{3} - 8 {(- 0.69459271)}^{2} - 48 \cdot - 0.69459271 - 16)}{{((- 0.69459271) + 2)}^{4} {((- 0.69459271) - 2)}^{4}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $- 0.69459271$ в степень $5$ .

$\frac{8 (- 0.16167806 + 3 {(- 0.69459271)}^{4} + 8 {(- 0.69459271)}^{3} - 8 {(- 0.69459271)}^{2} - 48 \cdot - 0.69459271 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

Этап 13.1.2

Возведем $- 0.69459271$ в степень $4$ .

$\frac{8 (- 0.16167806 + 3 \cdot 0.23276672 + 8 {(- 0.69459271)}^{3} - 8 {(- 0.69459271)}^{2} - 48 \cdot - 0.69459271 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

Этап 13.1.3

Умножим $3$ на $0.23276672$ .

$\frac{8 (- 0.16167806 + 0.69830016 + 8 {(- 0.69459271)}^{3} - 8 {(- 0.69459271)}^{2} - 48 \cdot - 0.69459271 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

Этап 13.1.4

Возведем $- 0.69459271$ в степень $3$ .

$\frac{8 (- 0.16167806 + 0.69830016 + 8 \cdot - 0.33511252 - 8 {(- 0.69459271)}^{2} - 48 \cdot - 0.69459271 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

Этап 13.1.5

Умножим $8$ на $- 0.33511252$ .

$\frac{8 (- 0.16167806 + 0.69830016 - 2.68090023 - 8 {(- 0.69459271)}^{2} - 48 \cdot - 0.69459271 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

Этап 13.1.6

Возведем $- 0.69459271$ в степень $2$ .

$\frac{8 (- 0.16167806 + 0.69830016 - 2.68090023 - 8 \cdot 0.48245903 - 48 \cdot - 0.69459271 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

Этап 13.1.7

Умножим $- 8$ на $0.48245903$ .

$\frac{8 (- 0.16167806 + 0.69830016 - 2.68090023 - 3.85967227 - 48 \cdot - 0.69459271 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

Этап 13.1.8

Умножим $- 48$ на $- 0.69459271$ .

$\frac{8 (- 0.16167806 + 0.69830016 - 2.68090023 - 3.85967227 + 33.34045014 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

Этап 13.1.9

Добавим $- 0.16167806$ и $0.69830016$ .

$\frac{8 (0.53662209 - 2.68090023 - 3.85967227 + 33.34045014 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

Этап 13.1.10

Вычтем $2.68090023$ из $0.53662209$ .

$\frac{8 (- 2.14427813 - 3.85967227 + 33.34045014 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

Этап 13.1.11

Вычтем $3.85967227$ из $- 2.14427813$ .

$\frac{8 (- 6.00395041 + 33.34045014 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

Этап 13.1.12

Добавим $- 6.00395041$ и $33.34045014$ .

$\frac{8 (27.33649972 - 16)}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

Этап 13.1.13

Вычтем $16$ из $27.33649972$ .

$\frac{8 \cdot 11.33649972}{{(- 0.69459271 + 2)}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Добавим $- 0.69459271$ и $2$ .

$\frac{8 \cdot 11.33649972}{{1.30540728}^{4} {(- 0.69459271 - 2)}^{4}}$

Этап 13.2.2

Вычтем $2$ из $- 0.69459271$ .

$\frac{8 \cdot 11.33649972}{{1.30540728}^{4} {(- 2.69459271)}^{4}}$

Этап 13.2.3

Возведем $1.30540728$ в степень $4$ .

$\frac{8 \cdot 11.33649972}{2.90391655 {(- 2.69459271)}^{4}}$

Этап 13.2.4

Возведем $- 2.69459271$ в степень $4$ .

$\frac{8 \cdot 11.33649972}{2.90391655 \cdot 52.71965054}$

Этап 13.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $8$ на $11.33649972$ .

$\frac{90.69199782}{2.90391655 \cdot 52.71965054}$

Этап 13.3.2

Умножим $2.90391655$ на $52.71965054$ .

$\frac{90.69199782}{153.09346609}$

Этап 13.3.3

Разделим $90.69199782$ на $153.09346609$ .

$0.59239626$

Этап 14

$x = - 0.69459271$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 0.69459271$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 0.69459271$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.69459271$ .

$r (- 0.69459271) = \frac{{(- 0.69459271)}^{3} + 1 {(- 0.69459271)}^{2}}{{(- 0.69459271)}^{2} - 4}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 0.69459271$ в степень $3$ .

$r (- 0.69459271) = \frac{- 0.33511252 + 1 {(- 0.69459271)}^{2}}{{(- 0.69459271)}^{2} - 4}$

Этап 15.2.1.2

Умножим ${(- 0.69459271)}^{2}$ на $1$ .

$r (- 0.69459271) = \frac{- 0.33511252 + {(- 0.69459271)}^{2}}{{(- 0.69459271)}^{2} - 4}$

Этап 15.2.1.3

Возведем $- 0.69459271$ в степень $2$ .

$r (- 0.69459271) = \frac{- 0.33511252 + 0.48245903}{{(- 0.69459271)}^{2} - 4}$

Этап 15.2.1.4

Добавим $- 0.33511252$ и $0.48245903$ .

$r (- 0.69459271) = \frac{0.1473465}{{(- 0.69459271)}^{2} - 4}$

Этап 15.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Возведем $- 0.69459271$ в степень $2$ .

$r (- 0.69459271) = \frac{0.1473465}{0.48245903 - 4}$

Этап 15.2.2.2

Вычтем $4$ из $0.48245903$ .

$r (- 0.69459271) = \frac{0.1473465}{- 3.51754096}$

Этап 15.2.3

Разделим $0.1473465$ на $- 3.51754096$ .

$r (- 0.69459271) = - 0.04188906$

Этап 15.2.4

Окончательный ответ: $- 0.04188906$ .

$y = - 0.04188906$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{8 ({(0)}^{5} + 3 {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} - 8 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 - 16)}{{((0) + 2)}^{4} {((0) - 2)}^{4}}$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{8 (0 + 3 \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0^{2} - 48 \cdot 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{8 (0 + 3 \cdot 0 + 8 \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0^{2} - 48 \cdot 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.1.3

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{8 (0 + 0 + 8 \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0^{2} - 48 \cdot 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{8 (0 + 0 + 8 \cdot 0 - 8 \cdot 0^{2} - 48 \cdot 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.1.5

Умножим $8$ на $0$ .

$\frac{8 (0 + 0 + 0 - 8 \cdot 0^{2} - 48 \cdot 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.1.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{8 (0 + 0 + 0 - 8 \cdot 0 - 48 \cdot 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.1.7

Умножим $- 8$ на $0$ .

$\frac{8 (0 + 0 + 0 + 0 - 48 \cdot 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.1.8

Умножим $- 48$ на $0$ .

$\frac{8 (0 + 0 + 0 + 0 + 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.1.9

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{8 (0 + 0 + 0 + 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.1.10

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{8 (0 + 0 + 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.1.11

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{8 (0 + 0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.1.12

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{8 (0 - 16)}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.1.13

Вычтем $16$ из $0$ .

$\frac{8 \cdot - 16}{{(0 + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Перепишем $0$ в виде $- 1 (0)$ .

$\frac{8 \cdot - 16}{{(- 1 (0) + 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.2.2

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{8 \cdot - 16}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ .

$\frac{8 \cdot - 16}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.2.4

Применим правило умножения к $- 1 \cdot (0 - 2)$ .

$\frac{8 \cdot - 16}{{(- 1)}^{4} \cdot {(0 - 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.2.5

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$\frac{8 \cdot - 16}{1 \cdot {(0 - 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.2.6

Умножим ${(0 - 2)}^{4}$ на $1$ .

$\frac{8 \cdot - 16}{{(0 - 2)}^{4} {(0 - 2)}^{4}}$

Этап 17.2.7

Умножим ${(0 - 2)}^{4}$ на ${(0 - 2)}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.7.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{8 \cdot - 16}{{(0 - 2)}^{4 + 4}}$

Этап 17.2.7.2

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{8 \cdot - 16}{{(0 - 2)}^{8}}$

Этап 17.3

Умножим $8$ на $- 16$ .

$\frac{- 128}{{(0 - 2)}^{8}}$

Этап 17.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{- 128}{{(- 2)}^{8}}$

Этап 17.4.2

Возведем $- 2$ в степень $8$ .

$\frac{- 128}{256}$

Этап 17.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Сократим общий множитель $- 128$ и $256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1.1

Вынесем множитель $128$ из $- 128$ .

$\frac{128 (- 1)}{256}$

Этап 17.5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1.2.1

Вынесем множитель $128$ из $256$ .

$\frac{128 \cdot - 1}{128 \cdot 2}$

Этап 17.5.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{128 \cdot - 1}{128 \cdot 2}$

Этап 17.5.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{2}$

Этап 17.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 18

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$r (0) = \frac{{(0)}^{3} + 1 {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 4}$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$r (0) = \frac{0 + 1 \cdot 0^{2}}{0^{2} - 4}$

Этап 19.2.1.2

Умножим $0^{2}$ на $1$ .

$r (0) = \frac{0 + 0^{2}}{0^{2} - 4}$

Этап 19.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$r (0) = \frac{0 + 0}{0^{2} - 4}$

Этап 19.2.1.4

Добавим $0$ и $0$ .

$r (0) = \frac{0}{0^{2} - 4}$

Этап 19.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$r (0) = \frac{0}{0 - 4}$

Этап 19.2.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$r (0) = \frac{0}{- 4}$

Этап 19.2.3

Разделим $0$ на $- 4$ .

$r (0) = 0$

Этап 19.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 20

Найдем вторую производную в $x = 3.75877048$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{8 ({(3.75877048)}^{5} + 3 {(3.75877048)}^{4} + 8 {(3.75877048)}^{3} - 8 {(3.75877048)}^{2} - 48 \cdot 3.75877048 - 16)}{{((3.75877048) + 2)}^{4} {((3.75877048) - 2)}^{4}}$

Этап 21

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.1

Возведем $3.75877048$ в степень $5$ .

$\frac{8 (750.28979452 + 3 \cdot {3.75877048}^{4} + 8 \cdot {3.75877048}^{3} - 8 \cdot {3.75877048}^{2} - 48 \cdot 3.75877048 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

Этап 21.1.2

Возведем $3.75877048$ в степень $4$ .

$\frac{8 (750.28979452 + 3 \cdot 199.61043052 + 8 \cdot {3.75877048}^{3} - 8 \cdot {3.75877048}^{2} - 48 \cdot 3.75877048 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

Этап 21.1.3

Умножим $3$ на $199.61043052$ .

$\frac{8 (750.28979452 + 598.83129158 + 8 \cdot {3.75877048}^{3} - 8 \cdot {3.75877048}^{2} - 48 \cdot 3.75877048 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

Этап 21.1.4

Возведем $3.75877048$ в степень $3$ .

$\frac{8 (750.28979452 + 598.83129158 + 8 \cdot 53.10524582 - 8 \cdot {3.75877048}^{2} - 48 \cdot 3.75877048 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

Этап 21.1.5

Умножим $8$ на $53.10524582$ .

$\frac{8 (750.28979452 + 598.83129158 + 424.84196658 - 8 \cdot {3.75877048}^{2} - 48 \cdot 3.75877048 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

Этап 21.1.6

Возведем $3.75877048$ в степень $2$ .

$\frac{8 (750.28979452 + 598.83129158 + 424.84196658 - 8 \cdot 14.12835554 - 48 \cdot 3.75877048 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

Этап 21.1.7

Умножим $- 8$ на $14.12835554$ .

$\frac{8 (750.28979452 + 598.83129158 + 424.84196658 - 113.02684439 - 48 \cdot 3.75877048 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

Этап 21.1.8

Умножим $- 48$ на $3.75877048$ .

$\frac{8 (750.28979452 + 598.83129158 + 424.84196658 - 113.02684439 - 180.42098321 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

Этап 21.1.9

Добавим $750.28979452$ и $598.83129158$ .

$\frac{8 (1349.1210861 + 424.84196658 - 113.02684439 - 180.42098321 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

Этап 21.1.10

Добавим $1349.1210861$ и $424.84196658$ .

$\frac{8 (1773.96305269 - 113.02684439 - 180.42098321 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

Этап 21.1.11

Вычтем $113.02684439$ из $1773.96305269$ .

$\frac{8 (1660.93620829 - 180.42098321 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

Этап 21.1.12

Вычтем $180.42098321$ из $1660.93620829$ .

$\frac{8 (1480.51522507 - 16)}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

Этап 21.1.13

Вычтем $16$ из $1480.51522507$ .

$\frac{8 \cdot 1464.51522507}{{(3.75877048 + 2)}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

Этап 21.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1

Добавим $3.75877048$ и $2$ .

$\frac{8 \cdot 1464.51522507}{{5.75877048}^{4} {(3.75877048 - 2)}^{4}}$

Этап 21.2.2

Вычтем $2$ из $3.75877048$ .

$\frac{8 \cdot 1464.51522507}{{5.75877048}^{4} \cdot {1.75877048}^{4}}$

Этап 21.2.3

Возведем $5.75877048$ в степень $4$ .

$\frac{8 \cdot 1464.51522507}{1099.81358577 \cdot {1.75877048}^{4}}$

Этап 21.2.4

Возведем $1.75877048$ в степень $4$ .

$\frac{8 \cdot 1464.51522507}{1099.81358577 \cdot 9.56834165}$

Этап 21.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.3.1

Умножим $8$ на $1464.51522507$ .

$\frac{11716.12180061}{1099.81358577 \cdot 9.56834165}$

Этап 21.3.2

Умножим $1099.81358577$ на $9.56834165$ .

$\frac{11716.12180061}{10523.39214424}$

Этап 21.3.3

Разделим $11716.12180061$ на $10523.39214424$ .

$1.11334079$

Этап 22

$x = 3.75877048$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 3.75877048$ — локальный минимум

Этап 23

Найдем значение y, если $x = 3.75877048$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.75877048$ .

$r (3.75877048) = \frac{{(3.75877048)}^{3} + 1 {(3.75877048)}^{2}}{{(3.75877048)}^{2} - 4}$

Этап 23.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1.1

Возведем $3.75877048$ в степень $3$ .

$r (3.75877048) = \frac{53.10524582 + 1 \cdot {3.75877048}^{2}}{{3.75877048}^{2} - 4}$

Этап 23.2.1.2

Умножим ${3.75877048}^{2}$ на $1$ .

$r (3.75877048) = \frac{53.10524582 + {3.75877048}^{2}}{{3.75877048}^{2} - 4}$

Этап 23.2.1.3

Возведем $3.75877048$ в степень $2$ .

$r (3.75877048) = \frac{53.10524582 + 14.12835554}{{3.75877048}^{2} - 4}$

Этап 23.2.1.4

Добавим $53.10524582$ и $14.12835554$ .

$r (3.75877048) = \frac{67.23360137}{{3.75877048}^{2} - 4}$

Этап 23.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.1

Возведем $3.75877048$ в степень $2$ .

$r (3.75877048) = \frac{67.23360137}{14.12835554 - 4}$

Этап 23.2.2.2

Вычтем $4$ из $14.12835554$ .

$r (3.75877048) = \frac{67.23360137}{10.12835554}$

Этап 23.2.3

Разделим $67.23360137$ на $10.12835554$ .

$r (3.75877048) = 6.63815572$

Этап 23.2.4

Окончательный ответ: $6.63815572$ .

$y = 6.63815572$

Этап 24

Это локальные экстремумы $r (x) = \frac{x^{3} + 1 x^{2}}{x^{2} - 4}$ .

$(- 3.06417777, - 3.59626665)$ — локальный максимум

$(- 0.69459271, - 0.04188906)$ — локальный минимум

$(0, 0)$ — локальный максимум

$(3.75877048, 6.63815572)$ — локальный минимум

Этап 25