Математический анализ Примеры

$s (t) = \frac{25000 e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $25000$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{25000 e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}$ по $t$ равна $25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}]$ .

$25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = e^{- t}$ и $g (t) = {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{({(1 + 5 e^{- t})}^{2})}^{2}}$

Этап 1.3

Перемножим экспоненты в ${({(1 + 5 e^{- t})}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = - t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- t$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- t$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} (- 1 \cdot 1) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} \cdot - 1 - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.5.3.2

Перенесем $- 1$ влево от ${(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}$ .

$25000 \frac{- 1 \cdot ({(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.5.3.3

Перепишем $- 1 {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ в виде $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 + 5 e^{- t}$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + 5 e^{- t}$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (2 (1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.7.2

По правилу суммы производная $1 + 5 e^{- t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.7.3

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.7.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [5 e^{- t}]$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.7.5

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 e^{- t}$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.7.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Перенесем $5$ влево от $1 + 5 e^{- t}$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} (5 \cdot (1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.7.6.2

Умножим $5$ на $- 2$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $- t$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.8.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ имеет вид $a^{u_{3}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.8.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $- t$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t - t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.10

Вычтем $t$ из $- t$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.11

Вынесем множитель $1 + 5 e^{- t}$ из $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Вынесем множитель $1 + 5 e^{- t}$ из $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}$ .

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.11.2

Вынесем множитель $1 + 5 e^{- t}$ из $- 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])$ .

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) + (1 + 5 e^{- t}) (- 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.11.3

Вынесем множитель $1 + 5 e^{- t}$ из $(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) + (1 + 5 e^{- t}) (- 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))$ .

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 1.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Вынесем множитель $1 + 5 e^{- t}$ из ${(1 + 5 e^{- t})}^{4}$ .

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{(1 + 5 e^{- t}) {(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.12.2

Сократим общий множитель.

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{(1 + 5 e^{- t}) {(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.12.3

Перепишем это выражение.

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.13

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (- \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.14

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t} \cdot 1}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.16

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.1

Умножим $10$ на $1$ .

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.16.2

Объединим $25000$ и $\frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$ .

$\frac{25000 (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{25000 ((- 1 \cdot 1 - (5 e^{- t})) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{25000 (- 1 \cdot 1 e^{- t} - (5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.17.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{25000 (- 1 \cdot 1 e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.17.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.4.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{25000 (- 1 e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.17.4.1.2

Перепишем $- 1 e^{- t}$ в виде $- e^{- t}$ .

$\frac{25000 (- e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.17.4.1.3

Умножим $- 1$ на $25000$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.17.4.1.4

Умножим $e^{- t}$ на $e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.4.1.4.1

Перенесем $e^{- t}$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 (e^{- t} e^{- t}))) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.17.4.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- t - t})) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.17.4.1.4.3

Вычтем $t$ из $- t$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- 2 t})) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.17.4.1.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- 5 e^{- 2 t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.17.4.1.6

Умножим $- 5$ на $25000$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.17.4.1.7

Умножим $10$ на $25000$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} - 125000 e^{- 2 t} + 250000 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.17.4.2

Добавим $- 125000 e^{- 2 t}$ и $250000 e^{- 2 t}$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 125000 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 1.17.5

Изменим порядок членов.

$\frac{125000 e^{- 2 t} - 25000 e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 1.17.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.6.1

Вынесем множитель $25000$ из $125000 e^{- 2 t} - 25000 e^{- t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.6.1.1

Вынесем множитель $25000$ из $125000 e^{- 2 t}$ .

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t}) - 25000 e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 1.17.6.1.2

Вынесем множитель $25000$ из $- 25000 e^{- t}$ .

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t}) + 25000 (- e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 1.17.6.1.3

Вынесем множитель $25000$ из $25000 (5 e^{- 2 t}) + 25000 (- e^{- t})$ .

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t} - e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 1.17.6.2

Перепишем $e^{- 2 t}$ в виде ${(e^{- t})}^{2}$ .

$\frac{25000 (5 {(e^{- t})}^{2} - e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 1.17.6.3

Пусть $u = e^{- t}$ . Подставим $u$ вместо $e^{- t}$ для всех.

$\frac{25000 (5 u^{2} - u)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 1.17.6.4

Вынесем множитель $u$ из $5 u^{2} - u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.6.4.1

Вынесем множитель $u$ из $5 u^{2}$ .

$\frac{25000 (u (5 u) - u)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 1.17.6.4.2

Вынесем множитель $u$ из $- u$ .

$\frac{25000 (u (5 u) + u \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 1.17.6.4.3

Вынесем множитель $u$ из $u (5 u) + u \cdot - 1$ .

$\frac{25000 (u (5 u - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 1.17.6.5

Заменим все вхождения $u$ на $e^{- t}$ .

$\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $25000$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$ по $t$ равна $25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}]$ .

$s'' (t) = 25000 \frac{d}{d t} (\frac{e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}})$

Этап 2.2

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} (e^{- t} (5 e^{- t} - 1)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{({(5 e^{- t} + 1)}^{3})}^{2}})$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${({(5 e^{- t} + 1)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} (e^{- t} (5 e^{- t} - 1)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3 \cdot 2}})$

Этап 2.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} (e^{- t} (5 e^{- t} - 1)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = e^{- t}$ и $g (t) = 5 e^{- t} - 1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} - 1) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $5 e^{- t} - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [5 e^{- t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (\frac{d}{d t} (5 e^{- t}) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.5.2

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 e^{- t}$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 \frac{d}{d t} (e^{- t}) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- t$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.6.2

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.6.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- t$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 (e^{- t} \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 e^{- t} (- \frac{d}{d t} t) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.7.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t} \frac{d}{d t} t + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t} \cdot 1 + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.7.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t} + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.7.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t} + 0) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.7.6

Добавим $- 5 e^{- t}$ и $0$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t}) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.8

Умножим $e^{- t}$ на $e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Перенесем $e^{- t}$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} e^{- t} \cdot - 5 + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t - t} \cdot - 5 + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.8.3

Вычтем $t$ из $- t$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- 2 t} \cdot - 5 + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.9

Перенесем $- 5$ влево от $e^{- 2 t}$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 \cdot e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.10

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- t$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- t))) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.10.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- t))) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.10.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- t$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) (e^{- t} \frac{d}{d t} (- t))) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.11

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) e^{- t} (- \frac{d}{d t} t)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.11.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) e^{- t} (- 1 \cdot 1)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.11.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) e^{- t} \cdot - 1) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.11.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $(5 e^{- t} - 1) e^{- t}$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - 1 \cdot ((5 e^{- t} - 1) e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.11.3.3

Перепишем $- 1 (5 e^{- t} - 1)$ в виде $- (5 e^{- t} - 1)$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.12

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $5 e^{- t} + 1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{3}) \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.12.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.12.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $5 e^{- t} + 1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (3 {(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.13

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) ({(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.13.2

Вынесем множитель ${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ из ${(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) ({(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [5 e^{- t} + 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.2.1

Вынесем множитель ${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ из ${(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t})$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t})) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) ({(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.13.2.2

Вынесем множитель ${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ из $- 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) ({(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [5 e^{- t} + 1])$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t})) + {(5 e^{- t} + 1)}^{2} (- 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1)))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.13.2.3

Вынесем множитель ${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ из ${(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t})) + {(5 e^{- t} + 1)}^{2} (- 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} [5 e^{- t} + 1]))$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1)))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

Этап 2.14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Вынесем множитель ${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ из ${(5 e^{- t} + 1)}^{6}$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1)))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} {(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Этап 2.14.2

Сократим общий множитель.

Этап 2.14.3

Перепишем это выражение.

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Этап 2.15

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

По правилу суммы производная $5 e^{- t} + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [5 e^{- t}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t}) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Этап 2.15.2

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 e^{- t}$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 \frac{d}{d t} (e^{- t}) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Этап 2.16

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $- t$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 (\frac{d}{d u (4)} (e^{u_{4}}) \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Этап 2.16.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ имеет вид $a^{u_{4}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 (e^{u_{4}} \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Этап 2.16.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $- t$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 (e^{- t} \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Этап 2.17

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 e^{- t} (- \frac{d}{d t} t) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Этап 2.17.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t} \frac{d}{d t} t + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Этап 2.17.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t} \cdot 1 + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Этап 2.17.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t} + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Этап 2.17.5

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t} + 0)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Этап 2.17.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.6.1

Добавим $- 5 e^{- t}$ и $0$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Этап 2.17.6.2

Умножим $- 5$ на $- 3$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Этап 2.18

Умножим $e^{- t}$ на $e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1

Перенесем $e^{- t}$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 (e^{- t} e^{- t}) (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Этап 2.18.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- t - t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Этап 2.18.3

Вычтем $t$ из $- t$ .

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

Этап 2.19

Объединим $25000$ и $\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.1

Применим свойство дистрибутивности.

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} + (- (5 e^{- t}) + 1) e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.2

Применим свойство дистрибутивности.

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- t} e^{- t} + 1 e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.3

Применим свойство дистрибутивности.

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- t} e^{- t} + 1 e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.4

Применим свойство дистрибутивности.

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- t} e^{- t} + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.5.1.1.1

Умножим $e^{- t}$ на $e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.5.1.1.1.1

Перенесем $e^{- t}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 (e^{- t} e^{- t})) + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t - t}) + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.1.1.3

Вычтем $t$ из $- t$ .

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.1.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- 2 t} + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- 2 t} + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.1.4

Умножим $e^{- t}$ на $1$ .

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- 2 t} + e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.2

Вычтем $5 e^{- 2 t}$ из $- 5 e^{- 2 t}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.3

Развернем $(5 e^{- t} + 1) (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$s'' (t) = \frac{25000 (5 e^{- t} (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t}) + 1 (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$s'' (t) = \frac{25000 (5 e^{- t} (- 10 e^{- 2 t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$s'' (t) = \frac{25000 (5 e^{- t} (- 10 e^{- 2 t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.5.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.5.1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$s'' (t) = \frac{25000 (5 \cdot (- 10 e^{- t} e^{- 2 t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.4.1.2

Умножим $e^{- t}$ на $e^{- 2 t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.5.1.4.1.2.1

Перенесем $e^{- 2 t}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (5 \cdot (- 10 (e^{- 2 t} e^{- t})) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$s'' (t) = \frac{25000 (5 \cdot (- 10 e^{- 2 t - t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.4.1.2.3

Вычтем $t$ из $- 2 t$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (5 \cdot (- 10 e^{- 3 t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.4.1.3

Умножим $5$ на $- 10$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.4.1.4

Умножим $e^{- t}$ на $e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.5.1.4.1.4.1

Перенесем $e^{- t}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 (e^{- t} e^{- t}) + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.4.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- t - t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.4.1.4.3

Вычтем $t$ из $- t$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- 2 t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.4.1.5

Умножим $- 10 e^{- 2 t}$ на $1$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- 2 t} - 10 e^{- 2 t} + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.4.1.6

Умножим $e^{- t}$ на $1$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- 2 t} - 10 e^{- 2 t} + e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.4.2

Вычтем $10 e^{- 2 t}$ из $5 e^{- 2 t}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} - 5 e^{- 2 t} + e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t}) + 25000 (- 5 e^{- 2 t}) + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.5.1.6.1

Умножим $- 50$ на $25000$ .

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} + 25000 (- 5 e^{- 2 t}) + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.6.2

Умножим $- 5$ на $25000$ .

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.7

Умножим $e^{- 2 t}$ на $e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.5.1.7.1

Перенесем $e^{- t}$ .

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (15 (e^{- t} e^{- 2 t}) \cdot 5) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- t - 2 t} \cdot 5) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.7.3

Вычтем $2 t$ из $- t$ .

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- 3 t} \cdot 5) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.8

Умножим $5$ на $15$ .

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (75 e^{- 3 t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.9

Умножим $75$ на $25000$ .

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 1875000 e^{- 3 t} + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.10

Умножим $- 1$ на $15$ .

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 1875000 e^{- 3 t} + 25000 (- 15 e^{- 2 t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.1.11

Умножим $- 15$ на $25000$ .

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 1875000 e^{- 3 t} - 375000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.2

Добавим $- 1250000 e^{- 3 t}$ и $1875000 e^{- 3 t}$ .

$s'' (t) = \frac{625000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} - 375000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.5.3

Вычтем $375000 e^{- 2 t}$ из $- 125000 e^{- 2 t}$ .

$s'' (t) = \frac{625000 e^{- 3 t} + 25000 e^{- t} - 500000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.6

Вынесем множитель $25000$ из $625000 e^{- 3 t} + 25000 e^{- t} - 500000 e^{- 2 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.6.1

Вынесем множитель $25000$ из $625000 e^{- 3 t}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t}) + 25000 e^{- t} - 500000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.6.2

Вынесем множитель $25000$ из $25000 e^{- t}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t}) + 25000 (e^{- t}) - 500000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.6.3

Вынесем множитель $25000$ из $- 500000 e^{- 2 t}$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t}) + 25000 (e^{- t}) + 25000 (- 20 e^{- 2 t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.6.4

Вынесем множитель $25000$ из $25000 (25 e^{- 3 t}) + 25000 (e^{- t})$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t} + e^{- t}) + 25000 (- 20 e^{- 2 t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 2.20.6.5

Вынесем множитель $25000$ из $25000 (25 e^{- 3 t} + e^{- t}) + 25000 (- 20 e^{- 2 t})$ .

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t} + e^{- t} - 20 e^{- 2 t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}]$

Этап 4.1.2

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{({(1 + 5 e^{- t})}^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(1 + 5 e^{- t})}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2 \cdot 2}}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- t$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.4.2

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- t$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} (- 1 \cdot 1) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.5.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} \cdot - 1 - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.5.3.2

Перенесем $- 1$ влево от ${(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}$ .

$25000 \frac{- 1 \cdot ({(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.5.3.3

Перепишем $- 1 {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ в виде $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 + 5 e^{- t}$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.6.2

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + 5 e^{- t}$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (2 (1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.7.2

По правилу суммы производная $1 + 5 e^{- t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.7.3

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.7.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [5 e^{- t}]$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.7.5

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 e^{- t}$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.7.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.6.1

Перенесем $5$ влево от $1 + 5 e^{- t}$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} (5 \cdot (1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.7.6.2

Умножим $5$ на $- 2$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $- t$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.8.2

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.8.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $- t$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t - t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.10

Вычтем $t$ из $- t$ .

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.11

Вынесем множитель $1 + 5 e^{- t}$ из $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Вынесем множитель $1 + 5 e^{- t}$ из $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}$ .

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.11.2

Вынесем множитель $1 + 5 e^{- t}$ из $- 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])$ .

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) + (1 + 5 e^{- t}) (- 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.11.3

Вынесем множитель $1 + 5 e^{- t}$ из $(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) + (1 + 5 e^{- t}) (- 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))$ .

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

Этап 4.1.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.12.1

Вынесем множитель $1 + 5 e^{- t}$ из ${(1 + 5 e^{- t})}^{4}$ .

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{(1 + 5 e^{- t}) {(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.12.2

Сократим общий множитель.

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{(1 + 5 e^{- t}) {(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.12.3

Перепишем это выражение.

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.13

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (- \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.14

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t} \cdot 1}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.16

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.16.1

Умножим $10$ на $1$ .

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.16.2

Объединим $25000$ и $\frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$ .

$\frac{25000 (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{25000 ((- 1 \cdot 1 - (5 e^{- t})) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{25000 (- 1 \cdot 1 e^{- t} - (5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.17.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{25000 (- 1 \cdot 1 e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.17.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.4.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{25000 (- 1 e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.17.4.1.2

Перепишем $- 1 e^{- t}$ в виде $- e^{- t}$ .

$\frac{25000 (- e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.17.4.1.3

Умножим $- 1$ на $25000$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.17.4.1.4

Умножим $e^{- t}$ на $e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.4.1.4.1

Перенесем $e^{- t}$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 (e^{- t} e^{- t}))) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.17.4.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- t - t})) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.17.4.1.4.3

Вычтем $t$ из $- t$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- 2 t})) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.17.4.1.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- 5 e^{- 2 t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.17.4.1.6

Умножим $- 5$ на $25000$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.17.4.1.7

Умножим $10$ на $25000$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} - 125000 e^{- 2 t} + 250000 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.17.4.2

Добавим $- 125000 e^{- 2 t}$ и $250000 e^{- 2 t}$ .

$\frac{- 25000 e^{- t} + 125000 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

Этап 4.1.17.5

Изменим порядок членов.

$\frac{125000 e^{- 2 t} - 25000 e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.17.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.6.1

Вынесем множитель $25000$ из $125000 e^{- 2 t} - 25000 e^{- t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.6.1.1

Вынесем множитель $25000$ из $125000 e^{- 2 t}$ .

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t}) - 25000 e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.17.6.1.2

Вынесем множитель $25000$ из $- 25000 e^{- t}$ .

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t}) + 25000 (- e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.17.6.1.3

Вынесем множитель $25000$ из $25000 (5 e^{- 2 t}) + 25000 (- e^{- t})$ .

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t} - e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.17.6.2

Перепишем $e^{- 2 t}$ в виде ${(e^{- t})}^{2}$ .

$\frac{25000 (5 {(e^{- t})}^{2} - e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.17.6.3

Пусть $u = e^{- t}$ . Подставим $u$ вместо $e^{- t}$ для всех.

$\frac{25000 (5 u^{2} - u)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.17.6.4

Вынесем множитель $u$ из $5 u^{2} - u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.6.4.1

Вынесем множитель $u$ из $5 u^{2}$ .

$\frac{25000 (u (5 u) - u)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.17.6.4.2

Вынесем множитель $u$ из $- u$ .

$\frac{25000 (u (5 u) + u \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.17.6.4.3

Вынесем множитель $u$ из $u (5 u) + u \cdot - 1$ .

$\frac{25000 (u (5 u - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 4.1.17.6.5

Заменим все вхождения $u$ на $e^{- t}$ .

$f' (t) = \frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 4.2

Первая производная $s (t)$ по $t$ равна $\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- t} = 0$

$5 e^{- t} - 1 = 0$

Этап 5.3.2

Приравняем $e^{- t}$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Приравняем $e^{- t}$ к $0$ .

$e^{- t} = 0$

Этап 5.3.2.2

Решим $e^{- t} = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- t}) = \ln (0)$

Этап 5.3.2.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.3.2.2.3

Нет решения для $e^{- t} = 0$

Нет решения

Этап 5.3.3

Приравняем $5 e^{- t} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Приравняем $5 e^{- t} - 1$ к $0$ .

$5 e^{- t} - 1 = 0$

Этап 5.3.3.2

Решим $5 e^{- t} - 1 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$5 e^{- t} = 1$

Этап 5.3.3.2.2

Разделим каждый член $5 e^{- t} = 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $5 e^{- t} = 1$ на $5$ .

$\frac{5 e^{- t}}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 e^{- t}}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 5.3.3.2.2.2.1.2

Разделим $e^{- t}$ на $1$ .

$e^{- t} = \frac{1}{5}$

Этап 5.3.3.2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- t}) = \ln (\frac{1}{5})$

Этап 5.3.3.2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.4.1

Развернем $\ln (e^{- t})$ , вынося $- t$ из логарифма.

$- t \ln (e) = \ln (\frac{1}{5})$

Этап 5.3.3.2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- t \cdot 1 = \ln (\frac{1}{5})$

Этап 5.3.3.2.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- t = \ln (\frac{1}{5})$

Этап 5.3.3.2.5

Разделим каждый член $- t = \ln (\frac{1}{5})$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.5.1

Разделим каждый член $- t = \ln (\frac{1}{5})$ на $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 1}$

Этап 5.3.3.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{t}{1} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 1}$

Этап 5.3.3.2.5.2.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 1}$

Этап 5.3.3.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.5.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 1}$ .

$t = - 1 \cdot \ln (\frac{1}{5})$

Этап 5.3.3.2.5.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \ln (\frac{1}{5})$ в виде $- \ln (\frac{1}{5})$ .

$t = - \ln (\frac{1}{5})$

Этап 5.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) = 0$ верно.

$t = - \ln (\frac{1}{5})$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$t = - \ln (\frac{1}{5})$

Этап 8

Найдем вторую производную в $t = - \ln (\frac{1}{5})$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{25000 (25 e^{- 3 (- \ln (\frac{1}{5}))} + e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))} + 1)}^{4}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим $- 3 (- \ln (\frac{1}{5}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{25000 (25 e^{3 \ln (\frac{1}{5})} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.1.2

Упростим $3 \ln (\frac{1}{5})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{25000 (25 e^{\ln ({(\frac{1}{5})}^{3})} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{25000 (25 {(\frac{1}{5})}^{3} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$\frac{25000 (25 \frac{1^{3}}{5^{3}} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{25000 (25 \frac{1}{5^{3}} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.5

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{25000 (25 (\frac{1}{125}) + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.6

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.1

Вынесем множитель $25$ из $125$ .

$\frac{25000 (25 \frac{1}{25 (5)} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{25000 (25 \frac{1}{25 \cdot 5} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.7

Умножим $- - \ln (\frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + e^{1 \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.7.2

Умножим $\ln (\frac{1}{5})$ на $1$ .

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + e^{\ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.8

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.9

Умножим $- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.9.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 e^{2 \ln (\frac{1}{5})})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.9.2

Упростим $2 \ln (\frac{1}{5})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 e^{\ln ({(\frac{1}{5})}^{2})})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.10

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 {(\frac{1}{5})}^{2})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.11

Применим правило умножения к $\frac{1}{5}$ .

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 \frac{1^{2}}{5^{2}})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.12

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 \frac{1}{5^{2}})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.13

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 (\frac{1}{25}))}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.14

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.14.1

Вынесем множитель $5$ из $- 20$ .

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + 5 (- 4) \frac{1}{25})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.14.2

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + 5 \cdot - 4 \frac{1}{5 \cdot 5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.14.3

Сократим общий множитель.

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + 5 \cdot - 4 \frac{1}{5 \cdot 5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.14.4

Перепишем это выражение.

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 4 (\frac{1}{5}))}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.15

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{- 4}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{4}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{25000 (\frac{1 + 1}{5} - \frac{4}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.18

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{25000 (\frac{2}{5} - \frac{4}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{25000 \frac{2 - 4}{5}}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.20

Вычтем $4$ из $2$ .

$\frac{25000 (\frac{- 2}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{25000 \cdot - 1 \frac{2}{5}}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.22

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.22.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- (25000 (\frac{2}{5}))}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.22.2

Объединим $25000$ и $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- \frac{25000 \cdot 2}{5}}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.22.3

Умножим $25000$ на $2$ .

$\frac{- \frac{50000}{5}}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.1.23

Разделим $50000$ на $5$ .

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $- - \ln (\frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 e^{1 \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.2.1.2

Умножим $\ln (\frac{1}{5})$ на $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 e^{\ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

Этап 9.2.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 (\frac{1}{5}) + 1)}^{4}}$

Этап 9.2.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 (\frac{1}{5}) + 1)}^{4}}$

Этап 9.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(1 + 1)}^{4}}$

Этап 9.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 10000}{2^{4}}$

Этап 9.2.5

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{- 1 \cdot 10000}{16}$

Этап 9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $- 1$ на $10000$ .

$\frac{- 10000}{16}$

Этап 9.3.2

Разделим $- 10000$ на $16$ .

$- 625$

Этап 10

$t = - \ln (\frac{1}{5})$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$t = - \ln (\frac{1}{5})$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $t = - \ln (\frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $- \ln (\frac{1}{5})$ .

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000 e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))}}{{(1 + 5 e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))})}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Перенесем $e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))})}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

Этап 11.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $- - \ln (\frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 e^{1 \ln (\frac{1}{5})})}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

Этап 11.2.2.1.2

Умножим $\ln (\frac{1}{5})$ на $1$ .

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 e^{\ln (\frac{1}{5})})}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

Этап 11.2.2.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 (\frac{1}{5}))}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

Этап 11.2.2.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 (\frac{1}{5}))}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

Этап 11.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 1)}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

Этап 11.2.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{2^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

Этап 11.2.2.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{4 e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

Этап 11.2.2.6

Упростим $- \ln (\frac{1}{5})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{4 e^{\ln ({(\frac{1}{5})}^{- 1})}}$

Этап 11.2.2.7

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{4 {(\frac{1}{5})}^{- 1}}$

Этап 11.2.2.8

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{4 \cdot 5}$

Этап 11.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $4$ на $5$ .

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{20}$

Этап 11.2.3.2

Разделим $25000$ на $20$ .

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = 1250$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $1250$ .

$y = 1250$

Этап 12

Это локальные экстремумы $s (t) = \frac{25000 e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}$ .

$(- \ln (\frac{1}{5}), 1250)$ — локальный максимум

Этап 13