Математический анализ Примеры

$S (t) = \frac{1000 t^{2}}{11 + t^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $1000$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{1000 t^{2}}{11 + t^{2}}$ по $t$ равна $1000 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{11 + t^{2}}]$ .

$1000 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{11 + t^{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = 11 + t^{2}$ .

$1000 \frac{(11 + t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [11 + t^{2}]}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1000 \frac{(11 + t^{2}) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [11 + t^{2}]}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.3.2

Перенесем $2$ влево от $11 + t^{2}$ .

$1000 \frac{2 \cdot (11 + t^{2}) t - t^{2} \frac{d}{d t} [11 + t^{2}]}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $11 + t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [11] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$1000 \frac{2 (11 + t^{2}) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [11] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.3.4

Поскольку $11$ является константой относительно $t$ , производная $11$ относительно $t$ равна $0$ .

$1000 \frac{2 (11 + t^{2}) t - t^{2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$1000 \frac{2 (11 + t^{2}) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1000 \frac{2 (11 + t^{2}) t - t^{2} (2 t)}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1000 \frac{2 (11 + t^{2}) t - 2 t^{2} t}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $t$ в степень $1$ .

$1000 \frac{2 (11 + t^{2}) t - 2 (t^{1} t^{2})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1000 \frac{2 (11 + t^{2}) t - 2 t^{1 + 2}}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $2$ .

$1000 \frac{2 (11 + t^{2}) t - 2 t^{3}}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.7

Объединим $1000$ и $\frac{2 (11 + t^{2}) t - 2 t^{3}}{{(11 + t^{2})}^{2}}$ .

$\frac{1000 (2 (11 + t^{2}) t - 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1000 ((2 \cdot 11 + 2 t^{2}) t - 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1000 (2 \cdot 11 t + 2 t^{2} t - 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1000 (2 \cdot 11 t) + 1000 (2 t^{2} t) + 1000 (- 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1.1

Умножим $2$ на $11$ .

$\frac{1000 (22 t) + 1000 (2 t^{2} t) + 1000 (- 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.8.4.1.2

Умножим $22$ на $1000$ .

$\frac{22000 t + 1000 (2 t^{2} t) + 1000 (- 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.8.4.1.3

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1.3.1

Перенесем $t$ .

$\frac{22000 t + 1000 (2 (t \cdot t^{2})) + 1000 (- 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.8.4.1.3.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1.3.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{22000 t + 1000 (2 (t^{1} t^{2})) + 1000 (- 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.8.4.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{22000 t + 1000 (2 t^{1 + 2}) + 1000 (- 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.8.4.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{22000 t + 1000 (2 t^{3}) + 1000 (- 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.8.4.1.4

Умножим $2$ на $1000$ .

$\frac{22000 t + 2000 t^{3} + 1000 (- 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.8.4.1.5

Умножим $- 2$ на $1000$ .

$\frac{22000 t + 2000 t^{3} - 2000 t^{3}}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.8.4.2

Объединим противоположные члены в $22000 t + 2000 t^{3} - 2000 t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.2.1

Вычтем $2000 t^{3}$ из $2000 t^{3}$ .

$\frac{22000 t + 0}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.8.4.2.2

Добавим $22000 t$ и $0$ .

$\frac{22000 t}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 1.8.5

Изменим порядок членов.

$\frac{22000 t}{{(t^{2} + 11)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $22000$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{22000 t}{{(t^{2} + 11)}^{2}}$ по $t$ равна $22000 \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t^{2} + 11)}^{2}}]$ .

$S'' (t) = 22000 \frac{d}{d t} (\frac{t}{{(t^{2} + 11)}^{2}})$

Этап 2.2

$S'' (t) = 22000 (\frac{{(t^{2} + 11)}^{2} \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} {(t^{2} + 11)}^{2}}{{({(t^{2} + 11)}^{2})}^{2}})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(t^{2} + 11)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{{(t^{2} + 11)}^{2} \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} {(t^{2} + 11)}^{2}}{{(t^{2} + 11)}^{2 \cdot 2}})$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{{(t^{2} + 11)}^{2} \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} {(t^{2} + 11)}^{2}}{{(t^{2} + 11)}^{4}})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{{(t^{2} + 11)}^{2} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} {(t^{2} + 11)}^{2}}{{(t^{2} + 11)}^{4}})$

Этап 2.3.3

Умножим ${(t^{2} + 11)}^{2}$ на $1$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{{(t^{2} + 11)}^{2} - t \frac{d}{d t} {(t^{2} + 11)}^{2}}{{(t^{2} + 11)}^{4}})$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = t^{2} + 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t^{2} + 11$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{{(t^{2} + 11)}^{2} - t (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d t} (t^{2} + 11))}{{(t^{2} + 11)}^{4}})$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{{(t^{2} + 11)}^{2} - t (2 u \frac{d}{d t} (t^{2} + 11))}{{(t^{2} + 11)}^{4}})$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $t^{2} + 11$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{{(t^{2} + 11)}^{2} - t (2 (t^{2} + 11) \frac{d}{d t} (t^{2} + 11))}{{(t^{2} + 11)}^{4}})$

Этап 2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{{(t^{2} + 11)}^{2} - 2 t ((t^{2} + 11) \frac{d}{d t} (t^{2} + 11))}{{(t^{2} + 11)}^{4}})$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $t^{2} + 11$ из ${(t^{2} + 11)}^{2} - 2 t ((t^{2} + 11) \frac{d}{d t} [t^{2} + 11])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $t^{2} + 11$ из ${(t^{2} + 11)}^{2}$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{(t^{2} + 11) (t^{2} + 11) - 2 t ((t^{2} + 11) \frac{d}{d t} (t^{2} + 11))}{{(t^{2} + 11)}^{4}})$

Этап 2.5.2.2

Вынесем множитель $t^{2} + 11$ из $- 2 t ((t^{2} + 11) \frac{d}{d t} [t^{2} + 11])$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{(t^{2} + 11) (t^{2} + 11) + (t^{2} + 11) (- 2 t (\frac{d}{d t} (t^{2} + 11)))}{{(t^{2} + 11)}^{4}})$

Этап 2.5.2.3

Вынесем множитель $t^{2} + 11$ из $(t^{2} + 11) (t^{2} + 11) + (t^{2} + 11) (- 2 t (\frac{d}{d t} [t^{2} + 11]))$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{(t^{2} + 11) (t^{2} + 11 - 2 t (\frac{d}{d t} (t^{2} + 11)))}{{(t^{2} + 11)}^{4}})$

Этап 2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $t^{2} + 11$ из ${(t^{2} + 11)}^{4}$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{(t^{2} + 11) (t^{2} + 11 - 2 t (\frac{d}{d t} (t^{2} + 11)))}{(t^{2} + 11) {(t^{2} + 11)}^{3}})$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель.

$S'' (t) = 22000 (\frac{(t^{2} + 11) (t^{2} + 11 - 2 t (\frac{d}{d t} (t^{2} + 11)))}{(t^{2} + 11) {(t^{2} + 11)}^{3}})$

Этап 2.6.3

Перепишем это выражение.

$S'' (t) = 22000 (\frac{t^{2} + 11 - 2 t (\frac{d}{d t} (t^{2} + 11))}{{(t^{2} + 11)}^{3}})$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $t^{2} + 11$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [11]$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{t^{2} + 11 - 2 t (\frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (11))}{{(t^{2} + 11)}^{3}})$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{t^{2} + 11 - 2 t (2 t + \frac{d}{d t} (11))}{{(t^{2} + 11)}^{3}})$

Этап 2.9

Поскольку $11$ является константой относительно $t$ , производная $11$ относительно $t$ равна $0$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{t^{2} + 11 - 2 t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 11)}^{3}})$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $2 t$ и $0$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{t^{2} + 11 - 2 t (2 t)}{{(t^{2} + 11)}^{3}})$

Этап 2.10.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{t^{2} + 11 - 4 t \cdot t}{{(t^{2} + 11)}^{3}})$

Этап 2.11

Возведем $t$ в степень $1$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{t^{2} + 11 - 4 (t \cdot t)}{{(t^{2} + 11)}^{3}})$

Этап 2.12

Возведем $t$ в степень $1$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{t^{2} + 11 - 4 (t \cdot t)}{{(t^{2} + 11)}^{3}})$

Этап 2.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$S'' (t) = 22000 (\frac{t^{2} + 11 - 4 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 11)}^{3}})$

Этап 2.14

Добавим $1$ и $1$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{t^{2} + 11 - 4 t^{2}}{{(t^{2} + 11)}^{3}})$

Этап 2.15

Вычтем $4 t^{2}$ из $t^{2}$ .

$S'' (t) = 22000 (\frac{- 3 t^{2} + 11}{{(t^{2} + 11)}^{3}})$

Этап 2.16

Объединим $22000$ и $\frac{- 3 t^{2} + 11}{{(t^{2} + 11)}^{3}}$ .

$S'' (t) = \frac{22000 (- 3 t^{2} + 11)}{{(t^{2} + 11)}^{3}}$

Этап 2.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$S'' (t) = \frac{22000 (- 3 t^{2}) + 22000 \cdot 11}{{(t^{2} + 11)}^{3}}$

Этап 2.17.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.2.1

Умножим $- 3$ на $22000$ .

$S'' (t) = \frac{- 66000 t^{2} + 22000 \cdot 11}{{(t^{2} + 11)}^{3}}$

Этап 2.17.2.2

Умножим $22000$ на $11$ .

$S'' (t) = \frac{- 66000 t^{2} + 242000}{{(t^{2} + 11)}^{3}}$

Этап 2.17.3

Вынесем множитель $22000$ из $- 66000 t^{2} + 242000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.3.1

Вынесем множитель $22000$ из $- 66000 t^{2}$ .

$S'' (t) = \frac{22000 (- 3 t^{2}) + 242000}{{(t^{2} + 11)}^{3}}$

Этап 2.17.3.2

Вынесем множитель $22000$ из $242000$ .

$S'' (t) = \frac{22000 (- 3 t^{2}) + 22000 (11)}{{(t^{2} + 11)}^{3}}$

Этап 2.17.3.3

Вынесем множитель $22000$ из $22000 (- 3 t^{2}) + 22000 (11)$ .

$S'' (t) = \frac{22000 (- 3 t^{2} + 11)}{{(t^{2} + 11)}^{3}}$

Этап 2.17.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 t^{2}$ .

$S'' (t) = \frac{22000 (- (3 t^{2}) + 11)}{{(t^{2} + 11)}^{3}}$

Этап 2.17.5

Перепишем $11$ в виде $- 1 (- 11)$ .

$S'' (t) = \frac{22000 (- (3 t^{2}) - 1 \cdot - 11)}{{(t^{2} + 11)}^{3}}$

Этап 2.17.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 t^{2}) - 1 (- 11)$ .

$S'' (t) = \frac{22000 (- (3 t^{2} - 11))}{{(t^{2} + 11)}^{3}}$

Этап 2.17.7

Перепишем $- (3 t^{2} - 11)$ в виде $- 1 (3 t^{2} - 11)$ .

$S'' (t) = \frac{22000 (- 1 (3 t^{2} - 11))}{{(t^{2} + 11)}^{3}}$

Этап 2.17.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$S'' (t) = - \frac{22000 (3 t^{2} - 11)}{{(t^{2} + 11)}^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{22000 t}{{(t^{2} + 11)}^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$1000 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{11 + t^{2}}]$

Этап 4.1.2

$1000 \frac{(11 + t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [11 + t^{2}]}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1000 \frac{(11 + t^{2}) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [11 + t^{2}]}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.3.2

Перенесем $2$ влево от $11 + t^{2}$ .

$1000 \frac{2 \cdot (11 + t^{2}) t - t^{2} \frac{d}{d t} [11 + t^{2}]}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.3.3

По правилу суммы производная $11 + t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [11] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$1000 \frac{2 (11 + t^{2}) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [11] + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.3.4

Поскольку $11$ является константой относительно $t$ , производная $11$ относительно $t$ равна $0$ .

$1000 \frac{2 (11 + t^{2}) t - t^{2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$1000 \frac{2 (11 + t^{2}) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1000 \frac{2 (11 + t^{2}) t - t^{2} (2 t)}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1000 \frac{2 (11 + t^{2}) t - 2 t^{2} t}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.4

Возведем $t$ в степень $1$ .

$1000 \frac{2 (11 + t^{2}) t - 2 (t^{1} t^{2})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1000 \frac{2 (11 + t^{2}) t - 2 t^{1 + 2}}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.6

Добавим $1$ и $2$ .

$1000 \frac{2 (11 + t^{2}) t - 2 t^{3}}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.7

Объединим $1000$ и $\frac{2 (11 + t^{2}) t - 2 t^{3}}{{(11 + t^{2})}^{2}}$ .

$\frac{1000 (2 (11 + t^{2}) t - 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1000 ((2 \cdot 11 + 2 t^{2}) t - 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1000 (2 \cdot 11 t + 2 t^{2} t - 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1000 (2 \cdot 11 t) + 1000 (2 t^{2} t) + 1000 (- 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.4.1.1

Умножим $2$ на $11$ .

$\frac{1000 (22 t) + 1000 (2 t^{2} t) + 1000 (- 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.8.4.1.2

Умножим $22$ на $1000$ .

$\frac{22000 t + 1000 (2 t^{2} t) + 1000 (- 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.8.4.1.3

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.4.1.3.1

Перенесем $t$ .

$\frac{22000 t + 1000 (2 (t \cdot t^{2})) + 1000 (- 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.8.4.1.3.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.4.1.3.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{22000 t + 1000 (2 (t^{1} t^{2})) + 1000 (- 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.8.4.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{22000 t + 1000 (2 t^{1 + 2}) + 1000 (- 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.8.4.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{22000 t + 1000 (2 t^{3}) + 1000 (- 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.8.4.1.4

Умножим $2$ на $1000$ .

$\frac{22000 t + 2000 t^{3} + 1000 (- 2 t^{3})}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.8.4.1.5

Умножим $- 2$ на $1000$ .

$\frac{22000 t + 2000 t^{3} - 2000 t^{3}}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.8.4.2

Объединим противоположные члены в $22000 t + 2000 t^{3} - 2000 t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.4.2.1

Вычтем $2000 t^{3}$ из $2000 t^{3}$ .

$\frac{22000 t + 0}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.8.4.2.2

Добавим $22000 t$ и $0$ .

$\frac{22000 t}{{(11 + t^{2})}^{2}}$

Этап 4.1.8.5

Изменим порядок членов.

$f' (t) = \frac{22000 t}{{(t^{2} + 11)}^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $S (t)$ по $t$ равна $\frac{22000 t}{{(t^{2} + 11)}^{2}}$ .

$\frac{22000 t}{{(t^{2} + 11)}^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{22000 t}{{(t^{2} + 11)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{22000 t}{{(t^{2} + 11)}^{2}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$22000 t = 0$

Этап 5.3

Разделим каждый член $22000 t = 0$ на $22000$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $22000 t = 0$ на $22000$ .

$\frac{22000 t}{22000} = \frac{0}{22000}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $22000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{22000 t}{22000} = \frac{0}{22000}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{0}{22000}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $0$ на $22000$ .

$t = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$t = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $t = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{22000 (3 {(0)}^{2} - 11)}{{({(0)}^{2} + 11)}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{22000 (3 \cdot 0 - 11)}{{(0^{2} + 11)}^{3}}$

Этап 9.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$- \frac{22000 (0 - 11)}{{(0^{2} + 11)}^{3}}$

Этап 9.1.3

Вычтем $11$ из $0$ .

$- \frac{22000 \cdot - 11}{{(0^{2} + 11)}^{3}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{22000 \cdot - 11}{{(0 + 11)}^{3}}$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $11$ .

$- \frac{22000 \cdot - 11}{11^{3}}$

Этап 9.2.3

Возведем $11$ в степень $3$ .

$- \frac{22000 \cdot - 11}{1331}$

Этап 9.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $22000$ на $- 11$ .

$- \frac{- 242000}{1331}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $- 242000$ и $1331$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $121$ из $- 242000$ .

$- \frac{121 (- 2000)}{1331}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $121$ из $1331$ .

$- \frac{121 \cdot - 2000}{121 \cdot 11}$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{121 \cdot - 2000}{121 \cdot 11}$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{- 2000}{11}$

Этап 9.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{2000}{11}$

Этап 9.4

Умножим $- - \frac{2000}{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{2000}{11})$

Этап 9.4.2

Умножим $\frac{2000}{11}$ на $1$ .

$\frac{2000}{11}$

Этап 10

$t = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$t = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $t = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $0$ .

$S (0) = \frac{1000 {(0)}^{2}}{11 + {(0)}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$S (0) = \frac{1000 \cdot 0}{11 + 0^{2}}$

Этап 11.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$S (0) = \frac{1000 \cdot 0}{11 + 0}$

Этап 11.2.2.2

Добавим $11$ и $0$ .

$S (0) = \frac{1000 \cdot 0}{11}$

Этап 11.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $1000$ на $0$ .

$S (0) = \frac{0}{11}$

Этап 11.2.3.2

Разделим $0$ на $11$ .

$S (0) = 0$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Это локальные экстремумы $S (t) = \frac{1000 t^{2}}{11 + t^{2}}$ .

$(0, 0)$ — локальный минимум

Этап 13