Математический анализ Примеры

$s (t) = \frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $\frac{1}{12}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ по $t$ равна $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = {(t - 1)}^{3}$ и $g (t) = 3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 1] + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $3 t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Этап 1.3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Этап 1.3.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Этап 1.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + 0) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Этап 1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \cdot 3 + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Этап 1.3.6.2

Перенесем $3$ влево от ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{12} (3 \cdot {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{3}$ и $g (t) = t - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Этап 1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Этап 1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перенесем $3$ влево от $3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 \cdot (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1])$

Этап 1.5.2

По правилу суммы производная $t - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Этап 1.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Этап 1.5.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + 0))$

Этап 1.5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \cdot 1)$

Этап 1.5.5.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3}) + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 1.6.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} {(t - 1)}^{3} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 1.6.3.2

Объединим $\frac{3}{12}$ и ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 1.6.3.3

Сократим общий множитель $3$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 ({(t - 1)}^{3})}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 1.6.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 1.6.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 1.6.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 1.6.3.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 1.6.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3) {(t - 1)}^{2})$

Этап 1.6.3.6

Объединим ${(t - 1)}^{2}$ и $\frac{1}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$

Этап 1.6.3.7

Чтобы записать $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot \frac{4}{4}$

Этап 1.6.3.8

Объединим $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Этап 1.6.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Этап 1.6.3.10

Объединим $4$ и $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)}{4}$

Этап 1.6.3.11

Сократим общий множитель $4$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.11.1

Вынесем множитель $4$ из $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 ({(t - 1)}^{2})}{12} (9 t + 3)}{4}$

Этап 1.6.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.11.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Этап 1.6.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Этап 1.6.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} (9 t + 3)}{4}$

Этап 1.6.4

Изменим порядок членов.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 1.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} \cdot - 1 + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 1.6.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 1.6.5.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 1.6.5.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 1.6.5.2.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 1.6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 9 t \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 1.6.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.4.1

Вынесем множитель $3$ из $9 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 1.6.5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 1.6.5.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 1.6.5.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 1.6.5.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.6.1

Перепишем ${(t - 1)}^{2}$ в виде $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t ((t - 1) (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.2

Развернем $(t - 1) (t - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t (t - 1) - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.6.3.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.3.1.3

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.3.1.4

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.3.2

Вычтем $t$ из $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 2 t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t \cdot t^{2} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.6.5.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.6.5.1.1

Перенесем $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.5.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.6.5.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t^{1}) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{2 + 1} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.5.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.5.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.6.6.1

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.6.6.1.1

Перенесем $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 (t \cdot t) + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.6.1.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.6.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.5.6.7

Перепишем ${(t - 1)}^{2}$ в виде $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + (t - 1) (t - 1)}{4}$

Этап 1.6.5.6.8

Развернем $(t - 1) (t - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.6.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t (t - 1) - 1 (t - 1)}{4}$

Этап 1.6.5.6.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)}{4}$

Этап 1.6.5.6.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Этап 1.6.5.6.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.6.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.6.9.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Этап 1.6.5.6.9.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Этап 1.6.5.6.9.1.3

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Этап 1.6.5.6.9.1.4

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1}{4}$

Этап 1.6.5.6.9.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t + 1}{4}$

Этап 1.6.5.6.9.2

Вычтем $t$ из $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 2 t + 1}{4}$

Этап 1.6.5.7

Добавим $- 6 t^{2}$ и $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + 3 t - 2 t + 1}{4}$

Этап 1.6.5.8

Вычтем $2 t$ из $3 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Этап 1.6.5.9

Добавим $t^{3}$ и $3 t^{3}$ .

$\frac{4 t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Этап 1.6.5.10

Вычтем $5 t^{2}$ из $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 3 t - 1 + t + 1}{4}$

Этап 1.6.5.11

Добавим $3 t$ и $t$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t - 1 + 1}{4}$

Этап 1.6.5.12

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 0}{4}$

Этап 1.6.5.13

Добавим $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ и $0$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Этап 1.6.5.14

Перепишем $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.14.1

Вынесем множитель $4 t$ из $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.14.1.1

Вынесем множитель $4 t$ из $4 t^{3}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Этап 1.6.5.14.1.2

Вынесем множитель $4 t$ из $- 8 t^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t}{4}$

Этап 1.6.5.14.1.3

Вынесем множитель $4 t$ из $4 t$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Этап 1.6.5.14.1.4

Вынесем множитель $4 t$ из $4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Этап 1.6.5.14.1.5

Вынесем множитель $4 t$ из $4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1)}{4}$

Этап 1.6.5.14.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.14.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1^{2})}{4}$

Этап 1.6.5.14.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Этап 1.6.5.14.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2})}{4}$

Этап 1.6.5.14.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = t$ и $b = 1$ .

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 1.6.6.2

Разделим $t {(t - 1)}^{2}$ на $1$ .

$t {(t - 1)}^{2}$

Этап 1.6.7

Перепишем ${(t - 1)}^{2}$ в виде $(t - 1) (t - 1)$ .

$t ((t - 1) (t - 1))$

Этап 1.6.8

Развернем $(t - 1) (t - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$t (t (t - 1) - 1 (t - 1))$

Этап 1.6.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1))$

Этап 1.6.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.6.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.9.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.6.9.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $t$ .

$t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.6.9.1.3

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.6.9.1.4

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1)$

Этап 1.6.9.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$t (t^{2} - t - t + 1)$

Этап 1.6.9.2

Вычтем $t$ из $- t$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1)$

Этап 1.6.10

Применим свойство дистрибутивности.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Этап 1.6.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.11.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.11.1.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.11.1.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$t^{1} t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Этап 1.6.11.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{1 + 2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Этап 1.6.11.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$t^{3} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Этап 1.6.11.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$t^{3} - 2 t \cdot t + t \cdot 1$

Этап 1.6.11.3

Умножим $t$ на $1$ .

$t^{3} - 2 t \cdot t + t$

Этап 1.6.12

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.12.1

Перенесем $t$ .

$t^{3} - 2 (t \cdot t) + t$

Этап 1.6.12.2

Умножим $t$ на $t$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $t^{3} - 2 t^{2} + t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$s'' (t) = \frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (t)$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} + \frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (t)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 2 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2 t^{2}$ по $t$ равна $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 2 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (t)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 2 (2 t) + \frac{d}{d t} (t)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 4 t + \frac{d}{d t} (t)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$s'' (t) = 3 t^{2} - 4 t + 1$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)]$

Этап 4.1.2

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \frac{d}{d t} [3 t + 1] + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

По правилу суммы производная $3 t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Этап 4.1.3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Этап 4.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Этап 4.1.3.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d t} [1]) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Этап 4.1.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} (3 + 0) + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Этап 4.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{1}{12} ({(t - 1)}^{3} \cdot 3 + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Этап 4.1.3.6.2

Перенесем $3$ влево от ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{12} (3 \cdot {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) \frac{d}{d t} [{(t - 1)}^{3}])$

Этап 4.1.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Этап 4.1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $t - 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 t + 1) (3 {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]))$

Этап 4.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Перенесем $3$ влево от $3 t + 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 \cdot (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \frac{d}{d t} [t - 1])$

Этап 4.1.5.2

По правилу суммы производная $t - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Этап 4.1.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1]))$

Этап 4.1.5.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} (1 + 0))$

Этап 4.1.5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2} \cdot 1)$

Этап 4.1.5.5.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + 3 (3 t + 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3} + (3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 4.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{12} (3 {(t - 1)}^{3}) + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 4.1.6.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.3.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} {(t - 1)}^{3} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 4.1.6.3.2

Объединим $\frac{3}{12}$ и ${(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 4.1.6.3.3

Сократим общий множитель $3$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(t - 1)}^{3}$ .

$\frac{3 ({(t - 1)}^{3})}{12} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 4.1.6.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 4.1.6.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 {(t - 1)}^{3}}{3 \cdot 4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 4.1.6.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((3 (3 t) + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 4.1.6.3.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3 \cdot 1) {(t - 1)}^{2})$

Этап 4.1.6.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{1}{12} ((9 t + 3) {(t - 1)}^{2})$

Этап 4.1.6.3.6

Объединим ${(t - 1)}^{2}$ и $\frac{1}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$

Этап 4.1.6.3.7

Чтобы записать $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot \frac{4}{4}$

Этап 4.1.6.3.8

Объединим $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3}}{4} + \frac{\frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Этап 4.1.6.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3) \cdot 4}{4}$

Этап 4.1.6.3.10

Объединим $4$ и $\frac{{(t - 1)}^{2}}{12}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{12} (9 t + 3)}{4}$

Этап 4.1.6.3.11

Сократим общий множитель $4$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.3.11.1

Вынесем множитель $4$ из $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 ({(t - 1)}^{2})}{12} (9 t + 3)}{4}$

Этап 4.1.6.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.3.11.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Этап 4.1.6.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{4 {(t - 1)}^{2}}{4 \cdot 3} (9 t + 3)}{4}$

Этап 4.1.6.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} (9 t + 3)}{4}$

Этап 4.1.6.4

Изменим порядок членов.

$\frac{{(t - 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 4.1.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{t^{3} + 3 t^{2} \cdot - 1 + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 4.1.6.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 4.1.6.5.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 4.1.6.5.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t + {(- 1)}^{3} + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 4.1.6.5.2.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + (9 t + 3) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 4.1.6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 9 t \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 4.1.6.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.4.1

Вынесем множитель $3$ из $9 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 4.1.6.5.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (3 t) \frac{{(t - 1)}^{2}}{3} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 4.1.6.5.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 4.1.6.5.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + 3 \frac{{(t - 1)}^{2}}{3}}{4}$

Этап 4.1.6.5.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t {(t - 1)}^{2} + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.6.1

Перепишем ${(t - 1)}^{2}$ в виде $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t ((t - 1) (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.2

Развернем $(t - 1) (t - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t (t - 1) - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.6.3.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.3.1.3

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.3.1.4

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - t - t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.3.2

Вычтем $t$ из $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t (t^{2} - 2 t + 1) + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t \cdot t^{2} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.6.5.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.6.5.1.1

Перенесем $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.5.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.6.5.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 (t^{2} t^{1}) + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{2 + 1} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.5.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 t (- 2 t) + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t \cdot 1 + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.5.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t \cdot t + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.6.6.1

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.6.6.1.1

Перенесем $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 (t \cdot t) + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.6.1.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} + 3 \cdot - 2 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.6.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.7

Перепишем ${(t - 1)}^{2}$ в виде $(t - 1) (t - 1)$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + (t - 1) (t - 1)}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.8

Развернем $(t - 1) (t - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.6.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t (t - 1) - 1 (t - 1)}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1)}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.6.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.6.9.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.9.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.9.1.3

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.9.1.4

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.9.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - t - t + 1}{4}$

Этап 4.1.6.5.6.9.2

Вычтем $t$ из $- t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 6 t^{2} + 3 t + t^{2} - 2 t + 1}{4}$

Этап 4.1.6.5.7

Добавим $- 6 t^{2}$ и $t^{2}$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + 3 t - 2 t + 1}{4}$

Этап 4.1.6.5.8

Вычтем $2 t$ из $3 t$ .

$\frac{t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 + 3 t^{3} - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Этап 4.1.6.5.9

Добавим $t^{3}$ и $3 t^{3}$ .

$\frac{4 t^{3} - 3 t^{2} + 3 t - 1 - 5 t^{2} + t + 1}{4}$

Этап 4.1.6.5.10

Вычтем $5 t^{2}$ из $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 3 t - 1 + t + 1}{4}$

Этап 4.1.6.5.11

Добавим $3 t$ и $t$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t - 1 + 1}{4}$

Этап 4.1.6.5.12

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t + 0}{4}$

Этап 4.1.6.5.13

Добавим $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ и $0$ .

$\frac{4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Этап 4.1.6.5.14

Перепишем $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.14.1

Вынесем множитель $4 t$ из $4 t^{3} - 8 t^{2} + 4 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.14.1.1

Вынесем множитель $4 t$ из $4 t^{3}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) - 8 t^{2} + 4 t}{4}$

Этап 4.1.6.5.14.1.2

Вынесем множитель $4 t$ из $- 8 t^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t}{4}$

Этап 4.1.6.5.14.1.3

Вынесем множитель $4 t$ из $4 t$ .

$\frac{4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Этап 4.1.6.5.14.1.4

Вынесем множитель $4 t$ из $4 t (t^{2}) + 4 t (- 2 t)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)}{4}$

Этап 4.1.6.5.14.1.5

Вынесем множитель $4 t$ из $4 t (t^{2} - 2 t) + 4 t (1)$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1)}{4}$

Этап 4.1.6.5.14.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.14.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{4 t (t^{2} - 2 t + 1^{2})}{4}$

Этап 4.1.6.5.14.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Этап 4.1.6.5.14.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{4 t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2})}{4}$

Этап 4.1.6.5.14.2.4

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 t {(t - 1)}^{2}}{4}$

Этап 4.1.6.6.2

Разделим $t {(t - 1)}^{2}$ на $1$ .

$t {(t - 1)}^{2}$

Этап 4.1.6.7

Перепишем ${(t - 1)}^{2}$ в виде $(t - 1) (t - 1)$ .

$t ((t - 1) (t - 1))$

Этап 4.1.6.8

Развернем $(t - 1) (t - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$t (t (t - 1) - 1 (t - 1))$

Этап 4.1.6.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 (t - 1))$

Этап 4.1.6.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$t (t \cdot t + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.1.6.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.9.1.1

Умножим $t$ на $t$ .

$t (t^{2} + t \cdot - 1 - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.1.6.9.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $t$ .

$t (t^{2} - 1 \cdot t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.1.6.9.1.3

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$t (t^{2} - t - 1 t - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.1.6.9.1.4

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$t (t^{2} - t - t - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.1.6.9.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$t (t^{2} - t - t + 1)$

Этап 4.1.6.9.2

Вычтем $t$ из $- t$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1)$

Этап 4.1.6.10

Применим свойство дистрибутивности.

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Этап 4.1.6.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.11.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.11.1.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.11.1.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$t^{1} t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Этап 4.1.6.11.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t^{1 + 2} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Этап 4.1.6.11.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$t^{3} + t (- 2 t) + t \cdot 1$

Этап 4.1.6.11.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$t^{3} - 2 t \cdot t + t \cdot 1$

Этап 4.1.6.11.3

Умножим $t$ на $1$ .

$t^{3} - 2 t \cdot t + t$

Этап 4.1.6.12

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.12.1

Перенесем $t$ .

$t^{3} - 2 (t \cdot t) + t$

Этап 4.1.6.12.2

Умножим $t$ на $t$ .

$f' (t) = t^{3} - 2 t^{2} + t$

Этап 4.2

Первая производная $s (t)$ по $t$ равна $t^{3} - 2 t^{2} + t$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$t^{3} - 2 t^{2} + t = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{3} - 2 t^{2} + t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{3}$ .

$t \cdot t^{2} - 2 t^{2} + t = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $t$ из $- 2 t^{2}$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t = 0$

Этап 5.2.1.3

Возведем $t$ в степень $1$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$t \cdot t^{2} + t (- 2 t) + t \cdot 1 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot t^{2} + t (- 2 t)$ .

$t (t^{2} - 2 t) + t \cdot 1 = 0$

Этап 5.2.1.6

Вынесем множитель $t$ из $t (t^{2} - 2 t) + t \cdot 1$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$t (t^{2} - 2 t + 1^{2}) = 0$

Этап 5.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 t = 2 \cdot t \cdot 1$

Этап 5.2.2.3

Перепишем многочлен.

$t (t^{2} - 2 \cdot t \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 5.2.2.4

$t {(t - 1)}^{2} = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t = 0$

${(t - 1)}^{2} = 0$

Этап 5.4

Приравняем $t$ к $0$ .

$t = 0$

Этап 5.5

Приравняем ${(t - 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем ${(t - 1)}^{2}$ к $0$ .

${(t - 1)}^{2} = 0$

Этап 5.5.2

Решим ${(t - 1)}^{2} = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Приравняем $t - 1$ к $0$ .

$t - 1 = 0$

Этап 5.5.2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$t = 1$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $t {(t - 1)}^{2} = 0$ верно.

$t = 0, 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$t = 0, 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $t = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$3 {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Этап 9.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$0 - 4 \cdot 0 + 1$

Этап 9.1.3

Умножим $- 4$ на $0$ .

$0 + 0 + 1$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 1$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 10

$t = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$t = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $t = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $0$ .

$s (0) = \frac{{((0) - 1)}^{3} (3 (0) + 1)}{12}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} (3 (0) + 1)}{12}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} (0 + 1)}{12}$

Этап 11.2.1.3

Добавим $0$ и $1$ .

$s (0) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 1}{12}$

Этап 11.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$s (0) = \frac{- 1 \cdot 1}{12}$

Этап 11.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$s (0) = \frac{- 1}{12}$

Этап 11.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$s (0) = - \frac{1}{12}$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1}{12}$ .

$y = - \frac{1}{12}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $t = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$3 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 + 1$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 1$

Этап 13.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 - 4 \cdot 1 + 1$

Этап 13.1.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$3 - 4 + 1$

Этап 13.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $4$ из $3$ .

$- 1 + 1$

Этап 13.2.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$0$

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $t$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $t^{3} - 2 t^{2} + t$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $- 2$ .

$s' (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Этап 14.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Избавимся от скобок.

$s' (- 2) = {(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Этап 14.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$s' (- 2) = - 8 - 2 {(- 2)}^{2} - 2$

Этап 14.2.2.2.2

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.2.1

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $1$ .

$s' (- 2) = - 8 + (- 2) {(- 2)}^{2} - 2$

Этап 14.2.2.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$s' (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{1 + 2} - 2$

Этап 14.2.2.2.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$s' (- 2) = - 8 + {(- 2)}^{3} - 2$

Этап 14.2.2.2.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$s' (- 2) = - 8 - 8 - 2$

Этап 14.2.2.3

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.3.1

Вычтем $8$ из $- 8$ .

$s' (- 2) = - 16 - 2$

Этап 14.2.2.3.2

Вычтем $2$ из $- 16$ .

$s' (- 2) = - 18$

Этап 14.2.2.4

Окончательный ответ: $- 18$ .

$- 18$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $0.5$ , из интервала $(0, 1)$ в первую производную $t^{3} - 2 t^{2} + t$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $0.5$ .

$s' (0.5) = {(0.5)}^{3} - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Избавимся от скобок.

$s' (0.5) = {(0.5)}^{3} - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Этап 14.3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.2.1

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 2 {(0.5)}^{2} + 0.5$

Этап 14.3.2.2.2

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 2 \cdot 0.25 + 0.5$

Этап 14.3.2.2.3

Умножим $- 2$ на $0.25$ .

$s' (0.5) = 0.125 - 0.5 + 0.5$

Этап 14.3.2.3

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.3.1

Вычтем $0.5$ из $0.125$ .

$s' (0.5) = - 0.375 + 0.5$

Этап 14.3.2.3.2

Добавим $- 0.375$ и $0.5$ .

$s' (0.5) = 0.125$

Этап 14.3.2.4

Окончательный ответ: $0.125$ .

$0.125$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(1, \infty)$ в первую производную $t^{3} - 2 t^{2} + t$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $4$ .

$s' (4) = {(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Избавимся от скобок.

$s' (4) = {(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Этап 14.4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.2.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$s' (4) = 64 - 2 {(4)}^{2} + 4$

Этап 14.4.2.2.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$s' (4) = 64 - 2 \cdot 16 + 4$

Этап 14.4.2.2.3

Умножим $- 2$ на $16$ .

$s' (4) = 64 - 32 + 4$

Этап 14.4.2.3

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.3.1

Вычтем $32$ из $64$ .

$s' (4) = 32 + 4$

Этап 14.4.2.3.2

Добавим $32$ и $4$ .

$s' (4) = 36$

Этап 14.4.2.4

Окончательный ответ: $36$ .

$36$

Этап 14.5

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $t = 0$ , $t = 0$ — локальный минимум.

$t = 0$ — локальный минимум

Этап 14.6

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $t = 1$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 14.7

Это локальные экстремумы $s (t) = \frac{{(t - 1)}^{3} (3 t + 1)}{12}$ .

$t = 0$ — локальный минимум

Этап 15