Математический анализ Примеры

$R (x) = 4000 {(1 - \frac{x}{300})}^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 - \frac{x}{300})}^{2}$ в виде $(1 - \frac{x}{300}) (1 - \frac{x}{300})$ .

$\frac{d}{d x} [4000 ((1 - \frac{x}{300}) (1 - \frac{x}{300}))]$

Этап 1.2

Развернем $(1 - \frac{x}{300}) (1 - \frac{x}{300})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 (1 - \frac{x}{300}) - \frac{x}{300} (1 - \frac{x}{300}))]$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{300}) - \frac{x}{300} (1 - \frac{x}{300}))]$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{300}) - \frac{x}{300} \cdot 1 - \frac{x}{300} (- \frac{x}{300}))]$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 1 (- \frac{x}{300}) - \frac{x}{300} \cdot 1 - \frac{x}{300} (- \frac{x}{300}))]$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- \frac{x}{300}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} \cdot 1 - \frac{x}{300} (- \frac{x}{300}))]$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} (- \frac{x}{300}))]$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- \frac{x}{300} (- \frac{x}{300})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + 1 \frac{x}{300} \frac{x}{300})]$

Этап 1.3.1.4.2

Умножим $\frac{x}{300}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x}{300} \cdot \frac{x}{300})]$

Этап 1.3.1.4.3

Умножим $\frac{x}{300}$ на $\frac{x}{300}$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x \cdot x}{300 \cdot 300})]$

Этап 1.3.1.4.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{1} x}{300 \cdot 300})]$

Этап 1.3.1.4.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{1} x^{1}}{300 \cdot 300})]$

Этап 1.3.1.4.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{1 + 1}}{300 \cdot 300})]$

Этап 1.3.1.4.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{300 \cdot 300})]$

Этап 1.3.1.4.8

Умножим $300$ на $300$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Этап 1.3.2

Вычтем $\frac{x}{300}$ из $- \frac{x}{300}$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - 2 \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Этап 1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 (- 1) \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Этап 1.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $300$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 150} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Этап 1.4.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 150} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Этап 1.4.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - 1 \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Этап 1.4.2

Перепишем $- 1 \frac{x}{150}$ в виде $- \frac{x}{150}$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Этап 1.5

Поскольку $4000$ является константой относительно $x$ , производная $4000 (1 - \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000})$ по $x$ равна $4000 \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000}]$ .

$4000 \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000}]$

Этап 1.6

По правилу суммы производная $1 - \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}]$ .

$4000 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Этап 1.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4000 (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Этап 1.8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}]$ .

$4000 (\frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Этап 1.9

Поскольку $- \frac{1}{150}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{150}$ по $x$ равна $- \frac{1}{150} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4000 (- \frac{1}{150} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Этап 1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4000 (- \frac{1}{150} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Этап 1.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Этап 1.12

Поскольку $\frac{1}{90000}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{90000}$ по $x$ равна $\frac{1}{90000} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{1}{90000} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{1}{90000} (2 x))$

Этап 1.14

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{90000}$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2}{90000} x)$

Этап 1.14.2

Объединим $\frac{2}{90000}$ и $x$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2 x}{90000})$

Этап 1.14.3

Сократим общий множитель $2$ и $90000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2 (x)}{90000})$

Этап 1.14.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $90000$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2 x}{2 \cdot 45000})$

Этап 1.14.3.2.2

Сократим общий множитель.

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2 x}{2 \cdot 45000})$

Этап 1.14.3.2.3

Перепишем это выражение.

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{x}{45000})$

Этап 1.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4000 (- \frac{1}{150}) + 4000 \frac{x}{45000}$

Этап 1.15.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.2.1

Умножим $- 1$ на $4000$ .

$- 4000 (\frac{1}{150}) + 4000 \frac{x}{45000}$

Этап 1.15.2.2

Объединим $- 4000$ и $\frac{1}{150}$ .

$\frac{- 4000}{150} + 4000 \frac{x}{45000}$

Этап 1.15.2.3

Сократим общий множитель $- 4000$ и $150$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.2.3.1

Вынесем множитель $50$ из $- 4000$ .

$\frac{50 (- 80)}{150} + 4000 \frac{x}{45000}$

Этап 1.15.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.2.3.2.1

Вынесем множитель $50$ из $150$ .

$\frac{50 \cdot - 80}{50 \cdot 3} + 4000 \frac{x}{45000}$

Этап 1.15.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{50 \cdot - 80}{50 \cdot 3} + 4000 \frac{x}{45000}$

Этап 1.15.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 80}{3} + 4000 \frac{x}{45000}$

Этап 1.15.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{80}{3} + 4000 \frac{x}{45000}$

Этап 1.15.2.5

Объединим $4000$ и $\frac{x}{45000}$ .

$- \frac{80}{3} + \frac{4000 x}{45000}$

Этап 1.15.2.6

Сократим общий множитель $4000$ и $45000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.2.6.1

Вынесем множитель $1000$ из $4000 x$ .

$- \frac{80}{3} + \frac{1000 (4 x)}{45000}$

Этап 1.15.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.15.2.6.2.1

Вынесем множитель $1000$ из $45000$ .

$- \frac{80}{3} + \frac{1000 (4 x)}{1000 (45)}$

Этап 1.15.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{80}{3} + \frac{1000 (4 x)}{1000 \cdot 45}$

Этап 1.15.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{80}{3} + \frac{4 x}{45}$

Этап 1.15.3

Изменим порядок членов.

$\frac{4 x}{45} - \frac{80}{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{4 x}{45} - \frac{80}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{45}] + \frac{d}{d x} [- \frac{80}{3}]$ .

$R'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x}{45}) + \frac{d}{d x} (- \frac{80}{3})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{45}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{4}{45}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x}{45}$ по $x$ равна $\frac{4}{45} \frac{d}{d x} [x]$ .

$R'' (x) = \frac{4}{45} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{80}{3})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$R'' (x) = \frac{4}{45} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{80}{3})$

Этап 2.2.3

Умножим $\frac{4}{45}$ на $1$ .

$R'' (x) = \frac{4}{45} + \frac{d}{d x} (- \frac{80}{3})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- \frac{80}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{80}{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$R'' (x) = \frac{4}{45} + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $\frac{4}{45}$ и $0$ .

$R'' (x) = \frac{4}{45}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{4 x}{45} - \frac{80}{3} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем ${(1 - \frac{x}{300})}^{2}$ в виде $(1 - \frac{x}{300}) (1 - \frac{x}{300})$ .

$\frac{d}{d x} [4000 ((1 - \frac{x}{300}) (1 - \frac{x}{300}))]$

Этап 4.1.2

Развернем $(1 - \frac{x}{300}) (1 - \frac{x}{300})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 (1 - \frac{x}{300}) - \frac{x}{300} (1 - \frac{x}{300}))]$

Этап 4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{300}) - \frac{x}{300} (1 - \frac{x}{300}))]$

Этап 4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 \cdot 1 + 1 (- \frac{x}{300}) - \frac{x}{300} \cdot 1 - \frac{x}{300} (- \frac{x}{300}))]$

Этап 4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 1 (- \frac{x}{300}) - \frac{x}{300} \cdot 1 - \frac{x}{300} (- \frac{x}{300}))]$

Этап 4.1.3.1.2

Умножим $- \frac{x}{300}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} \cdot 1 - \frac{x}{300} (- \frac{x}{300}))]$

Этап 4.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} (- \frac{x}{300}))]$

Этап 4.1.3.1.4

Умножим $- \frac{x}{300} (- \frac{x}{300})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + 1 \frac{x}{300} \frac{x}{300})]$

Этап 4.1.3.1.4.2

Умножим $\frac{x}{300}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x}{300} \cdot \frac{x}{300})]$

Этап 4.1.3.1.4.3

Умножим $\frac{x}{300}$ на $\frac{x}{300}$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x \cdot x}{300 \cdot 300})]$

Этап 4.1.3.1.4.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{1} x}{300 \cdot 300})]$

Этап 4.1.3.1.4.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{1} x^{1}}{300 \cdot 300})]$

Этап 4.1.3.1.4.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{1 + 1}}{300 \cdot 300})]$

Этап 4.1.3.1.4.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{300 \cdot 300})]$

Этап 4.1.3.1.4.8

Умножим $300$ на $300$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{300} - \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Этап 4.1.3.2

Вычтем $\frac{x}{300}$ из $- \frac{x}{300}$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - 2 \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Этап 4.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 (- 1) \frac{x}{300} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Этап 4.1.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $300$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 150} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Этап 4.1.4.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2 \cdot 150} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Этап 4.1.4.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - 1 \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Этап 4.1.4.2

Перепишем $- 1 \frac{x}{150}$ в виде $- \frac{x}{150}$ .

$\frac{d}{d x} [4000 (1 - \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000})]$

Этап 4.1.5

$4000 \frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{150} + \frac{x^{2}}{90000}]$

Этап 4.1.6

$4000 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Этап 4.1.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4000 (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Этап 4.1.8

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}]$ .

$4000 (\frac{d}{d x} [- \frac{x}{150}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Этап 4.1.9

$4000 (- \frac{1}{150} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Этап 4.1.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4000 (- \frac{1}{150} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Этап 4.1.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{90000}])$

Этап 4.1.12

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{1}{90000} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 4.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{1}{90000} (2 x))$

Этап 4.1.14

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{90000}$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2}{90000} x)$

Этап 4.1.14.2

Объединим $\frac{2}{90000}$ и $x$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2 x}{90000})$

Этап 4.1.14.3

Сократим общий множитель $2$ и $90000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2 (x)}{90000})$

Этап 4.1.14.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $90000$ .

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2 x}{2 \cdot 45000})$

Этап 4.1.14.3.2.2

Сократим общий множитель.

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{2 x}{2 \cdot 45000})$

Этап 4.1.14.3.2.3

Перепишем это выражение.

$4000 (- \frac{1}{150} + \frac{x}{45000})$

Этап 4.1.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4000 (- \frac{1}{150}) + 4000 \frac{x}{45000}$

Этап 4.1.15.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.2.1

Умножим $- 1$ на $4000$ .

$- 4000 (\frac{1}{150}) + 4000 \frac{x}{45000}$

Этап 4.1.15.2.2

Объединим $- 4000$ и $\frac{1}{150}$ .

$\frac{- 4000}{150} + 4000 \frac{x}{45000}$

Этап 4.1.15.2.3

Сократим общий множитель $- 4000$ и $150$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.2.3.1

Вынесем множитель $50$ из $- 4000$ .

$\frac{50 (- 80)}{150} + 4000 \frac{x}{45000}$

Этап 4.1.15.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.2.3.2.1

Вынесем множитель $50$ из $150$ .

$\frac{50 \cdot - 80}{50 \cdot 3} + 4000 \frac{x}{45000}$

Этап 4.1.15.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{50 \cdot - 80}{50 \cdot 3} + 4000 \frac{x}{45000}$

Этап 4.1.15.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 80}{3} + 4000 \frac{x}{45000}$

Этап 4.1.15.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{80}{3} + 4000 \frac{x}{45000}$

Этап 4.1.15.2.5

Объединим $4000$ и $\frac{x}{45000}$ .

$- \frac{80}{3} + \frac{4000 x}{45000}$

Этап 4.1.15.2.6

Сократим общий множитель $4000$ и $45000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.2.6.1

Вынесем множитель $1000$ из $4000 x$ .

$- \frac{80}{3} + \frac{1000 (4 x)}{45000}$

Этап 4.1.15.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.15.2.6.2.1

Вынесем множитель $1000$ из $45000$ .

$- \frac{80}{3} + \frac{1000 (4 x)}{1000 (45)}$

Этап 4.1.15.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{80}{3} + \frac{1000 (4 x)}{1000 \cdot 45}$

Этап 4.1.15.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{80}{3} + \frac{4 x}{45}$

Этап 4.1.15.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{4 x}{45} - \frac{80}{3}$

Этап 4.2

Первая производная $R (x)$ по $x$ равна $\frac{4 x}{45} - \frac{80}{3}$ .

$\frac{4 x}{45} - \frac{80}{3}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 x}{45} - \frac{80}{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4 x}{45} - \frac{80}{3} = 0$

Этап 5.2

Добавим $\frac{80}{3}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{4 x}{45} = \frac{80}{3}$

Этап 5.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{45}{4}$ .

$\frac{45}{4} \cdot \frac{4 x}{45} = \frac{45}{4} \cdot \frac{80}{3}$

Этап 5.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Упростим $\frac{45}{4} \cdot \frac{4 x}{45}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Сократим общий множитель $45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{45}{4} \cdot \frac{4 x}{45} = \frac{45}{4} \cdot \frac{80}{3}$

Этап 5.4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{45}{4} \cdot \frac{80}{3}$

Этап 5.4.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{1}{4} (4 (x)) = \frac{45}{4} \cdot \frac{80}{3}$

Этап 5.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{45}{4} \cdot \frac{80}{3}$

Этап 5.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{45}{4} \cdot \frac{80}{3}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим $\frac{45}{4} \cdot \frac{80}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $45$ .

$x = \frac{3 (15)}{4} \cdot \frac{80}{3}$

Этап 5.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 \cdot 15}{4} \cdot \frac{80}{3}$

Этап 5.4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{15}{4} \cdot 80$

Этап 5.4.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $80$ .

$x = \frac{15}{4} \cdot (4 (20))$

Этап 5.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{15}{4} \cdot (4 \cdot 20)$

Этап 5.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = 15 \cdot 20$

Этап 5.4.2.1.3

Умножим $15$ на $20$ .

$x = 300$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 300$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 300$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4}{45}$

Этап 9

$x = 300$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 300$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = 300$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $300$ .

$R (300) = 4000 {(1 - \frac{300}{300})}^{2}$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Сократим общий множитель $300$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$R (300) = 4000 {(1 - \frac{300}{300})}^{2}$

Этап 10.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$R (300) = 4000 {(1 - 1 \cdot 1)}^{2}$

Этап 10.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$R (300) = 4000 {(1 - 1)}^{2}$

Этап 10.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$R (300) = 4000 \cdot 0^{2}$

Этап 10.2.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$R (300) = 4000 \cdot 0$

Этап 10.2.2.3

Умножим $4000$ на $0$ .

$R (300) = 0$

Этап 10.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 11

Это локальные экстремумы $R (x) = 4000 {(1 - \frac{x}{300})}^{2}$ .

$(300, 0)$ — локальный минимум

Этап 12