Математический анализ Примеры

$p (x) = x^{2} (a - x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = a - x$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $a - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{2} \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$- 1 \cdot x^{2} + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.6.3

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$- x^{2} + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- x^{2} + (a - x) (2 x)$

Этап 1.2.8

Перенесем $2$ влево от $a - x$ .

$- x^{2} + 2 \cdot (a - x) x$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} + (2 a + 2 (- x)) x$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} + 2 a x + 2 (- x) x$

Этап 1.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 x \cdot x$

Этап 1.3.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 (x^{1} x)$

Этап 1.3.3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 (x^{1} x^{1})$

Этап 1.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{2} + 2 a x - 2 x^{1 + 1}$

Этап 1.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 x^{2}$

Этап 1.3.3.6

Вычтем $2 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 a x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + 2 a x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 a x]$ .

$p'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$p'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$p'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$p'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 a x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2 a$ является константой относительно $x$ , производная $2 a x$ по $x$ равна $2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$p'' (x) = - 6 x + 2 a \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$p'' (x) = - 6 x + 2 a \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$p'' (x) = - 6 x + 2 a$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$p'' (x) = 2 a - 6 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 3 x^{2} + 2 a x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $a - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{2} \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$- 1 \cdot x^{2} + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2.6.3

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$- x^{2} + (a - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- x^{2} + (a - x) (2 x)$

Этап 4.1.2.8

Перенесем $2$ влево от $a - x$ .

$- x^{2} + 2 \cdot (a - x) x$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} + (2 a + 2 (- x)) x$

Этап 4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} + 2 a x + 2 (- x) x$

Этап 4.1.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 x \cdot x$

Этап 4.1.3.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 (x^{1} x)$

Этап 4.1.3.3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 (x^{1} x^{1})$

Этап 4.1.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{2} + 2 a x - 2 x^{1 + 1}$

Этап 4.1.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- x^{2} + 2 a x - 2 x^{2}$

Этап 4.1.3.3.6

Вычтем $2 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 a x$

Этап 4.2

Первая производная $p (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 2 a x$ .

$- 3 x^{2} + 2 a x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} + 2 a x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 a x = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2} + 2 a x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2}$ .

$x (- 3 x) + 2 a x = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $x$ из $2 a x$ .

$x (- 3 x) + x (2 a) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 3 x) + x (2 a)$ .

$x (- 3 x + 2 a) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$- 3 x + 2 a = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $- 3 x + 2 a$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $- 3 x + 2 a$ к $0$ .

$- 3 x + 2 a = 0$

Этап 5.5.2

Решим $- 3 x + 2 a = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $2 a$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x = - 2 a$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $- 3 x = - 2 a$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $- 3 x = - 2 a$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 a}{- 3}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{2 a}{3}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (- 3 x + 2 a) = 0$ верно.

$x = 0$

$x = \frac{2 a}{3}$

$x = 0$

$x = \frac{2 a}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

$x = \frac{2 a}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 a - 6 \cdot 0$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 6$ на $0$ .

$2 a + 0$

Этап 9.2

Добавим $2 a$ и $0$ .

$2 a$

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11