Математический анализ Примеры

$r (t) = (3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $(3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ .

$\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3 i$ является константой относительно $t$ , производная $3 \sin (t) i$ по $t$ равна $3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Этап 1.2.2

Производная $\sin (t)$ по $t$ равна $\cos (t)$ .

$3 i \cos (t) + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 5 j$ является константой относительно $t$ , производная $- 5 \cos (3 t) j$ по $t$ равна $- 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$ .

$3 i \cos (t) - 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \cos (t)$ и $g (t) = 3 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 t$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Этап 1.3.2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 t$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Этап 1.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Этап 1.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Этап 1.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 i \cos (t) - 5 j (- 3 \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Этап 1.3.7

Умножим $- 3$ на $- 5$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $k$ является константой относительно $t$ , производная $e^{- 7 t} k$ по $t$ равна $k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$

Этап 1.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 7 t$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 7 t])$

Этап 1.4.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

Этап 1.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 7 t$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

Этап 1.4.3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $t$ , производная $- 7 t$ по $t$ равна $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 1.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

Этап 1.4.5

Умножим $- 7$ на $1$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

Этап 1.4.6

Перенесем $- 7$ влево от $e^{- 7 t}$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (- 7 e^{- 7 t})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Изменим порядок членов.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$

Этап 1.5.2

Изменим порядок множителей в $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$ .

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)] + \frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ .

$r'' (t) = \frac{d}{d t} (3 i \cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3 i$ является константой относительно $t$ , производная $3 i \cos (t)$ по $t$ равна $3 i \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$r'' (t) = 3 i \frac{d}{d t} (\cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$r'' (t) = 3 i (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $15 j$ является константой относительно $t$ , производная $15 j \sin (3 t)$ по $t$ равна $15 j \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j \frac{d}{d t} (\sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Этап 2.3.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Этап 2.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} (t))) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Этап 2.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Этап 2.3.6

Перенесем $3$ влево от $\cos (3 t)$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (3 \cdot \cos (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Этап 2.3.7

Умножим $3$ на $15$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 7 k$ является константой относительно $t$ , производная $- 7 k e^{- 7 t}$ по $t$ равна $- 7 k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k \frac{d}{d t} e^{- 7 t}$

Этап 2.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 7 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- 7 t))$

Этап 2.4.2.2

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

Этап 2.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 7 t$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

Этап 2.4.3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $t$ , производная $- 7 t$ по $t$ равна $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} t))$

Этап 2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

Этап 2.4.5

Умножим $- 7$ на $1$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

Этап 2.4.6

Перенесем $- 7$ влево от $e^{- 7 t}$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (- 7 \cdot e^{- 7 t})$

Этап 2.4.7

Умножим $- 7$ на $- 7$ .

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + 49 k e^{- 7 t}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t} = 0$

Этап 4

Найдем вторую производную в $t = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 3 i \sin (0) + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Этап 5

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 3 i \cdot 0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Этап 5.1.2

Умножим $0$ на $- 3$ .

$0 i + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Этап 5.1.3

Умножим $0$ на $i$ .

$0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Этап 5.1.4

Умножим $3$ на $0$ .

$0 + 45 j \cos (0) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Этап 5.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$0 + 45 j \cdot 1 + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Этап 5.1.6

Умножим $45$ на $1$ .

$0 + 45 j + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

Этап 5.1.7

Умножим $- 7$ на $0$ .

$0 + 45 j + 49 k e^{0}$

Этап 5.1.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 45 j + 49 k \cdot 1$

Этап 5.1.9

Умножим $49$ на $1$ .

$0 + 45 j + 49 k$

Этап 5.2

Добавим $0$ и $45 j$ .

$45 j + 49 k$

Этап 6

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 7