Математический анализ Примеры

$k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 \cos (x) - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) - \cos (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 2 \sin (x) - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$k'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$k'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Этап 2.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + 1 \sin (x)$

Этап 2.3.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$k'' (x) = - 2 \cos (x) + \sin (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 \sin (x) - \cos (x) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5

Разделим дроби.

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 8

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель.

$- 2 \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 8.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 9

Разделим дроби.

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 10

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 11

Разделим $0$ на $1$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Этап 12

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$- 2 \tan (x) - 1 = 0$

Этап 13

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- 2 \tan (x) = 1$

Этап 14

Разделим каждый член $- 2 \tan (x) = 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разделим каждый член $- 2 \tan (x) = 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 14.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \tan (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 14.2.1.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 2}$

Этап 14.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 15

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \frac{1}{2})$

Этап 16

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Найдем значение $\arctan (- \frac{1}{2})$ .

$x = - 0.4636476$

Этап 17

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - 0.4636476 - (3.14159265)$

Этап 18

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Добавим $2 π$ к $- 0.4636476 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.4636476 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 18.2

Результирующий угол $2.67794504$ является положительным и отличается от $- 0.4636476 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$x = 2.67794504$

Этап 19

Решение уравнения $x = - 0.4636476$ .

$x = - 0.4636476, 2.67794504$

Этап 20

Найдем вторую производную в $x = - 0.4636476$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos (- 0.4636476) + \sin (- 0.4636476)$

Этап 21

$x = - 0.4636476$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 0.4636476$ — локальный максимум

Этап 22

Найдем значение y, если $x = - 0.4636476$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.4636476$ .

$k (- 0.4636476) = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

Этап 22.2

Окончательный ответ: $2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$ .

$y = 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476)$

Этап 23

Найдем вторую производную в $x = 2.67794504$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos (2.67794504) + \sin (2.67794504)$

Этап 24

$x = 2.67794504$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2.67794504$ — локальный минимум

Этап 25

Найдем значение y, если $x = 2.67794504$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 25.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.67794504$ .

$k (2.67794504) = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

Этап 25.2

Окончательный ответ: $2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$ .

$y = 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504)$

Этап 26

Это локальные экстремумы $k (x) = 2 \cos (x) - \sin (x)$ .

$(- 0.4636476, 2 \cos (- 0.4636476) - \sin (- 0.4636476))$ — локальный максимум

$(2.67794504, 2 \cos (2.67794504) - \sin (2.67794504))$ — локальный минимум

Этап 27