Математический анализ Примеры

$k (x) = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Этап 1.4

Упростим.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 1.5

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 1.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 1.6.2

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 1.7

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 1.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 1.7.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 1.7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 1.7.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 1.8

Умножим $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$ на $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 1.9

Объединим.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 1.11

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 1.11.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 1.12

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

Этап 1.12.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 1.12.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 1.12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 1.12.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.14

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.15

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.17.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.17.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.18

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.18.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.18.3

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \ln (x)}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.18.4

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.18.5

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.18.6

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.18.7

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.19

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.19.1

Перепишем $\frac{\ln (x)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$\frac{1 - (\frac{1}{2} \ln (x))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1.19.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (x)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.2.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x^{\frac{1}{2}})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{\frac{1}{2}})) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{3}{2}} (- (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.4

Объединим $x^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.5

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.6

Умножим $x^{\frac{3}{2}}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{3 - 1}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.6.3

Вычтем $1$ из $3$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.6.4

Разделим $2$ на $2$ .

$k'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.7

Упростим $x^{1}$ .

$k'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.8

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.10

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.12.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$k'' (x) = \frac{- x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{- x \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.15

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.16

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.16.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.16.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.16.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.16.4

Добавим $- 1$ и $2$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2}}}{x^{3}}$

Этап 2.17

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

Этап 2.18

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

Этап 2.19

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Этап 2.20

Объединим числители над общим знаменателем.

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

Этап 2.21

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

Этап 2.21.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

Этап 2.22

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

Этап 2.23

Чтобы записать $- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{2}{2}}{x^{3}}$

Этап 2.24

Объединим $- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 2}{2}}{x^{3}}$

Этап 2.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 2}{2}}{x^{3}}$

Этап 2.26

Умножим $2$ на $- 1$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 2 (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{2}}{x^{3}}$

Этап 2.27

Объединим $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $- 2$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Этап 2.28

Умножим $- 2$ на $3$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Этап 2.29

Вынесем множитель $2$ из $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Этап 2.30

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.30.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Этап 2.30.2

Сократим общий множитель.

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- 3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Этап 2.30.3

Перепишем это выражение.

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{1} \cdot (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Этап 2.30.4

Разделим $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$k'' (x) = \frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$

Этап 2.31

Перепишем $\frac{\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}}{x^{3}}$ в виде произведения.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.32

Умножим $\frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2}$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

Этап 2.33

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.33.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

Этап 2.33.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.33.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.33.2.1.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{3}}$

Этап 2.33.2.1.2

Умножим $- 3 x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x^{\frac{1}{2}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.33.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{3}}$

Этап 2.33.2.1.2.2

Упростим $3 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{3})}{2 x^{3}}$

Этап 2.33.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.33.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 3})}{2 x^{3}}$

Этап 2.33.2.1.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$k'' (x) = \frac{- x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})}{2 x^{3}}$

Этап 2.33.2.2

Вычтем $3 x^{\frac{1}{2}}$ из $- x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{- 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})}{2 x^{3}}$

Этап 2.33.3

Изменим порядок членов.

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

Этап 2.33.4

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.33.4.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} \ln (x^{\frac{3}{2}})$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) - 4 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{3}}$

Этап 2.33.4.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4}{2 x^{3}}$

Этап 2.33.4.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}})) + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4$ .

$k'' (x) = \frac{x^{\frac{1}{2}} (\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4)}{2 x^{3}}$

Этап 2.33.5

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 2.33.6

Умножим $x^{3}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.33.6.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

Этап 2.33.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Этап 2.33.6.3

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Этап 2.33.6.4

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Этап 2.33.6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Этап 2.33.6.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.33.6.6.1

Умножим $3$ на $2$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Этап 2.33.6.6.2

Добавим $- 1$ и $6$ .

$k'' (x) = \frac{\ln (x^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 4.1.2

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Этап 4.1.4

Упростим.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.1.5

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.1.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.1.6.2

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.1.7

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.1.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.1.7.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.1.7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.1.7.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.1.8

Умножим $\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$ на $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 4.1.9

Объединим.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 4.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 4.1.11

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 4.1.11.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 4.1.12

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.12.1

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.12.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2}} x^{1}}$

Этап 4.1.12.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 4.1.12.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 4.1.12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 4.1.12.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.13

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.14

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.15

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.17.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.17.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.18

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.18.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.18.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.18.3

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \ln (x)}{2})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.18.4

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.18.5

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.18.6

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - \frac{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.18.7

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - \frac{\ln (x)}{2}}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.19

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.19.1

Перепишем $\frac{\ln (x)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$\frac{1 - (\frac{1}{2} \ln (x))}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.1.19.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (x)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.2

Первая производная $k (x)$ по $x$ равна $\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{1 - \ln (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 - \ln (x^{\frac{1}{2}}) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$

Этап 5.3.2

Разделим каждый член $- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $- \ln (x^{\frac{1}{2}}) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{\frac{1}{2}})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (x^{\frac{1}{2}})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ на $1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}}) = 1$

Этап 5.3.3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})} = e^{1}$

Этап 5.3.4

Перепишем $\ln (x^{\frac{1}{2}}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.3.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{\frac{1}{2}} = e^{1}$ .

$x^{\frac{1}{2}} = e$

Этап 5.3.5.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{1})}^{2}$

Этап 5.3.5.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{1})}^{2}$

Этап 5.3.5.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{1})}^{2}$

Этап 5.3.5.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(e^{1})}^{2}$

Этап 5.3.5.3.1.1.2

Упростим.

$x = {(e^{1})}^{2}$

Этап 5.3.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = e^{1 \cdot 2}$

Этап 5.3.5.3.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = e^{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x^{1}})}{x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x^{1}})}{\sqrt{x^{3}}}$

Этап 6.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{1 - \ln (\sqrt{x})}{\sqrt{x^{3}}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{1 - \ln (\sqrt{x})}{\sqrt{x^{3}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x^{3}} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{3} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 6.3.3.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 6.3.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 6.4

Зададим аргумент в $\ln (\sqrt{x})$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x} \leq 0$

Этап 6.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 6.5.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 6.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Этап 6.5.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Этап 6.5.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} \leq 0^{2}$

Этап 6.5.2.2.1.2

Упростим.

$x \leq 0^{2}$

Этап 6.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x \leq 0$

Этап 6.6

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x < 0$

Этап 6.7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{3}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} < 0$

Этап 6.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Этап 6.8.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < \sqrt[3]{0}$

Этап 6.8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 6.8.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < 0$

Этап 6.9

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = e^{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = e^{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{\ln ({(e^{2})}^{\frac{3}{2}}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (e^{2 (\frac{3}{2})}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 9.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (e^{2 (\frac{3}{2})}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 9.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (e^{3}) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 9.1.2

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $3$ из степени.

$\frac{3 \ln (e) - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 9.1.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 9.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 - 4}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 9.1.5

Вычтем $4$ из $3$ .

$\frac{- 1}{2 {(e^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 9.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{2})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1}{2 e^{2 (\frac{5}{2})}}$

Этап 9.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 e^{2 (\frac{5}{2})}}$

Этап 9.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{2 e^{5}}$

Этап 9.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2 e^{5}}$

Этап 10

$x = e^{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = e^{2}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = e^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $e^{2}$ .

$k (e^{2}) = \frac{\ln (e^{2})}{\sqrt{e^{2}}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Избавимся от скобок.

$k (e^{2}) = \frac{\ln (e^{2})}{\sqrt{e^{2}}}$

Этап 11.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $2$ из степени.

$k (e^{2}) = \frac{2 \ln (e)}{\sqrt{e^{2}}}$

Этап 11.2.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$k (e^{2}) = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{e^{2}}}$

Этап 11.2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$k (e^{2}) = \frac{2}{\sqrt{e^{2}}}$

Этап 11.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$k (e^{2}) = \frac{2}{e}$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $\frac{2}{e}$ .

$y = \frac{2}{e}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $k (x) = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ .

$(e^{2}, \frac{2}{e})$ — локальный максимум

Этап 13