Математический анализ Примеры

$P (x) = \frac{- {0.1}^{2} + 100 x - 60}{4000 x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- 1 \cdot 0.01 + 100 x - 60}{4000 x}]$

Этап 1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $0.01$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- 0.01 + 100 x - 60}{4000 x}]$

Этап 1.1.2.2

Вычтем $60$ из $- 0.01$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{4000 x}]$

Этап 1.1.3

Поскольку $\frac{1}{4000}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{100 x - 60.01}{4000 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{4000} \frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{x}]$ .

$\frac{1}{4000} \frac{d}{d x} [\frac{100 x - 60.01}{x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 100 x - 60.01$ и $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [100 x - 60.01] - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $100 x - 60.01$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.2

Поскольку $100$ является константой относительно $x$ , производная $100 x$ по $x$ равна $100 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.4

Умножим $100$ на $1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 + \frac{d}{d x} [- 60.01]) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 60.01$ является константой относительно $x$ , производная $- 60.01$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x (100 + 0) - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $100$ и $0$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{x \cdot 100 - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.6.2

Перенесем $100$ влево от $x$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 \cdot x - (100 x - 60.01) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 x - (100 x - 60.01) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 1.3.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4000} \cdot \frac{100 x - (100 x - 60.01)}{x^{2}}$

Этап 1.3.8.2

Умножим $\frac{1}{4000}$ на $\frac{100 x - (100 x - 60.01)}{x^{2}}$ .

$\frac{100 x - (100 x - 60.01)}{4000 x^{2}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{100 x - (100 x) - - 60.01}{4000 x^{2}}$

Этап 1.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Умножим $100$ на $- 1$ .

$\frac{100 x - 100 x - - 60.01}{4000 x^{2}}$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 60.01$ .

$\frac{100 x - 100 x + 60.01}{4000 x^{2}}$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $100 x$ из $100 x$ .

$\frac{0 + 60.01}{4000 x^{2}}$

Этап 1.4.2.3

Добавим $0$ и $60.01$ .

$\frac{60.01}{4000 x^{2}}$

Этап 1.4.3

Вынесем множитель $60.01$ из $60.01$ .

$\frac{60.01 (1)}{4000 x^{2}}$

Этап 1.4.4

Вынесем множитель $4000$ из $4000 x^{2}$ .

$\frac{60.01 (1)}{4000 (x^{2})}$

Этап 1.4.5

Разделим дроби.

$\frac{60.01}{4000} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.4.6

Разделим $60.01$ на $4000$ .

$0.0150025 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.4.7

Объединим $0.0150025$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{0.0150025}{x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $0.0150025$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{0.0150025}{x^{2}}$ по $x$ равна $0.0150025 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (x^{2 \cdot - 1})$

Этап 2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$P'' (x) = 0.0150025 \frac{d}{d x} (x^{- 2})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$P'' (x) = 0.0150025 (- 2 x^{- 3})$

Этап 2.4

Умножим $- 2$ на $0.0150025$ .

$P'' (x) = - 0.030005 x^{- 3}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$P'' (x) = - 0.030005 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Объединим $- 0.030005$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$P'' (x) = \frac{- 0.030005}{x^{3}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$P'' (x) = - \frac{0.030005}{x^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{0.0150025}{x^{2}} = 0$

Этап 4

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 5

Нет локальных экстремумов

Этап 6