Математический анализ Примеры

$- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

Этап 1

Запишем $- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

Этап 2.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 2.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 2.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 2.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

Этап 2.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.6.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.6.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.6.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.6.7

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 2.6.8

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 2.6.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 2.6.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

Этап 2.6.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

Этап 2.6.11.2

Умножим $x^{2} - 2 x + 1$ на $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.6.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.6.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.6.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.6.6

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.6.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.6.8

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.6.9

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.6.10

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.6.11

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.6.12

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.6.13

Добавим $- 2 x^{2}$ и $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.6.14

Вычтем $x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.6.15

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

Этап 2.7.6.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

Этап 2.7.6.17

Вычтем $1$ из $2$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $- 6 x + 2$ и $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

Этап 5.1.2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Этап 5.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Этап 5.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 5.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 5.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 5.1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 5.1.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 5.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

Этап 5.1.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Этап 5.1.4

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Этап 5.1.5

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 5.1.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 5.1.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 5.1.6.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 5.1.6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 5.1.6.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 5.1.6.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 5.1.6.7

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 5.1.6.8

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 5.1.6.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 5.1.6.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

Этап 5.1.6.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

Этап 5.1.6.11.2

Умножим $x^{2} - 2 x + 1$ на $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

Этап 5.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.6.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.6.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.6.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.6.6

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.6.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.6.8

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.6.9

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.6.10

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.6.11

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.6.12

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.6.13

Добавим $- 2 x^{2}$ и $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.6.14

Вычтем $x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.6.15

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.7.6.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

Этап 5.1.7.6.17

Вычтем $1$ из $2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Этап 6.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 2 x + 1 = 0$

Этап 6.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 1 = 0$

Этап 6.2.1.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 6.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 6.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Этап 6.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Этап 6.2.2.1.1.2

Запишем $- 2$ как $1$ плюс $- 3$

$- (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

Этап 6.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

Этап 6.2.2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$- (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

Этап 6.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

Этап 6.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

Этап 6.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 1$ .

$- ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 6.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Этап 6.4.2

Решим $3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 1$

Этап 6.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 6.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 6.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Этап 6.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 6.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 6.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - \frac{1}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 (- \frac{1}{3}) + 2$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$- 6 (\frac{- 1}{3}) + 2$

Этап 10.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{- 1}{3} + 2$

Этап 10.1.1.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 2 \frac{- 1}{3} + 2$

Этап 10.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- 2 \cdot - 1 + 2$

Этап 10.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 + 2$

Этап 10.2

Добавим $2$ и $2$ .

$4$

Этап 11

$x = - \frac{1}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{1}{3}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = - \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - ((- \frac{1}{3}) + 1) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{3}) = - (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Этап 12.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{- 1 + 3}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Этап 12.2.3

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Этап 12.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Этап 12.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

Этап 12.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

Этап 12.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 3}{3})}^{2}$

Этап 12.2.7.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 4}{3})}^{2}$

Этап 12.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{4}{3})}^{2}$

Этап 12.2.9

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.9.1

Применим правило умножения к $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2})$

Этап 12.2.9.2

Применим правило умножения к $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}}))$

Этап 12.2.10

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.10.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Этап 12.2.10.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.10.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Этап 12.2.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Этап 12.2.10.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Этап 12.2.11

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{3^{2}}$

Этап 12.2.12

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{9}$

Этап 12.2.13

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$

Этап 12.2.14

Умножим $- \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.14.1

Умножим $\frac{16}{9}$ на $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{16 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Этап 12.2.14.2

Умножим $16$ на $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{9 \cdot 3}$

Этап 12.2.14.3

Умножим $9$ на $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

Этап 12.2.15

Окончательный ответ: $- \frac{32}{27}$ .

$y = - \frac{32}{27}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 \cdot 1 + 2$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 6 + 2$

Этап 14.2

Добавим $- 6$ и $2$ .

$- 4$

Этап 15

$x = 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - ((1) + 1) {((1) - 1)}^{2}$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Добавим $1$ и $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot (2 {((1) - 1)}^{2})$

Этап 16.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (1) = - 2 {((1) - 1)}^{2}$

Этап 16.2.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (1) = - 2 \cdot 0^{2}$

Этап 16.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (1) = - 2 \cdot 0$

Этап 16.2.5

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f (1) = 0$

Этап 16.2.6

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$(- \frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ — локальный минимум

$(1, 0)$ — локальный максимум

Этап 18